Elektromanyetik Teori · Akımlar ve İletkenler

#13 Malzeme iletkenliği, konveksiyon ve iletim akımı, noktasal Ohm yasası, direnç, Joule gücü ve elektrostatik dengedeki iletkenler

Akım yoğunluğunu mikroskobik hareketten kur, Ohm yasasını alan biçiminden devre biçimine indir ve iletken dengesini çöz.

Soru

Akım yoğunluğu, Ohm yasası, iletken dengesi ve tel örneğini gösteren ders karesi. — İletim akımı J = σE bağıntısını izler; elektrostatik dengede iletkenin iç alanı sıfırdır.

Malzemeleri iletkenliğe göre sınıflandırın; akımı ve akım yoğunluğunu tanımlayın, J = σE ile devre Ohm yasasını ilişkilendirin, iletkenlerin elektrostatik özelliklerini türetin ve tel örneğini çözün.

Yazılı çözüm ve anlatım dökümü(çözümün tamamını gösterir)

Aşağıda defterde yazılan bütün satırlar ve bunlara eşlik eden sesli anlatımın tam metni bulunur.

1. Alan enerjisinden malzeme içindeki akıma geç
İletim akımı J = σE bağıntısını izler; elektrostatik dengede iletkenin iç alanı sıfırdır.
Önceki derste dipolü, alan enerjisini ve w_E = ½ε₀E² yoğunluğunu kurduk.
Bugün Bölüm 5'e geçiyoruz — malzeme içinde elektrik alanları.
Malzemeleri iletkenliklerine göre sınıflandıracağız, konveksiyon ve iletim akım yoğunluklarını tanımlayacağız, Ohm yasasının nokta formunu türeteceğiz ve iletkenlerin durgun elektrik alanlarındaki davranışını inceleyeceğiz.
Sesli anlatım metni
Önceki derste serbest uzaydaki elektrostatiğin son konularını tamamladık — elektrik dipolünü tanımladık, yük düzenlerinde depolanan enerjiyi türettik ve enerji yoğunluğunu wE eşittir yarım epsilon sıfır E kare olarak ifade ettik. Bugün Bölüm 5'e geçiyoruz — malzeme içinde elektrik alanları. Malzemeleri iletkenliklerine göre sınıflandıracağız, konveksiyon ve iletim akım yoğunluklarını tanımlayacağız, Ohm yasasının nokta formunu türeteceğiz ve iletkenlerin durgun elektrik alanlarındaki davranışını inceleyeceğiz.
2. Malzemeleri iletkenliğe göre sınıflandır
İletim akımı J = σE bağıntısını izler; elektrostatik dengede iletkenin iç alanı sıfırdır.
Şimdiye kadar elektrik alanlarını serbest uzayda, yani hiçbir malzemenin olmadığı boşlukta inceledik.
Ancak gerçek mühendislik iletkenler, yalıtkanlar ve yarı iletkenler içerir.
Bunları nasıl sınıflandırabiliriz?
Temel özellik iletkenliktir: σ [S/m].
σ ≫ 1 ise malzeme iletkendir.
Bakırın σ değeri yaklaşık beş virgül sekiz çarpı on üzeri yedi'dir.
σ ≪ 1 ise malzeme yalıtkan/dielektriktir.
Camın σ değeri yaklaşık on üzeri eksi on iki'dir.
Aradaki malzemeler — silisyum ve germanyum gibi — yarı iletkenlerdir.
Atomik düzeyde, fark iletim için mevcut serbest elektron sayısındadır.
Metallerde dış kabuklarda bol miktarda serbest elektron vardır.
Yalıtkanlarda çok az vardır.
Yarı iletkenlerde ise katkılama ile kontrollü bir sayıda ayarlanabilir.
Sesli anlatım metni
Şimdiye kadar elektrik alanlarını serbest uzayda, yani hiçbir malzemenin olmadığı boşlukta inceledik. Ancak gerçek mühendislik iletkenler, yalıtkanlar ve yarı iletkenler içerir. Bunları nasıl sınıflandırabiliriz? Anahtar özellik iletkenlik, sigma, birimi simens bölü metredir. İletkenliği yüksek olan malzeme — sigma birden çok büyük — bir metal yani iletkendir. Bakırın sigma değeri yaklaşık beş virgül sekiz çarpı on üzeri yedi'dir. İletkenliği düşük olan malzeme — sigma birden çok küçük — yalıtkan yani dielektrik olarak adlandırılır. Camın sigma değeri yaklaşık on üzeri eksi on iki'dir. Aradaki malzemeler — silisyum ve germanyum gibi — yarı iletkenlerdir. Atomik düzeyde, fark iletim için mevcut serbest elektron sayısındadır. Metallerde dış kabuklarda bol miktarda serbest elektron vardır. Yalıtkanlarda çok az vardır. Yarı iletkenlerde ise katkılama ile kontrollü bir sayıda ayarlanabilir.
3. Konveksiyon ve iletim akımını tanımla
İletim akımı J = σE bağıntısını izler; elektrostatik dengede iletkenin iç alanı sıfırdır.
Malzemelerin elektrik alanlarına nasıl tepki verdiğini incelemeden önce, elektrik akımını tam olarak tanımlamamız gerekiyor.
Akım I = dQ/dt'dir ve birimi amperdir.
Akım yoğunluğu J bir vektördür: birim alan başına akım.
S yüzeyinden geçen toplam akım I = ∫ₛJ·dS.
Şimdi iki tür akım yoğunluğunu ele alalım.
Birincisi, konveksiyon akımı.
Bu, yükün serbest uzayda hareket etmesiyle oluşur — iletken gerekmez.
Konveksiyon akımı için J = ρ_vu.
Vakum tüpündeki elektron demeti bir konveksiyon akımıdır.
Bu Ohm yasasına uymaz.
İkincisi, iletim akımı.
Bu iletkenlerde oluşur.
Bir elektrik alanı E uygulandığında, serbest elektronlar E ile orantılı bir ortalama hızla sürüklenirler.
Elektrona etkiyen kuvvet F = −eE'dir.
İletim akımı için J = σE.
Bu Ohm yasasının nokta formudur — bir noktadaki akım yoğunluğunu aynı noktadaki elektrik alanına bağlar.
İletkenlik σ = ne²τ/m'dir; n elektron yoğunluğu, τ ortalama çarpışma süresidir.
Sesli anlatım metni
Malzemelerin elektrik alanlarına nasıl tepki verdiğini incelemeden önce, elektrik akımını tam olarak tanımlamamız gerekiyor. Akım I, yükün bir yüzeyden geçiş hızıdır: I eşittir dQ bölü dt, birimi amperdir. Akım yoğunluğu J bir vektördür: birim alan başına akım. Bir S yüzeyinden geçen toplam akım: I eşittir J nokta dS'nin integralidir. Şimdi iki tür akım yoğunluğunu ele alalım. Birincisi, konveksiyon akımı. Bu, yükün serbest uzayda hareket etmesiyle oluşur — iletken gerekmez. Yük yoğunluğu rov, u hızıyla hareket ediyorsa, J eşittir rov çarpı u olur. Vakum tüpündeki elektron demeti bir konveksiyon akımıdır. Bu Ohm yasasına uymaz. İkincisi, iletim akımı. Bu iletkenlerde oluşur. Bir elektrik alanı E uygulandığında, serbest elektronlar E ile orantılı bir ortalama hızla sürüklenirler. Elektron üzerindeki kuvvet F eşittir eksi e çarpı E'dir. Sürüklenme ile çarpışmalar dengelendiğinde J eşittir sigma çarpı E elde edilir. Bu Ohm yasasının nokta formudur — bir noktadaki akım yoğunluğunu aynı noktadaki elektrik alanına bağlar. Burada sigma eşittir n e kare tau bölü m, burada n elektron yoğunluğu ve tau çarpışmalar arası ortalama süredir.
4. Direnci ve Joule gücünü türet
İletim akımı J = σE bağıntısını izler; elektrostatik dengede iletkenin iç alanı sıfırdır.
Ohm yasasının nokta biçimi J = σE'dir.
Bunu devre biçimi V = IR ile ilişkilendirelim.
Uzunluğu ℓ, tekdüze kesit alanı S ve iletkenliği σ olan bir iletkenin uçlarında V potansiyel farkı uygulandığını düşünelim.
Tekdüze iletkende E = V/ℓ.
Akım yoğunluğu J = I/S'dir.
J = σE içine koyunca I/S = σV/ℓ.
Düzenleyince V/I = ℓ/(σS).
Direnç R = ℓ/(σS) = ρ_cℓ/S ve ρ_c = 1/σ.
Genel alan tanımı R = ∫E·dl / ∫σE·dS.
Bu, direncin alan tabanlı tanımıdır.
Güç yitimi P = ∫E·J dv.
Tekdüze iletkende P = VI = I²R = V²/R.
Sesli anlatım metni
J eşittir sigma E nokta formu, Ohm yasasının mikroskobik versiyonudur. Şimdi bunu bilinen devre formülü V eşittir I çarpı R ile ilişkilendirelim. Uzunluğu el, tekdüze kesit alanı S ve iletkenliği sigma olan bir iletkenin uçlarında V potansiyel farkı uygulandığını düşünelim. İçindeki elektrik alanı tekdüzedir: E eşittir V bölü el. Akım yoğunluğu ise J eşittir I bölü S'dir. J eşittir sigma E'ye koyarsak: I bölü S eşittir sigma çarpı V bölü el. Düzenlersek: V bölü I eşittir el bölü sigma S. Bu bize direnci verir: R eşittir el bölü sigma S, veya eşdeğer olarak R eşittir roc çarpı el bölü S, burada roc eşittir bir bölü sigma özdirençtir. Tekdüze olmayan kesitli iletkenler için daha genel formül kullanılır: R eşittir E nokta dl integralinin, sigma E nokta dS integraline oranıdır. Bu, direncin alan tabanlı tanımıdır. Güç yitimi P eşittir E nokta J dv integralinden gelir. Tekdüze bir iletken için bu P eşittir V çarpı I eşittir I kare çarpı R'ye indirgenir — Joule yasası.
5. Elektrostatik dengedeki iletkeni çözümle
İletim akımı J = σE bağıntısını izler; elektrostatik dengede iletkenin iç alanı sıfırdır.
Şimdi bir iletkenin elektrostatik alana konulduğundaki davranışını inceleyelim.
Herhangi bir kaynağa bağlanmamış izole bir iletken düşünelim.
Dış bir E_e alanı uygulandığında, iletkenin içindeki serbest yükler neredeyse anında yeniden dağılır.
Pozitif yükler E_e yönünde, negatif yükler ters yönde kayar.
Bu yeniden dağılım, uygulanan alana karşı koyan bir iç alan E_i oluşturur.
Denge, E_i tam olarak E_e'yi iptal ettiğinde kurulur, böylece iletken içindeki toplam alan sıfır olur.
Bu üç temel özelliğe yol açar.
Elektrostatik dengede iletken içinde E = 0.
E = −∇V = 0 olduğundan iletken eşpotansiyeldir.
İçeride D = 0 ve ∇·D = ρ_v olduğundan ρ_v = 0'dır.
Fazla yük yalnızca yüzeyde bulunur.
Bunlar varsayım değildir — serbest yüklerin bolluğu ve durgun denge koşulunun doğrudan sonuçlarıdır.
Sesli anlatım metni
Şimdi bir iletkenin elektrostatik alana konulduğundaki davranışını inceleyelim. Herhangi bir kaynağa bağlanmamış izole bir iletken düşünelim. Dış bir Ee alanı uygulandığında, iletkenin içindeki serbest yükler neredeyse anında yeniden dağılır. Pozitif yükler Ee yönünde, negatif yükler ters yönde kayar. Bu yeniden dağılım, uygulanan alana karşı koyan bir iç alan Ei oluşturur. Denge, Ei tam olarak Ee'yi iptal ettiğinde kurulur, böylece iletken içindeki toplam alan sıfır olur. Bu üç temel özelliğe yol açar. Birincisi: iletken içinde E eşittir sıfırdır. İkincisi: E eşittir eksi nabla V eşittir sıfır olduğundan, potansiyel her yerde aynıdır — iletken eşpotansiyel cisimdir. Üçüncüsü: nabla nokta D eşittir rov ve içerde D eşittir sıfır olduğundan, içerde net yük yoğunluğu olamaz — rov eşittir sıfırdır. Fazla yük yalnızca yüzeyde bulunur. Bunlar varsayım değildir — serbest yüklerin bolluğu ve durgun denge koşulunun doğrudan sonuçlarıdır.
6. Telde akım ve sürüklenme hızını hesapla
İletim akımı J = σE bağıntısını izler; elektrostatik dengede iletkenin iç alanı sıfırdır.
Sadiku'nun Örnek 5.3'ünü çözelim.
Çapı bir milimetre olan bir telin iletkenliği beş çarpı on üzeri yedi simens bölü metre ve metreküp başına on üzeri yirmi dokuz serbest elektronu vardır.
On milivolt bölü metre'lik bir elektrik alanı uygulanmaktadır.
Yük yoğunluğunu, akım yoğunluğunu, akımı ve elektron sürüklenme hızını bulalım.
ρ_v = ne = −1,6×10¹⁰ C/m³.
J = σE = 5×10⁵ A/m² = 500 kA/m².
Akım I = JS'dir.
Kesit alanı S = πd²/4 = (π/4)×10⁻⁶ m².
Sonuç I ≈ 0,393 A.
Sürüklenme hızının büyüklüğü |u| = |J/ρ_v| = 3,125×10⁻⁵ m/s.
Sürüklenme hızının ne kadar inanılmaz yavaş olduğuna dikkat edin — saniyede yaklaşık otuz mikrometre — akım anlamlı olmasına rağmen.
Sesli anlatım metni
Sadiku'nun Örnek 5.3'ünü çözelim. Çapı bir milimetre olan bir telin iletkenliği beş çarpı on üzeri yedi simens bölü metre ve metreküp başına on üzeri yirmi dokuz serbest elektronu vardır. On milivolt bölü metre'lik bir elektrik alanı uygulanmaktadır. Yük yoğunluğunu, akım yoğunluğunu, akımı ve elektron sürüklenme hızını bulalım. Serbest yük yoğunluğu rov eşittir n çarpı e, yani on üzeri yirmi dokuz çarpı eksi bir virgül altı çarpı on üzeri eksi on dokuz, bu da eksi bir virgül altı çarpı on üzeri onuncu kulon bölü metreküp verir. Akım yoğunluğu J eşittir sigma çarpı E eşittir beş çarpı on üzeri yedi çarpı on üzeri eksi iki, yani beş yüz kiloamper bölü metrekaredir. Akım I eşittir J çarpı S'dir. Kesit alanı pi çarpı d kare bölü dört eşittir pi bölü dört çarpı on üzeri eksi altı'dır. Dolayısıyla I yaklaşık sıfır virgül üç dokuz üç amperdir. Sürüklenme hızı u eşittir J bölü rov, yani beş çarpı on üzeri beşinci bölü bir virgül altı çarpı on üzeri onuncu, bu da üç virgül bir iki beş çarpı on üzeri eksi beşinci metre bölü saniye verir. Sürüklenme hızının ne kadar inanılmaz yavaş olduğuna dikkat edin — saniyede yaklaşık otuz mikrometre — akım anlamlı olmasına rağmen.
7. Akım ve iletken bağıntılarını özetle
İletim akımı J = σE bağıntısını izler; elektrostatik dengede iletkenin iç alanı sıfırdır.
Bugünkü temel sonuçları özetleyelim.
Malzemeler iletkenlik σ'ya göre sınıflandırılır: iletkenlerin σ'sı yüksek, yalıtkanların düşük, yarı iletkenlerin arada bir değeri vardır.
Konveksiyon akımı J = ρ_vu.
İletim akımı J = σE.
Direnç R = ℓ/(σS).
Durgun koşullarda iletken içinde: E eşittir sıfır, iletken eşpotansiyel cisimdir ve fazla yük yalnızca yüzeyde bulunur.
Bir sonraki derste dielektriklerde polarizasyonu inceleyeceğiz ve malzemeler için Gauss yasasının değiştirilmiş formunu türeteceğiz.
Sesli anlatım metni
Bugünkü temel sonuçları özetleyelim. Malzemeler iletkenlik sigma'ya göre sınıflandırılır: iletkenlerin sigma'sı yüksek, yalıtkanların düşük, yarı iletkenlerin arada bir değeri vardır. Konveksiyon akım yoğunluğu J eşittir rov çarpı u'dur. İletim akım yoğunluğu Ohm yasasını izler: J eşittir sigma çarpı E. Direnç R eşittir el bölü sigma S'dir. Durgun koşullarda iletken içinde: E eşittir sıfır, iletken eşpotansiyel cisimdir ve fazla yük yalnızca yüzeyde bulunur. Bir sonraki derste dielektriklerde polarizasyonu inceleyeceğiz ve malzemeler için Gauss yasasının değiştirilmiş formunu türeteceğiz.