#02 متجهات الوحدة ومتجه الموضع وعناصر الخط والسطح والحجم التفاضلية

تجد أدناه جميع الأسطر المكتوبة في الدفتر مع النص الكامل للشرح الصوتي.

1. 1. رتّب لبنات الدرس

   

   في الدرس السابق بدأنا سلسلة النظرية الكهرومغناطيسية، وميزنا بين المجال القياسي والمجال المتجه، وأخذنا لمحة عن أنظمة الإحداثيات الثلاثة التي سنستخدمها.

   الآن ندخل في النظام الأول: نظام الإحداثيات الكارتيزية.

   سنعرّف المحاور x و y و z، ومتجهات الوحدة، ثم العناصر التفاضلية الثلاثة التي تظهر في كل مكان في الكهرومغناطيسية: عنصر الخط، وعنصر السطح، وعنصر الحجم.

   نص الشرح الصوتي

   في الدرس السابق بدأنا سلسلة النظرية الكهرومغناطيسية، وميزنا بين المجال القياسي والمجال المتجه، وأخذنا لمحة عن أنظمة الإحداثيات الثلاثة التي سنستخدمها. الآن ندخل في النظام الأول: نظام الإحداثيات الكارتيزية. سنعرّف المحاور x و y و z، ومتجهات الوحدة، ثم العناصر التفاضلية الثلاثة التي تظهر في كل مكان في الكهرومغناطيسية: عنصر الخط، وعنصر السطح، وعنصر الحجم.

2. 2. كوّن المحاور ومتجهات الوحدة

   

   نظام الإحداثيات الكارتيزية يستخدم ثلاثة محاور متعامدة: x و y و z.

   عند أي نقطة في الفضاء نعرّف ثلاثة متجهات وحدة: eₓ في اتجاه x، و eᵧ في اتجاه y، و e_z في اتجاه z.

   كل واحد منها مقداره واحد بالضبط.

   هذه المتجهات متعامدة، أي إن الضرب النقطي بين أي متجهين مختلفين = صفرا.

   كما أنها تتبع قاعدة اليد اليمنى: eₓ × eᵧ يعطينا e_z، و eᵧ × e_z يعطينا eₓ، و e_z × eₓ يعطينا eᵧ.

   هذه العلاقة الدورية أساسية جدا، لأنها تحدد اتجاه النواتج المتجهة لاحقا.

   نص الشرح الصوتي

   نظام الإحداثيات الكارتيزية يستخدم ثلاثة محاور متعامدة: x و y و z. عند أي نقطة في الفضاء نعرّف ثلاثة متجهات وحدة: e x في اتجاه x، و e y في اتجاه y، و e z في اتجاه z. كل واحد منها مقداره واحد بالضبط. هذه المتجهات متعامدة، أي إن الضرب النقطي بين أي متجهين مختلفين يساوي صفرا. كما أنها تتبع قاعدة اليد اليمنى: e x cross e y يعطينا e z، و e y cross e z يعطينا e x، و e z cross e x يعطينا e y. هذه العلاقة الدورية أساسية جدا، لأنها تحدد اتجاه النواتج المتجهة لاحقا.

3. 3. اكتب متجه الموضع

   

   أي نقطة P في الفضاء يمكن تحديدها بثلاث إحداثيات: x₀، و y₀، و z₀.

   متجه الموضع r يشير من الأصل إلى النقطة P، ويكتب على الصورة:

   $\displaystyle r = x₀ \times eₓ,\; + y₀ \times eᵧ,\; + z₀ \times e_{z}.$

   مثلا، إذا كانت النقطة P هي 3 و 2 و 4، فإن متجه الموضع هو:

   $\displaystyle r = 3 eₓ + 2 eᵧ + 4 e_{z}.$

   ومقدار r يعطينا المسافة من الأصل: √ x تربيع + y تربيع + z تربيع.

   نص الشرح الصوتي

   أي نقطة P في الفضاء يمكن تحديدها بثلاث إحداثيات: x صفر، و y صفر، و z صفر. متجه الموضع r يشير من الأصل إلى النقطة P، ويكتب على الصورة: r يساوي x صفر مضروبا في e x، زائد y صفر مضروبا في e y، زائد z صفر مضروبا في e z. مثلا، إذا كانت النقطة P هي 3 و 2 و 4، فإن متجه الموضع هو: r يساوي 3 e x زائد 2 e y زائد 4 e z. ومقدار r يعطينا المسافة من الأصل: الجذر التربيعي لـ x تربيع زائد y تربيع زائد z تربيع.

4. 4. كوّن عنصر الخط التفاضلي

   

   عنصر الخط التفاضلي dl يمثل إزاحة صغيرة جدا في الفضاء.

   في الإحداثيات الكارتيزية نكتبه هكذا: dl = dx eₓ + dy eᵧ + dz e_z.

   إذا تحركنا فقط على محور x فإنه يختصر إلى dx eₓ.

   وعلى محور y يصبح dy eᵧ، وعلى محور z يصبح dz e_z.

   ومقداره = √ dx تربيع + dy تربيع + dz تربيع.

   سنستخدم dl كثيرا عند حساب تكاملات الخط للمجالات، مثل تكامل المجال الكهربائي على مسار معين.

   نص الشرح الصوتي

   عنصر الخط التفاضلي d l يمثل إزاحة صغيرة جدا في الفضاء. في الإحداثيات الكارتيزية نكتبه هكذا: d l يساوي d x e x زائد d y e y زائد d z e z. إذا تحركنا فقط على محور x فإنه يختصر إلى d x e x. وعلى محور y يصبح d y e y، وعلى محور z يصبح d z e z. ومقداره يساوي الجذر التربيعي لـ d x تربيع زائد d y تربيع زائد d z تربيع. سنستخدم d l كثيرا عند حساب تكاملات الخط للمجالات، مثل تكامل المجال الكهربائي على مسار معين.

5. 5. حدّد عناصر السطح الموجهة

   

   عنصر السطح التفاضلي dS يمثل رقعة مساحة صغيرة جدا، ومعه اتجاه يحدده المتجه العمودي على السطح.

   في مستوى xy يكون العمودي في اتجاه z، لذلك dS = dx dy e_z.

   في مستوى xz يكون العمودي في اتجاه y، فنكتب dS = dx dz eᵧ.

   وفي مستوى yz يكون العمودي في اتجاه x، فنكتب dS = dy dz eₓ.

   لتذكر الإشارة استخدم قاعدة اليد اليمنى: لف أصابعك من المحور الأول إلى المحور الثاني، فيشير الإبهام إلى اتجاه العمودي الموجب.

   نص الشرح الصوتي

   عنصر السطح التفاضلي d S يمثل رقعة مساحة صغيرة جدا، ومعه اتجاه يحدده المتجه العمودي على السطح. في مستوى x y يكون العمودي في اتجاه z، لذلك d S يساوي d x d y e z. في مستوى x z يكون العمودي في اتجاه y، فنكتب d S يساوي d x d z e y. وفي مستوى y z يكون العمودي في اتجاه x، فنكتب d S يساوي d y d z e x. لتذكر الإشارة استخدم قاعدة اليد اليمنى: لف أصابعك من المحور الأول إلى المحور الثاني، فيشير الإبهام إلى اتجاه العمودي الموجب.

6. 6. اكتب عنصر الحجم التفاضلي

   

   عنصر الحجم التفاضلي هو الأبسط بين الثلاثة.

   إنه كمية قياسية: dV = dx × dy × dz.

   هذا يمثل حجم صندوق مستطيل صغير جدا.

   بخلاف dl و dS، عنصر الحجم لا يملك اتجاها.

   نستخدمه عندما نكامل مجالا قياسيا على حجم، مثلا عند حساب الشحنة الكلية من كثافة الشحنة الحجمية.

   نص الشرح الصوتي

   عنصر الحجم التفاضلي هو الأبسط بين الثلاثة. إنه كمية قياسية: d V يساوي d x مضروبا في d y مضروبا في d z. هذا يمثل حجم صندوق مستطيل صغير جدا. بخلاف d l و d S، عنصر الحجم لا يملك اتجاها. نستخدمه عندما نكامل مجالا قياسيا على حجم، مثلا عند حساب الشحنة الكلية من كثافة الشحنة الحجمية.

7. 7. لخّص العناصر الكارتيزية

   

   لنلخص.

   في نظام الإحداثيات الكارتيزية، متجه الموضع هو r = x eₓ + y eᵧ + z e_z.

   وعنصر الخط هو dl = dx eₓ + dy eᵧ + dz e_z.

   وعنصر السطح dS يعتمد على المستوى الذي نعمل عليه، وقاعدة اليد اليمنى تحدد اتجاهه وإشارته.

   أما عنصر الحجم فهو ببساطة dV = dx dy dz.

   في الدرس التالي ننتقل إلى الإحداثيات الأسطوانية، حيث تصبح الهندسة دائرية ومناسبة للأسلاك والتماثلات الأسطوانية.

   نص الشرح الصوتي

   لنلخص. في نظام الإحداثيات الكارتيزية، متجه الموضع هو r يساوي x e x زائد y e y زائد z e z. وعنصر الخط هو d l يساوي d x e x زائد d y e y زائد d z e z. وعنصر السطح d S يعتمد على المستوى الذي نعمل عليه، وقاعدة اليد اليمنى تحدد اتجاهه وإشارته. أما عنصر الحجم فهو ببساطة d V يساوي d x d y d z. في الدرس التالي ننتقل إلى الإحداثيات الأسطوانية، حيث تصبح الهندسة دائرية ومناسبة للأسلاك والتماثلات الأسطوانية.

الفيديو المصدر: النظرية الكهرومغناطيسية #02 | نظام الإحداثيات الكارتيزية: متجهات الوحدة و dl و dS و dV (5:04)