#30 Aktif süspansiyon durum modelinden (sI−A)⁻¹ çözücüsüyle kontrol ve yol-bozucusu transferlerinin çıkarılması, G₁ ve G₂'nin ayrılması

Aşağıda defterde yazılan bütün satırlar ve bunlara eşlik eden sesli anlatımın tam metni bulunur.

1. 1. Aktif süspansiyonda durum-uzayı hedefini kur

   

   Aktif süspansiyon sistemine geri dönüyoruz.

   Önceki bir videoda sistemi fizikten modelleyip blok diyagramını kurmuştuk.

   Sonraki videoda bu blok diyagramı seri, toplama noktası taşıma ve geri besleme kuralları ile sadeleştirip G1 ve G2 transfer fonksiyonlarını bulmuştuk.

   Bu kez aynı sonucu bağımsız bir yöntemle, durum uzayı üzerinden çıkaracağız.

   Durum denklemlerini ve A, Bᵤ, B_w, Cᵧ matrislerini kurup G(s)=Cᵧ(sI−A)⁻¹B+D formülünü uygulayacağız.

   Aynı fiziksel sistem, aynı cevap, yeni teknik.

   Sesli anlatım metni

   Aktif süspansiyon sistemine geri dönüyoruz. Önceki bir videoda sistemi fizikten modelleyip blok diyagramını kurmuştuk. Sonraki videoda bu blok diyagramı seri, toplama noktası taşıma ve geri besleme kuralları ile sadeleştirip G1 ve G2 transfer fonksiyonlarını bulmuştuk. Bugün aynı cevaba tamamen farklı bir yöntemle ulaşacağız: durum uzayı. Durum denklemlerini yazacak, A, b, c matrislerini kuracak, ardından G eşittir c transpoz çarpı s I eksi A tersi çarpı b matris formülünü uygulayacağız. Aynı fiziksel sistem, aynı cevap, yeni teknik.

2. 2. Durumları, iki girişi ve çıkışı seç

   

   Birinci adım: durumları seç.

   Blok diyagrama baktığımızda iki integratör seri bağlı.

   Her integratör bir durum saklar.

   Bu çözüm için x₁=x ve x₂=ẋ durum sırasını seçiyoruz; durum sırası eşdeğer biçimde değiştirilebilir.

   En sağdaki integratörün çıkışı x, yani konum.

   Ortadaki integratörün çıkışı x'in türevi, yani hız.

   Durumlar: x₁=x ve x₂=ẋ.

   Giriş u, gerilim.

   Bozucu giriş: w=h, yol yüksekliği.

   Çıkış:

   $\displaystyle y=x=x₁.$

   Sesli anlatım metni

   Birinci adım: durumları seç. Blok diyagrama baktığımızda iki integratör seri bağlı. Her integratör bir durum saklar. İntegratör çıkışlarını sağdan sola adlandırırız. En sağdaki integratörün çıkışı x, yani konum. Ortadaki integratörün çıkışı x'in türevi, yani hız. Yani durum bir eşittir x, durum iki eşittir x nokta. Giriş u, gerilim. Bozucu w, eşittir h, yol pürüzlülüğü. Çıkış y, eşittir x, yani durum bir.

3. 3. Durum ve çıkış denklemlerini yaz

   

   İkinci adım: durum denklemlerini yaz.

   Blok diyagramdan, birinci integratör x noktayı x'e çevirir.

   Birinci durum denklemi:

   $\displaystyle ẋ₁=x₂.$

   Bu birinci denklem.

   İkinci integratöre giren toplam kuvvet kütle m'e bölünür.

   İntegratöre giren toplam kuvvet c çarpı w eksi durum bir, artı K çarpı A çarpı u.

   Hepsini m'e böl.

   İkinci durum denklemi: ẋ₂=−(c/m)x₁+(KA/m)u+(c/m)w.

   Çıkış denklemi:

   $\displaystyle y=x₁.$

   Tam bir durum uzayı modelimiz var.

   Sesli anlatım metni

   İkinci adım: durum denklemlerini yaz. Blok diyagramdan, birinci integratör x noktayı x'e çevirir. Yani durum birin türevi eşittir durum iki. Bu birinci denklem. İkinci integratöre giren toplam kuvvet kütle m'e bölünür. İntegratöre giren toplam kuvvet c çarpı w eksi durum bir, artı K çarpı A çarpı u. Hepsini m'e böl. Yani durum ikinin türevi eşittir c bölü m çarpı w eksi durum bir, artı K A bölü m çarpı u. Çıkış denklemi basit: y eşittir durum bir. Tam bir durum uzayı modelimiz var.

4. 4. A, Bᵤ, B_w ve Cᵧ matrislerini kur

   

   Üçüncü adım: matrisleri çıkar.

   İki durum denklemini matris formuna yaz.

   Durum modeli:

   $\displaystyle ẋ=Ax+Bᵤu+B_{w}\cdot w.$

   Birinci satır: A₁=[0,1]; kontrol ve bozucu giriş vektörlerinin ilk elemanları 0.

   İkinci satır:

   $\displaystyle A₂=\left[-\frac{c}{m},0\right].$

   Kontrol vektörü Bᵤ=[0,KA/m]ᵀ.

   Bozucu vektörü B_w=[0,c/m]ᵀ.

   Çıkış satırı Cᵧ=[1,0]; doğrudan geçişler Dᵤ=D_w=0.

   Sesli anlatım metni

   Üçüncü adım: matrisleri çıkar. İki durum denklemini matris formuna yaz. x noktası eşittir A çarpı x artı b çarpı u artı o çarpı w. Birinci denklemden: türev sadece durum iki, dolayısıyla A'nın birinci satırı sıfır bir, b ve o'nun birinci elemanları sıfır. İkinci denklemden: durum bir eksi c bölü m katsayısı ile, durum iki yok, dolayısıyla A'nın ikinci satırı eksi c bölü m, sıfır. u'nun katsayısı K A bölü m, dolayısıyla b'nin ikinci elemanı K A bölü m. w'nun katsayısı c bölü m, dolayısıyla o'nun ikinci elemanı c bölü m. Çıkış için y eşittir durum bir, dolayısıyla c transpoz bir sıfır ve d sıfır.

5. 5. Kontrol girişinden çıkışa transferi hesapla

   

   Dördüncü adım: transfer fonksiyonu formülünü uygula.

   Kontrol transferi: Gᵤ(s)=Cᵧ(sI−A)⁻¹Bᵤ.

   Önce s I eksi A'yı hesapla.

   s I matrisi köşegende s, diğer yerlerde sıfır.

   sI−A=[[s,−1],[c/m,s]].

   det(sI−A)=s²+c/m.

   (sI−A)⁻¹={1/(s²+c/m)}[[s,1],[−c/m,s]].

   Çarpım sırası: Cᵧ(sI−A)⁻¹Bᵤ.

   Gᵤ(s)=(KA/m)/(s²+c/m).

   Gᵤ(s)=KA/(ms²+c).

   Gᵤ(s)=(KA/c)/[1+(m/c)s²]=G₁(s)G₂(s).

   Kontrol yolu transferi Gᵤ(s)=G₁(s)G₂(s)'dir.

   Sesli anlatım metni

   Dördüncü adım: transfer fonksiyonu formülünü uygula. u'dan y'ye transfer fonksiyonu için G eşittir c transpoz çarpı s I eksi A tersi çarpı b formülünü kullanırız. Önce s I eksi A'yı hesapla. s I matrisi köşegende s, diğer yerlerde sıfır. A'yı çıkar: sonuç birinci satırda s, eksi bir; ikinci satırda c bölü m, s. Determinantını hesapla: s çarpı s eksi eksi bir çarpı c bölü m, eşittir s kare artı c bölü m. Yani tersi bir bölü s kare artı c bölü m çarpı s, bir, eksi c bölü m, s matrisi. Şimdi çarp: c transpoz, sonra ters, sonra b. Sonuç K A bölü m, bölü s kare artı c bölü m. Pay ve paydayı m ile çarparak temizle: K A bölü m s kare artı c. Paydan c'yi paranteze al: K A bölü c, bölü bir artı s kare m bölü c. Bu G bir çarpı G iki.

6. 6. Bozucu transferinden G₂'yi, oranla G₁'i bul

   

   Beşinci adım: G bir ve G iki'yi ayır ve doğrula.

   G iki'yi tek başına bulmamız gerek, yani bozucu w'dan çıkış y'ye transfer fonksiyonu.

   Bozucu transferi: G_w(s)=Cᵧ(sI−A)⁻¹B_w.

   $\displaystyle B_{w}=\left[0,\frac{c}{m}\right]ᵀ.$

   $\displaystyle G_{w}\left(s\right)=\left(\frac{c}{m}\right)/\left(s²+\frac{c}{m}\right).$

   G_w(s)=c/(ms²+c).

   $\displaystyle G_{w}\left(s\right)=\frac{1}{1+\left(\frac{m}{c}\right)s²}=G₂\left(s\right).$

   G₂(s)=1/[1+(m/c)s²]=c/(ms²+c).

   G₁(s)=Gᵤ(s)/G_w(s)=KA/c.

   Sonuç: G₁(s)=KA/c ve G₂(s)=1/[1+(m/c)s²]=c/(ms²+c).

   Bu cevaplar önceki videomuzda blok diyagram sadeleştirme ile bulduğumuz cevaplarla bire bir aynı.

   Durum uzayı ve blok indirgeme aynı X=(KAU+cH)/(ms²+c) bağıntısını verir.

   Sesli anlatım metni

   Beşinci adım: G bir ve G iki'yi ayır ve doğrula. G iki'yi tek başına bulmamız gerek, yani bozucu w'dan çıkış y'ye transfer fonksiyonu. Aynı formülü uygula ama b yerine o ile: G iki eşittir c transpoz çarpı s I eksi A tersi çarpı o. o vektörü sıfır, c bölü m. Çarp: sonuç c bölü m, bölü s kare artı c bölü m. Temizle: c bölü m s kare artı c. c'yi paranteze al: bir bölü bir artı s kare m bölü c. Yani G iki eşittir bir bölü bir artı s kare m bölü c. Şimdi G bir, G bir G iki'yi G iki'ye bölerek elde edilir: K A bölü c bölü bir, eşittir K A bölü c. Sonuç: G bir eşittir K A bölü c, G iki eşittir bir bölü bir artı s kare m bölü c. Bu cevaplar önceki videomuzda blok diyagram sadeleştirme ile bulduğumuz cevaplarla bire bir aynı. İki yöntem, tek gerçek.

7. 7. Durum uzayı ve blok indirgeme sonuçlarını doğrula

   

   Özetleyelim.

   Aktif süspansiyon sistemini ele aldık, ilk çözümlü örneğimizde modellediğimiz ve önceki çözümlü örneğimizde sadeleştirdiğimiz aynı sistem.

   Bu kez durum uzayı kullandık.

   Birinci adım: integratör çıkışlarını durum olarak seçtik, konum ve hız.

   İkinci adım: blok diyagramdan durum denklemlerini yazdık.

   Üçüncü adım: A, Bᵤ, B_w ve Cᵧ matrislerini çıkardık.

   Dördüncü adım: Gᵤ(s)=Cᵧ(sI−A)⁻¹Bᵤ ile G₁G₂ çarpımını bulduk.

   Beşinci adım: B_w ile G₂'yi, Gᵤ/G₂ oranıyla G₁'i bulduk.

   Sonuç: G₁(s)=KA/c ve G₂(s)=1/[1+(m/c)s²]=c/(ms²+c).

   Sonuç önceki blok-diyagram indirgemesiyle aynıdır.

   İki yöntem de başlangıç hareket denklemini eksiksiz yeniden üretir.

   Sesli anlatım metni

   Özetleyelim. Aktif süspansiyon sistemini ele aldık, ilk çözümlü örneğimizde modellediğimiz ve önceki çözümlü örneğimizde sadeleştirdiğimiz aynı sistem. Bu kez durum uzayı kullandık. Birinci adım: integratör çıkışlarını durum olarak seçtik, konum ve hız. İkinci adım: blok diyagramdan durum denklemlerini yazdık. Üçüncü adım: A, b, o, c matrislerini çıkardık. Dördüncü adım: s I eksi A tersini hesaplayıp c transpoz s I eksi A tersi b formülünü uygulayarak G bir G iki'yi bulduk. Beşinci adım: o vektörü ile G iki'yi tek başına bulup bölerek G bir'i çıkardık. Sonuç: G bir eşittir K A bölü c, G iki eşittir bir bölü bir artı s kare m bölü c. Öncekiyle aynı, farklı yöntemle. İki yol, tek varış.

Kaynak video: Kontrol Teorisi #30 — Durum Uzayından Transfer Fonksiyonuna (Çözümlü Örnek 7) (6:11)