#25 Karmaşık blok bağlantıları, toplam bant sınırları, göreli genişlik ve Butterworth koşulları

Aşağıda defterde yazılan bütün satırlar ve bunlara eşlik eden sesli anlatımın tam metni bulunur.

1. 1. Önceki aktif filtre bloklarını birleştir

   

   Önceki aktif alçak ve yüksek geçiren katları doğrusal filtre blokları olarak kullanırız.

   Her blok yalnız genlik eğrisi değil, fazı da içeren karmaşık bir aktarım fonksiyonudur.

   Uygun kaskad veya ağırlıklı toplama orta bandı geçirir ya da bastırır; rastgele bağlantı çentik oluşturmaz.

   Sesli anlatım metni

   Önceki derste op-amp kullanarak aktif alçak geçiren ve aktif yüksek geçiren filtreleri kurmuştuk. Bu iki blok sadece ayrı örnekler değildir; aslında yapı taşıdır. Doğru sırayla birleştirildiklerinde orta bandı geçirebilir, orta bandı bastırabilir ve geçişin ne kadar yumuşak ya da keskin olacağını tasarlayabiliriz.

2. 2. Ölçülen bant sınırlarını tanımla

   

   Sınırları, genlik referansı belirtilen toplam cevaba göre tanımlayın.

   Toplam cevabın alt ve üst sınırları sıralıdır:

   $\displaystyle \omega _{1}<\omega _{2}$

   Bant geçiren orta bölgeyi kendi tepesine göre korur; dış frekansları zayıflatır, hepsini sıfırlamaz.

   Bant durduran iki tarafı geçirip orta bölgeyi bastırır; bütün bir aralıkta sıfır kazanç demek değildir.

   Sesli anlatım metni

   Orta bant davranışında iki önemli sınır frekansı vardır. Alt sınır yararlı bandı başlatır, üst sınır yararlı bandı bitirir. Band geçiren filtre bu iki sınırın arasındaki sinyali tutar, dış tarafı zayıflatır. Band durduran filtre ise tersini yapar: düşük ve yüksek frekansları bırakır, orta bölgeyi bastırır.

3. 3. Yüksek ve alçak geçiren katları kaskad bağla

   

   İdeal, yüklemesiz kaskadda karmaşık aktarım fonksiyonları çarpılır:

   $\displaystyle H_{\mathrm{BP}}\left(s\right)=H_{\mathrm{HP}}\left(s\right) H_{\mathrm{LP}}\left(s\right)$

   Pozitif a köşeli, geçirme kazancı bir olan örnek yüksek geçiren kat:

   $\displaystyle H_{\mathrm{HP}}\left(s\right)=\frac{s}{s+a}$

   Pozitif b köşeli, geçirme kazancı bir olan örnek alçak geçiren kat:

   $\displaystyle H_{\mathrm{LP}}\left(s\right)=\frac{b}{s+b}$

   Uygun tamponlama katların etkileşimini azaltır; bant genişliği, kararlılık ve yük sınırlarını kaldırmaz.

   Toplam sınırlar kat köşelerinden kopyalanmaz, çarpımdan bulunur:

   $\displaystyle H_{\mathrm{BP}}\left(s\right)=\frac{b s}{\left(s+a\right)\left(s+b\right)}$

   Sesli anlatım metni

   En sade aktif band geçiren fikri kaskad yapıdır. Önce yüksek geçiren bir kat düşük frekansları temizler. Sonra alçak geçiren bir kat yüksek frekansları temizler. Katlar aktif ve tamponlu olduğu için ikinci kat birinci katın ayarını fazla bozmaz. Geçen bant, bu iki davranışın kesişimidir.

4. 4. Kat köşeleri ile toplam cevabın sınırlarını ayır

   

   Burada sınırlar, toplam bant geçiren cevabın tepesine göre yarı genlik-karesi noktalarıdır; tek katın köşeleri değildir.

   Açısal bant genişliği bu iki toplam sınırın farkıdır:

   $\displaystyle \Delta \omega =\omega _{2}-\omega _{1}$

   Belirtilen ikinci dereceden modelde geometrik merkez:

   $\displaystyle \omega _{0}=\sqrt{\omega _{1} \omega _{2}}$

   Boyutsuz kalite faktörü göreli bant genişliğini ifade eder:

   $\displaystyle Q=\frac{\omega _{0}}{\Delta \omega }$

   Sesli anlatım metni

   Band geçiren cevapta alt sınırı omega bir, üst sınırı omega iki diye adlandırırız. Bant genişliği, omega iki eksi omega birdir. Merkez frekansı geometrik ortalamadır: omega sıfır, omega bir ile omega ikinin çarpımının kareköküdür. Q ise merkez frekansının bant genişliğine oranıdır.

5. 5. Ayrı karmaşık yolları doğru işaretle topla

   

   Girişi iki ayrı yola ayırın; çıkışları ayrı toplayıcı girişlerine verin, op-amp çıkışlarını kısa devre etmeyin.

   Alçak geçiren yol düşük frekansları taşır; köşesi hedeflenen bastırma bandına uygun seçilir.

   Yüksek geçiren yolu toplarken faz ve işaretli ağırlıklar hesaba katılır:

   $\displaystyle H_{\mathrm{BR}}\left(s\right)=k_{1} H_{\mathrm{LP}}\left(s\right)+k_{2} H_{\mathrm{HP}}\left(s\right)$

   Kaynakta iki yolun da ortayı bastırması koşulu vardır; eş köşeli birim kazançlı yollar ise çentik vermez:

   $\displaystyle \frac{a}{s+a}+\frac{s}{s+a}=1$

   Sesli anlatım metni

   Band durduran filtre iki yolun toplamı gibi düşünülebilir. Bir yol alçak geçiren yoldur ve düşük frekansları taşır. Diğer yol yüksek geçiren yoldur ve yüksek frekansları taşır. Orta bant iki yolda da eksik kalınca çıkışta çentik, yani bastırılmış bant oluşur.

6. 6. Bastırılmış bant ile tam sıfırı ayır

   

   Bastırma bandının sınırlarını çentiğin tabanına değil, gerçek geçirme kazancına göre tanımlayın.

   Alt ve üst sınırlar, iki yolun birleşmesinden oluşan toplam cevaba aittir.

   İkinci dereceden hedef çentik modeli; her iki-yol toplamının otomatik sonucu değildir:

   $\displaystyle H_{N}\left(s\right)=\frac{s^{2}+\omega _{0}^{2}}{s^{2}+\left(\frac{\omega _{0}}{Q}\right)s+\omega _{0}^{2}}$

   Derin sıfır için doğru karmaşık iptal gerekir; eleman, kazanç ve faz uyumsuzluğu çentiği doldurabilir.

   Sesli anlatım metni

   Aynı sınır frekansı dili band durduran filtre için de geçerlidir. Omega bir ve omega iki bastırılan bandın iki kenarını gösterir. Merkez frekansı bu ikisinin arasında yer alır; bant genişliği çentiğin ne kadar geniş olduğunu söyler. Gerçek devrede çentik derinliği eşleşmeye ve eleman toleranslarına çok bağlıdır.

7. 7. Butterworth düzlüğünü açık tanımla

   

   Butterworth bir cevap ailesidir.

   Pozitif tam sayı N için normalize alçak geçiren Butterworth prototipi:

   $\displaystyle |H\left(j\omega \right)|=\frac{1}{\sqrt{1+\left(\frac{\omega }{\omega _{c}}\right)^{2N}}}$

   Kaynağın “geçiş bandı” dediği düz bölge burada geçirme bandıdır (passband). Dalgalanmasızlık, tüm bantta sabit genlik veya düz bir geçiş bölgesi demek değildir.

   Butterworth her koşulda en keskin geçişi vermez; aynı derecede başka bir aile, izin verilen dalgalanmaya karşılık daha hızlı geçiş sağlayabilir.

   Sesli anlatım metni

   Şimdi bir tasarım kelimesi ekleyelim: Butterworth. Butterworth cevap, geçiş bandının mümkün olduğunca düz olması için seçilir. Yani geçiş bandında dalgalanma yoktur; sınırdan sonra düşüş yumuşak ve tahmin edilebilirdir. En keskin geçiş değildir, ama temiz ve çok yaygın bir seçimdir.

8. 8. Derece ve eğimi geçerlilik sınırlarıyla kullan

   

   Bu eğim kuralı, yalnız kutuplu alçak geçirenin uzak yüksek-frekans asimptotu içindir; her bant cevabının tüm kenarlarına uygulanmaz.

   Birinci dereceden alçak geçiren, kesimden yeterince uzakta her on kat frekans artışında yaklaşık yirmi desibel zayıflar.

   İkinci dereceden alçak geçirenin uzak asimptotunda on kat artış başına kırk desibel zayıflama:

   $\displaystyle G_{\mathrm{dB}}\left(\omega \right)\approx -40 \log _{10}\left(\frac{\omega }{\omega _{c}}\right)$

   Derece arttıkça uygun katlara ihtiyaç artar; ikinci dereceden bir bant geçirenin iki tarafı aynı düşük-geçiren eğim kuralına uymaz.

   Sesli anlatım metni

   Filtre derecesi, eğrinin sınır frekansından sonra ne kadar hızlı düştüğünü belirler. Birinci dereceden bir kat yaklaşık yirmi desibel bölü dekad eğim verir. İkinci dereceden bir kat yaklaşık kırk desibel bölü dekad verir. Daha yüksek derece daha keskindir, fakat daha fazla kat ve daha dikkatli eleman seçimi ister.

9. 9. Sınır, cevap ailesi ve kurulabilir katları seç

   

   İstenen toplam frekans cevabından başlayın.

   Orta bölge geçecek mi, bastırılacak mı? Kazanç ve zayıflatma sınırlarını da belirtin.

   Toplam cevabın alt ve üst sınırlarını, referans genlikleriyle seçin.

   Merkez, genişlik ve Q birimleri tutarlı olmalıdır; açısal genişlikten hertze dönüşüm:

   $\displaystyle \Delta f=\frac{\Delta \omega }{2\pi }$

   Cevap ailesini seçin; Butterworth bant geçiren veya durduran için alçak geçiren prototipin uygun frekans dönüşümü gerekir.

   Kurulabilir katlar seçin; iki birinci-derece gerçek-kutuplu katın kaskadı keyfi seçicilik vermez:

   $\displaystyle Q=\frac{\sqrt{a b}}{a+b}\le \frac{1}{2}$

   Sesli anlatım metni

   Pratik iş akışı şöyledir. Önce şekli seç: band geçiren mi, band durduran mı? Sonra iki sınır frekansını seç. Merkez frekansını, bant genişliğini ve Q değerini hesapla. Ardından Butterworth gibi cevap ailesini seç. Son olarak tasarımı op-amp'ın gerçekten taşıyabileceği aktif katlara böl.

10. 10. Gerçek kazanç, yükleme ve toleransı kontrol et

    

    Seçilen topolojiyi ve hedeflenen seçiciliği gerçek devrenin sınırlarıyla karşılaştırın.

    Çevrim kazancı, gürültü kazancı, kullanılabilir bant genişliği ve kararlılığı çalışma bandının tamamında kontrol edin.

    Tamponlama yüklemeyi azaltır; galvanik yalıtım veya sınırsız çıkış sürüşü değildir.

    Kondansatör toleransı merkez, genişlik ve diğer cevap özelliklerini kaydırabilir.

    Direnç toleransı veya eşleşmesi merkez, Q ve iptal derinliğini topolojiye bağlı olarak değiştirebilir.

    İdeal hesaptan sonra simülasyon ve veri sayfasını; değişim hızı, çıkış salınımı, gürültü ve yük sınırlarıyla kontrol edin.

    Sesli anlatım metni

    Orta bant aktif filtrelerde gerçek dünya sınırları önemlidir. Op-amp yeterli kazanç-bant genişliğine sahip olmalıdır. Katlar uygun şekilde tamponlanmalıdır. Kondansatör toleransı merkez frekansını kaydırabilir. Direnç eşleşmesi Q değerini veya çentik derinliğini değiştirebilir. Bu yüzden son devre simülasyonla ve op-amp veri sayfasıyla kontrol edilmelidir.

11. 11. Orta bant filtre tasarımını özetle

    

    Özet: bağlantı biçimi ve çalışma koşulları toplam bant cevabını belirler.

    Uygun kaskad veya ağırlıklı yollar bant geçirme ya da bastırma sağlar; rastgele alçak ve yüksek geçiren toplamak yeterli değildir.

    Toplam sınırlar ve belirtilen modelin geometrik merkeziyle tutarlı genişlik kullanın:

    $\displaystyle \omega _{0}=\sqrt{\omega _{1} \omega _{2}}, Q=\frac{\omega _{0}}{\omega _{2}-\omega _{1}}$

    Butterworth geçirme bandında dalgalanmasızdır; sesin “geçiş bandı” terimi burada passband anlamındadır, düz geçiş bölgesi veya doğrusal faz vaadi değildir.

    Daha yüksek dereceli katlar hedeflenen kutupları, sıfırları ve gerçek çalışma sınırlarını sağlamalıdır.

    Sesli anlatım metni

    Özetleyelim. Aktif alçak geçiren ve yüksek geçiren katlar birleştirilerek band geçiren ve band durduran davranış elde edilir. Ana parametreler iki sınır frekansı, merkez frekansı, bant genişliği ve Q değeridir. Butterworth, düz ve yumuşak geçiş bandı isteyen tasarımlar için temel seçenektir. Sonraki adımda bu sezgiyi daha yüksek dereceli aktif filtre katlarına çevirebiliriz.

Kaynak video: Devre Teorisi-2 #25 | Aktif Bant Geçiren, Bant Durduran ve Butterworth Filtreler (3:55)