#04 صياغة KVL و KCL بالفازورات، حل عقدة R و C، وربط معادلتي حلقة بمقاومة مشتركة

تجد أدناه جميع الأسطر المكتوبة في الدفتر مع النص الكامل للشرح الصوتي.

1. 1. احتفظ بالتوصيلات واستبدل العناصر بالممانعات

   

   البداية: نستبدل R و L و C بممانعاتها عند التردد المعطى.

   نستخدم الممانعات في قانوني الجهد والتيار لكيرشوف.

   شكل القانون لا يتغير؛ الحساب الآن بالفازورات.

   التوصيلات والعقد ثابتة؛ معاملات المعادلات أعداد مركبة.

   نص الشرح الصوتي

   في الدرس السابق كتبنا المقاومة والملف والمكثف على صورة ممانعة. الآن سنستخدم هذه الممانعات داخل قوانين كيرشوف. الفكرة المهمة هي أن شكل القانون لا يتغير. المسار يبقى مسارا، والعقدة تبقى عقدة، لكن الأعداد التي تظهر في المعادلات تصبح أعدادا مركبة.

2. 2. اكتب قانون الجهد لحلقة التوالي

   

   حلقة KVL: مصدر جهد مع R و L على التوالي.

   التيار نفسه يمر في عنصري التوالي:

   $\displaystyle I_{R}=I_{L}=I$

   قانون الجهد:

   $\displaystyle V_{s}=V_{R}+V_{L}$

   نعوّض هبوطي العنصرين:

   $\displaystyle V_{s}=I R+I\left(j \omega L\right)$

   نأخذ التيار عاملا مشتركا:

   $\displaystyle V_{s}=I\left(R+j \omega L\right)$

   نص الشرح الصوتي

   نبدأ بقانون كيرشوف للجهد، في حلقة تحتوي مقاومة وملفا على التوالي. التيار الفازوري نفسه يمر في العنصرين. لذلك نكتب جهد المصدر يساوي هبوط المقاومة زائد هبوط الملف. أي في إس يساوي آي آر، زائد آي في جي أوميغا إل. وعند جمع الحدود نحصل على في إس يساوي آي مضروبا في آر زائد جي أوميغا إل.

3. 3. اجمع تيارات الفروع عند العقدة

   

   عقدة KCL: الجهد V مقاس بالنسبة إلى العقدة المرجعية.

   المصدر يدخل العقدة؛ تيارا المقاومة والمكثف يخرجان إلى المرجع.

   ميزان التيار:

   $\displaystyle I_{s}=I_{R}+I_{C}$

   تيار المقاومة:

   $\displaystyle I_{R}=\frac{V}{R}$

   تيار المكثف:

   $\displaystyle I_{C}=\frac{V}{Z_{C}}=j \omega C V$

   بعد التعويض:

   $\displaystyle I_{s}=\frac{V}{R}+j \omega C V$

   نص الشرح الصوتي

   الآن قانون كيرشوف للتيار عند عقدة واحدة. يدخل تيار المصدر إلى العقدة، ثم ينقسم في فرع المقاومة وفرع المكثف. إذن آي إس يساوي آي آر زائد آي سي. تيار المقاومة هو في على آر. وتيار المكثف، لأن ممانعته واحد على جي أوميغا سي، يساوي جي أوميغا سي في. إذن القانون نفسه بقي كما هو، لكن فرع المكثف أعطانا معاملا مركبا.

4. 4. اجمع القابليات واعزل جهد العقدة

   

   نجمع الحدود التي تحتوي جهد العقدة V.

   عامل الجهد المشترك:

   $\displaystyle I_{s}=\left(\frac{1}{R}+j \omega C\right)V$

   القابلية المكافئة بوحدة سيمنز:

   $\displaystyle Y_{\mathrm{eq}}=\frac{1}{R}+j \omega C$

   نعزل جهد العقدة:

   $\displaystyle V=\frac{I_{s}}{\frac{1}{R}+j \omega C}$

   نص الشرح الصوتي

   من نفس معادلة العقدة نستطيع حل جهد العقدة مباشرة. نجمع معاملات الجهد في طرف واحد: واحد على آر، زائد جي أوميغا سي. هذا هو مجموع الادميتانس، أو القابلية المكافئة عند العقدة. إذن جهد العقدة يساوي آي إس مقسوما على واحد على آر زائد جي أوميغا سي.

5. 5. اربط معادلتي الحلقة بالمقاومة المشتركة

   

   في تحليل الحلقات نكتب KVL لكل حلقة مستقلة.

   نتبع سهمي I₁ و I₂ عكس عقارب الساعة؛ نعرّف مصدر هذا المثال موجب الطرف السفلي.

   تيار R₃ إلى أعلى هو فرق تياري الحلقتين:

   $\displaystyle I_{3}=I_{1}-I_{2}$

   الحلقة الأولى:

   $\displaystyle \left(R_{1}+R_{3}\right)I_{1}-R_{3} I_{2}=V_{s}$

   الحلقة الثانية:

   $\displaystyle -R_{3} I_{1}+\left(R_{3}+j \omega L+\frac{1}{j \omega C}\right)I_{2}=0$

   نحل معادلتين خطيتين بمجهولين فازوريين؛ المعاملات ممانعات مركبة.

   نص الشرح الصوتي

   الفكرة نفسها تعمل مع تحليل الحلقات. نختار تياري حلقة، آي واحد وآي اثنين. المقاومة المشتركة تربط المعادلتين، لذلك يظهر الحد آر ثلاثة مع التيارين. في الحلقة الأولى نكتب مجموع الهبوطات مع المصدر. وفي الحلقة الثانية تظهر ممانعة الملف وممانعة المكثف داخل معامل آي اثنين. النتيجة نظام خطي عادي، لكن معامله أعداد مركبة.

6. 6. اتبع ترتيب الحل بالفازورات

   

   وصفة الحل: تحويل العناصر، كتابة المعادلات، ثم الحل.

   1. حوّل العناصر:

   $\displaystyle Z_{R}=R,\; Z_{L}=j \omega L,\; Z_{C}=\frac{1}{j \omega C}$

   2. حدّد الاتجاهات والمرجع، ثم اكتب KVL أو KCL أو معادلات العقد والحلقات.

   3. حل النظام بالجبر المركب، لا بجمع المقادير وحدها.

   بعد الحل فقط، حوّل إلى مقدار وطور أو إلى الزمن حسب المطلوب.

   نص الشرح الصوتي

   إذن وصفة الحل في دوائر التيار المتناوب بسيطة. أولا، حوّل كل عنصر إلى ممانعته: آر، أو جي أوميغا إل، أو واحد على جي أوميغا سي. ثانيا، اكتب معادلات كيرشوف أو العقد أو الحلقات كما كنت تفعل في التيار المستمر. ثالثا، حل الجبر المركب. وبعد ذلك فقط ارجع إلى المقدار والطور أو إلى الزمن إذا طلبت المسألة ذلك.

7. 7. لخّص الطريقة وحدد الخطوة التالية

   

   الخلاصة: الفازورات لا تحتاج قوانين شبكة جديدة.

   نفس قوانين كيرشوف بعد استبدال العناصر بممانعاتها.

   التالي: تحويل المصادر ومكافئا ثيفينن ونورتون في التيار المتناوب.

   نص الشرح الصوتي

   الخلاصة: في مجال الفازورات لا نحتاج قوانين جديدة. نستخدم قوانين كيرشوف نفسها، لكن بعد استبدال العناصر بالممانعات. هذا سيجعل الدروس القادمة، مثل تحويل المصادر وثيفينن ونورتون في التيار المتناوب، تبدو امتدادا طبيعيا لما تعرفه بالفعل.

الفيديو المصدر: نظرية الدوائر 2 #04 - قوانين كيرشوف في AC: العقد والحلقات بالممانعة (3:09)