#24 Aktif süspansiyon modelleme, diferansiyel denklem ve blok diyagram

Aşağıda defterde yazılan bütün satırlar ve bunlara eşlik eden sesli anlatımın tam metni bulunur.

1. 1. Fiziksel sistemi ve istenen modeli kur

   

   Verilen aktif süspansiyon sistemi

   Araç gövdesi: kütle m

   Elastik eleman: yay sabiti c

   Hidrolik silindir kesit alanı: A

   Dönüştürücü bağıntısı: Δp = Ku

   Silindir kuvveti: F_sil = AΔp = AKu

   Yol yüksekliği h değişirken gövde konumu x düzenlenecek

   Hedef: sinyaller → diferansiyel denklem → blok diyagram

   Sesli anlatım metni

   İşte problemimiz. Engebeli bir yolda giden bir otomobilimiz var. Araç gövdesinin kütlesi m ve yay sabiti c olan bir yay üzerinde duruyor. Ayrıca yüzey alanı A olan bir hidrolik silindir, gövdeyi yukarı veya aşağı itebiliyor. Bir elektro-hidrolik dönüştürücü, giriş gerilimi u'yu alarak delta p eşittir K çarpı u şeklinde bir basınç farkı oluşturuyor. Sistemin amacı, yol yüzeyi yüksekliği h değişse bile araç gövdesini sabit tutmak, yani yer değiştirme x'in sıfıra yakın kalmasını sağlamaktır. Üç şey yapmamız gerekiyor: giriş, çıkış ve bozucu sinyalleri belirlemek; diferansiyel denklemi yazmak; ve blok diyagramı çizmek.

2. 2. Giriş, çıkış ve bozucuyu ayır

   

   1. Sinyalleri sınıflandır

   Kontrol girişi: u [V]

   u → dönüştürücü → Δp = Ku

   Ölçülen/düzenlenen çıkış: x [m]

   Dış bozucu: yol yüksekliği h [m]

   h kontrol edilmez; etkisi x üzerinden bastırılmak istenir

   Giriş u — çıkış x — bozucu h

   Sesli anlatım metni

   a şıkkıyla başlayalım: sinyallerin belirlenmesi. Neyi kontrol edebiliyoruz? Elektro-hidrolik dönüştürücüye giden gerilim u'yu. Bu bizim giriş sinyalimiz. Neyi ölçmek veya düzenlemek istiyoruz? Araç gövdesinin yer değiştirmesi x'i. Bu bizim çıkış sinyalimiz. Kontrol edemediğimiz dış bozucu nedir? Yolun engebeliliği, yani yükseklik h. Bu da bizim bozucu sinyalimiz. Özetleyecek olursak: giriş u, çıkış x, bozucu h.

3. 3. Newton yasasıyla kuvvet dengesini yaz

   

   2. Gövde için kuvvet dengesi

   Pozitif yön: yukarı

   Newton:

   $\displaystyle ΣF = m ẍ$

   Yayın bağıl sıkışması: h - x

   Yay kuvveti: F_yay = c(h - x)

   Silindir kuvveti: F_sil = AΔp = AKu

   Statik denge çevresinde mg sabit terimi birbirini götürür

   m ẍ = F_yay + F_sil

   Birim: c(h-x) ve AKu → N; m ẍ → N

   İşaret kontrolü: h artarsa yay gövdeyi yukarı iter

   Sesli anlatım metni

   Şimdi b şıkkı: diferansiyel denklem. Newton'un ikinci yasasını kullanıyoruz. Araç gövdesine etki eden tüm kuvvetlerin toplamı, kütle çarpı ivmeye eşittir. m çarpı x üssü iki nokta eşittir kuvvetlerin toplamı F sigma yazalım. Araç gövdesine hangi kuvvetler etki ediyor? Üç kuvvet var. Birincisi, yay kuvveti. Yay, araç gövdesini tekerleğe bağlıyor. Yol h kadar yükseldiğinde ve gövde x kadar hareket ettiğinde, yayın sıkışması h eksi x olur. Dolayısıyla yay kuvveti c çarpı h eksi x'tir. İkincisi, hidrolik silindir kuvveti. Silindir, basınç farkı çarpı yüzey alanına eşit bir kuvvetle iter: A çarpı delta p. Ve delta p eşittir K çarpı u olduğunu biliyoruz. Dolayısıyla silindir kuvveti A çarpı K çarpı u'dur. Üçüncüsü, yerçekimi m çarpı g kuvvetiyle aşağı çeker, ancak yayın denge konumu zaten yerçekimini hesaba katar. Bu nedenle yay kuvvetini c çarpı h eksi x olarak yazdığımızda, yerçekimi birbirini götürür.

4. 4. Diferansiyel denklemi aç ve standartlaştır

   

   3. Diferansiyel denklemi düzenle

   m ẍ = c(h - x) + AKu

   Parantezi aç: m ẍ = ch - cx + AKu

   -cx terimini sola taşı

   m ẍ + cx = ch + AKu

   İvme biçimi: ẍ = (ch - cx + AKu)/m

   İki giriş vardır: kontrol u ve bozucu h

   Sağlama: u=0 ve h=x ise ẍ=0

   Yaygın hata: c(h-x) ifadesindeki c'yi yalnız h ile çarpmak

   Sesli anlatım metni

   Hepsini bir araya getirelim. m çarpı x üssü iki nokta eşittir c çarpı h eksi x miktarı, artı A çarpı K çarpı u. Açalım: m çarpı x üssü iki nokta eşittir c çarpı h eksi c çarpı x artı A çarpı K çarpı u. İşte diferansiyel denklemimiz bu. Dikkat edin, iki girişi var: yoldan gelen bozucu h ve gerilimden gelen kontrol girişi u. Çıkış ise yer değiştirme x. Yeniden düzenleyelim: m çarpı x üssü iki nokta artı c çarpı x eşittir c çarpı h artı A çarpı K çarpı u.

5. 5. İvmeden konuma iki integratörle geç

   

   4. İvmeden yer değiştirmeye geç

   Toplama düğümü: F_Σ = ch - cx + AKu

   Kütle bloğu:

   $\displaystyle ẍ =\frac{ F_{Σ}}{m}$

   Birinci integral:

   $\displaystyle ẋ = \int ẍ \mathrm{d}t$

   İkinci integral:

   $\displaystyle x = \int ẋ \mathrm{d}t$

   Laplace blokları: 1/s → 1/s

   Zincir: F_Σ → 1/m → ẍ → 1/s → ẋ → 1/s → x

   Birim zinciri: N/kg = m/s² → m/s → m

   Sesli anlatım metni

   Blok diyagramı oluşturmak için x'i integraller cinsinden ifade etmemiz gerekiyor. Denklemden, x üssü iki nokta eşittir bir bölü m çarpı c çarpı h eksi c çarpı x artı A çarpı K çarpı u miktarı. x üssü iki noktayı bir kez integre edersek, x nokta yani hız elde ederiz. Tekrar integre edersek, x yani yer değiştirmeyi elde ederiz. Dolayısıyla blok diyagramımızda iki integratöre ihtiyacımız var. Birinci integratör ivmeyi alıp hızı verir. İkincisi hızı alıp yer değiştirmeyi verir.

6. 6. Blok diyagramı sinyal yollarıyla kur

   

   5. Blok diyagramı kur

   Kontrol yolu: u → K → Δp → A → AKu

   Bozucu yolu: h → c → ch

   Geri besleme yolu: x → c → cx

   Toplama işaretleri: +AKu, +ch, -cx

   F_Σ = AKu + ch - cx

   F_Σ → 1/m → ẍ

   ẍ → 1/s → ẋ → 1/s → x

   x çıkışı c bloğundan toplama düğümüne eksi döner

   Diyagram kontrolü: m ẍ = ch - cx + AKu

   Sesli anlatım metni

   Şimdi blok diyagramı adım adım çizelim. Soldan başlayalım. Giriş gerilimi u, K bloğundan geçerek delta p'yi verir. Ardından A bloğundan geçerek silindir kuvveti A çarpı delta p'yi verir. Bu kuvvet bir toplama noktasına girer. Yol bozucusu h, c bloğundan geçerek yoldan gelen yay kuvvetini verir: c çarpı h. Bu da toplama noktasına pozitif giriş olarak eklenir. Gövde yer değiştirmesinden kaynaklanan yay kuvveti c çarpı x'tir. Bu, negatif geri besleme olarak girer: eksi c çarpı x. Bu kuvvetlerin toplamı F sigma'dır. F sigma, bir bölü m bloğundan geçerek ivmeyi verir. Ardından birinci integratörden geçerek hızı verir. Sonra ikinci integratörden geçerek çıkış x'i verir. Son olarak, x negatif yay kuvveti geri beslemesini oluşturmak için c bloğundan geri beslenir.

7. 7. Modeli sonuçlar ve sağlamalarla kapat

   

   Sonuçları toparla

   Giriş u, çıkış x, bozucu h

   Basınç ve silindir kuvveti: Δp=Ku, F_sil=AKu

   Yay kuvveti: F_yay=c(h-x)

   Hareket denklemi: m ẍ + cx = ch + AKu

   Blok denetimi: F_Σ/m → 1/s → 1/s → x

   Denge sağlaması:

   $\displaystyle u=0, h=x \Rightarrow F_{Σ}=0$

   İşaret sağlaması: x artışı -cx geri beslemesini büyütür

   Model kontrolör tasarımına hazır

   Sesli anlatım metni

   Yaptıklarımızı gözden geçirelim. Fiziksel bir sistemle başladık: engebeli bir yolda yay ve hidrolik aktüatörlü bir otomobil. Üç sinyal belirledik: giriş gerilimi u, çıkış yer değiştirmesi x ve bozucu yol yüksekliği h. Newton'un ikinci yasasını uygulayarak diferansiyel denklemi yazdık: m x üssü iki nokta eşittir c çarpı h eksi x artı A K u. Ve bu denklemi iki integratörlü, yay için geri besleme döngülü ve kontrol gerilimi ile yol bozucusu için iki giriş yollu bir blok diyagrama dönüştürdük. Bu, kontrolör tasarımına hazır eksiksiz bir sistem modelidir.

Kaynak video: Kontrol Teorisi #24 — Aktif Süspansiyon Modelleme (Çözümlü Örnek) (5:30)