#25 تتابع عالي ومنخفض التمرير وجمع المسارات ومعاملات النطاق وحدس Butterworth والدرجة وحدود التطبيق

تجد أدناه جميع الأسطر المكتوبة في الدفتر مع النص الكامل للشرح الصوتي.

1. 1. من الدرس السابق

   

   في D24 بنينا منخفضا وعاليا فعالين؛ نستخدمهما الآن ضمن نماذج خطية مستقرة تقل فيها تفاعلات التحميل.

   هما لبنتان؛ تركيب الدوال يحدد النتيجة، لا اسما الكتلتين وحدهما.

   التتابع يضرب الدوال والجمع يجمعها مع الطور والأوزان؛ نختار التوصيل والكسب لتحقيق المطلوب.

   نص الشرح الصوتي

   في الدرس السابق استخدمنا مضخم العمليات لبناء مرشح فعال منخفض التمرير ومرشح فعال عالي التمرير. هذان ليسا مثالين منفصلين فقط، بل هما لبنات بناء. إذا رتبناهما بشكل مناسب نستطيع أن نمرر منطقة في الوسط، أو نرفض منطقة في الوسط، مع التحكم في الكسب وشكل الانتقال.

2. 2. هدف النطاق الأوسط

   

   نعرّف حافتين للاستجابة الكلية، لا ننسخ ترددي قطع المرحلتين تلقائيا.

   الحافتان هنا نقطتا نصف قدرة بالنسبة إلى قمة المرور أو مستوى المرور في النموذج المحدد:

   $\displaystyle \omega _{1}<\omega _{2}$

   النطاق المار يحافظ على الوسط نسبيا ويضعف الطرفين؛ لا يمحوهما تماما.

   رفض النطاق يضعف الوسط ويمرر الطرفين؛ لفظ الحذف في المصدر لا يعني صفرا على مجال تردد كامل.

   نص الشرح الصوتي

   مرشح المنطقة الوسطى له ترددان حديان مهمان. الحد السفلي يبدأ المنطقة المفيدة، والحد العلوي ينهيها. في مرشح النطاق، نحافظ على ما بين الحدين ونضعف ما خارجهما. أما مرشح إيقاف النطاق فيفعل العكس: يمرر المنخفض والعالي، ويحذف الوسط.

3. 3. التتابع الفعال

   

   التتابع المثالي بلا تحميل يضرب دوال المراحل، مع مراعاة كسبها وطورها:

   $\displaystyle H_{\mathrm{BP}}\left(s\right)=H_{\mathrm{HP}}\left(s\right) H_{\mathrm{LP}}\left(s\right)$

   للتوضيح نختار مرحلة عالية من الدرجة الأولى بقطع موجب a وكسب مرور وحدوي:

   $\displaystyle H_{\mathrm{HP}}\left(s\right)=\frac{s}{s+a}$

   ثم مرحلة منخفضة بقطع موجب b وكسب مرور وحدوي؛ a وb ليسا الحافتين الكليتين:

   $\displaystyle H_{\mathrm{LP}}\left(s\right)=\frac{b}{s+b}$

   تقليل التحميل يبرر ضرب الدوال تقريبا في التطبيق؛ تبقى قيود التغذية والاستقرار والحمل.

   التداخل يعطي نطاقا، لكن عرضه الكلي لا يساوي ببساطة b ناقص a؛ حاصل هذا المثال هو:

   $\displaystyle H_{\mathrm{BP}}\left(s\right)=\frac{b s}{\left(s+a\right)\left(s+b\right)}$

   نص الشرح الصوتي

   أبسط فكرة لمرشح نطاقي فعال هي التتابع. نضع أولا مرحلة عالية التمرير حتى نحذف الترددات المنخفضة. ثم نضع مرحلة منخفضة التمرير حتى نحذف الترددات العالية. لأن المراحل فعالة ومعزولة، فالمرحلة الثانية لا تغيّر الأولى بقوة. النطاق المفيد هو منطقة التداخل بين المرحلتين.

4. 4. معاملات النطاق المار

   

   نسمّي الحافتين الكليتين ω₁ وω₂ عند مقدار القمة على جذر اثنين؛ لا نساويهما قطع كل كتلة.

   عرض نصف القدرة الكلي بالراديان/ثانية هو فرق الحافتين:

   $\displaystyle \Delta \omega =\omega _{2}-\omega _{1}$

   المركز هندسي للحافتين في نموذج الدرجة الثانية القياسي المذكور، لا لأي منحنى اعتباطي:

   $\displaystyle \omega _{0}=\sqrt{\omega _{1} \omega _{2}}$

   الجودة بلا وحدة؛ زيادتها تضيق النطاق نسبيا عند تثبيت المركز:

   $\displaystyle Q=\frac{\omega _{0}}{\Delta \omega }$

   نص الشرح الصوتي

   في استجابة النطاق نسمّي الحد السفلي أوميجا واحد، والحد العلوي أوميجا اثنين. عرض النطاق يساوي أوميجا اثنين ناقص أوميجا واحد. وتردد المركز هو المتوسط الهندسي: أوميجا صفر يساوي جذر أوميجا واحد في أوميجا اثنين. بعد ذلك يكون عامل الجودة كيو مساويا لتردد المركز مقسوما على عرض النطاق.

5. 5. مسارات رفض النطاق

   

   في مخطط الرفض يتفرع الدخل للمسارين ثم إلى مدخلي المجمع؛ لا تقصر خرجي مضخمين معا.

   المسار المنخفض يحمل الطرف المنخفض، والعالي يحمل الطرف العالي؛ مقادير الاستجابتين وحدها لا تكفي.

   نجمع الدوال المركبة مع وزني المجمع الموقّعين k_1 وk_2؛ الإشارة والطور مؤثران:

   $\displaystyle H_{\mathrm{BR}}\left(s\right)=k_{1} H_{\mathrm{LP}}\left(s\right)+k_{2} H_{\mathrm{HP}}\left(s\right)$

   تنبيه على اختصار المصدر؛ جمع مرحلتي LP وHP الوحدويتين عند القطع نفسه a يعطي مرورا كاملا لا نوتش:

   $\displaystyle H_{\mathrm{sum}}\left(s\right)=\frac{a}{s+a}+\frac{s}{s+a}=1$

   نص الشرح الصوتي

   مرشح إيقاف النطاق الفعال يمكن فهمه كمسارين نجمعهما في النهاية. المسار الأول منخفض التمرير، فيحافظ على الجزء المنخفض. والمسار الثاني عالي التمرير، فيحافظ على الجزء العالي. عندما تكون المنطقة الوسطى غائبة عن المسارين، يظهر في الخرج نوتش أو نطاق مرفوض.

6. 6. معاملات الرفض

   

   في نموذج النوتش القياسي نحدد حافتين نسبة إلى مستوى المرور، لا نسبة إلى قاع النوتش.

   الجانبان يحددان عرض الرفض، وقد يختلفان عن قطع الكتل المفردة.

   مثال استجابة مستهدفة من الدرجة الثانية؛ ليس نتيجة تلقائية لجمع أي مسارين:

   $\displaystyle H_{\mathrm{BR}}\left(s\right)=\frac{s^{2}+\omega _{0}^{2}}{s^{2}+\left(\frac{\omega _{0}}{Q}\right)s+\omega _{0}^{2}}$

   الصفر العميق يتطلب إلغاء مركبا مضبوطا؛ تفاوت العناصر والكسب والطور يضعف المطابقة.

   نص الشرح الصوتي

   نستخدم نفس لغة الترددات الحدية في مرشح إيقاف النطاق. أوميجا واحد وأوميجا اثنين يحددان جانبي المنطقة المرفوضة. وتردد المركز يقع بينهما، وعرض النطاق يخبرنا بمدى اتساع النوتش. في الدائرة الحقيقية يعتمد عمق النوتش بشدة على المطابقة وتفاوت العناصر.

7. 7. حدس Butterworth

   

   ننتقل إلى عائلة استجابة Butterworth؛ تعريب الاسم لا يغير تعريفها الرياضي.

   للمنخفض من الدرجة الصحيحة الموجبة N،المقدار المطبع هو:

   $\displaystyle |H\left(j\omega \right)|=\frac{1}{\sqrt{1+\left(\frac{\omega }{\omega _{c}}\right)^{2N}}}$

   لا تموج،وأعظم تسطح عند الصفر،لكنه ليس خطا ثابتا تماما؛ عند القطع:

   $\displaystyle |H\left(j\omega _{c}\right)|=\frac{1}{\sqrt{2}}$

   ليست أشد انتقال لكل المواصفات؛ استبدل الرسم ذي تدريج−3غير الصحيح ببطاقة التصميم.

   نص الشرح الصوتي

   الآن نضيف كلمة تصميم مهمة: بَتروورث. استجابة Butterworth تُختار لأنها مسطحة إلى أقصى حد في نطاق التمرير. هذا يعني أنه لا يوجد تموج في النطاق المفيد، ثم يحدث هبوط سلس بعد الحافة. هي ليست الانتقال الأشد حدة دائما، لكنها نظيفة ومتوقعة وشائعة جدا.

8. 8. الدرجة والميل

   

   نقصد هنا النهاية العالية لمنخفض كل أقطابه،لا كل طرف من أي مرشح نطاقي أو نوتش.

   للدرجة الأولى ينخفض المقدار نحو20ديسيبل عند زيادة التردد عشرة أضعاف بعيدا عن القطع؛ عقدة هنا تعني نسبة10لا خطوةHz.

   للدرجة الثانية نحو40ديسيبل لكل نسبة10؛ القاعدة التقاربية لمنخفض مطبع من الدرجةN هي:

   $\displaystyle G_{\mathrm{dB}}\left(\omega \right)\approx -20 N \log _{10}\left(\frac{\omega }{\omega _{c}}\right)$

   الرتبة الأعلى قد تزيد الحدة وكلفة الضبط؛ في band-pass تتوزع الرتبة بين الطرفين،والنوتش يعود إلى المرور عاليا.

   نص الشرح الصوتي

   درجة المرشح تتحكم في سرعة هبوط المنحنى بعد الحافة. الدرجة الأولى تهبط تقريبا عشرين ديسيبل لكل عقدة تردد. الدرجة الثانية تعطي تقريبا أربعين ديسيبل لكل عقدة. الدرجات الأعلى أكثر حدة، لكنها تحتاج مراحل أكثر واختيار عناصر أدق.

9. 9. خطوات التصميم

   

   نبدأ بالمواصفة؛ المخطط لا يكفي لاختيار قيم العناصر.

   نحدد المرور أو الرفض، ومستوى الكسب والتوهين المقبول.

   نحسب المركز والعرض والجودة من حواف الاستجابة الكلية؛ للتحويل إلى الهرتز:

   $\displaystyle \Delta f=\frac{\Delta \omega }{2\pi }$

   نختار عائلة الاستجابة؛ Band-pass أو Band-reject من Butterworth يحتاج تحويل التردد المناسب.

   نقسم إلى مقاطع تحقق الأقطاب والأصفار المطلوبة؛ التتابع البسيط لدرجتين أوليين لا يحقق أيQنريده:

   $\displaystyle Q=\frac{\sqrt{a b}}{a+b}\le \frac{1}{2}$

   نص الشرح الصوتي

   سير العمل العملي كالتالي. نختار الشكل: مرشح نطاقي أو مرشح إيقاف نطاق. ثم نختار الحدين، ونحسب تردد المركز، وعرض النطاق، وعامل الجودة كيو. بعد ذلك نختار عائلة الاستجابة، مثلا Butterworth إذا أردنا نطاق تمرير مسطحا. وأخيرا نقسم التصميم إلى مراحل فعالة يستطيع مضخم العمليات دعمها فعلا.

10. 10. الحدود العملية

    

    نراجع القيود الواقعية وفق الرتبة والانتقائية المطلوبة؛ ليست الحساسية واحدة لكل توصيل.

    نفحص كسب الحلقة وكسب الضجيج وعرض الحزمة والاستقرار في كامل المجال.

    العزل تقليل تحميل المراحل وليس فصلا جلفانيا؛ لكل مضخم حدود خرج ومدخل.

    قد يؤثر كل من R وC في المركز والعرض وQ والعمق؛ لا نفصل تأثيرهما كقاعدة عامة.

    نتحقق بالمحاكاة والداتا شيت؛ لا نساوي نجاح مسح صغير الإشارة بسلامة التأرجح ومعدل التغير والضجيج.

    نص الشرح الصوتي

    مرشحات المنطقة الوسطى أكثر حساسية للقيود الواقعية. مضخم العمليات يحتاج عرض حزمة كسب كافيا. والمراحل تحتاج عزلا مناسبا. تفاوت المكثفات قد يحرّك تردد المركز، وتفاوت المقاومات قد يغيّر كيو أو عمق النوتش. لذلك يجب فحص التصميم بالمحاكاة وبالداتا شيت.

11. 11. الخلاصة

    

    الترتيب المناسب يحقق المرور أو الرفض؛ جمع LP وHP كيفما اتفق لا يضمن نوتش.

    الحافتان والمركز والعرض وQ تصف الاستجابة الكلية مع مرجع نصف القدرة والوحدات المحددين.

    Butterworth بلا تموج وأعظم تسطح،لا مرور مستو تماما ولا أفضل اختيار لكل مواصفة.

    التالي D26 يحول المواصفة إلى اختيار رتبة ومقاطع وطوبولوجيا وقيم عناصر ثم تحقق.

    نص الشرح الصوتي

    الخلاصة: يمكن جمع مراحل منخفضة وعالية التمرير الفعالة للحصول على مرشح نطاقي أو مرشح إيقاف نطاق. المعاملات الأساسية هي الحدان، تردد المركز، عرض النطاق، وعامل الجودة. واستجابة Butterworth هي الخيار السلس المسطح في نطاق التمرير. بعد ذلك نستطيع تحويل هذا الحدس إلى مقاطع مرشحات فعالة ذات درجة أعلى.

الفيديو المصدر: نظرية الدوائر 2 #25 - المرشحات النطاقية وبتروورث الفعالة (4:27)