النظرية الكهرومغناطيسية · نظام الإحداثيات الكروية

#04 تعريف الإحداثيات الكروية والتحويل الكارتيزي والعناصر التفاضلية

تتبّع معاملي القياس r وr sin θ من تحويلات الإحداثيات إلى عناصر الخط والسطح والحجم في النظام الكروي.

السؤال

لقطة درس تعرض إحداثيات r وtheta وphi الكروية والتحويلات وعناصر الخط والسطح والحجم التفاضلية. — في النظام الكروي معامل القياس في اتجاه θ هو r، وفي اتجاه φ هو r sin θ.

عرّف المتغيرات الكروية r وθ وφ ومتجهات الوحدة، واكتب التحويلات الكارتيزية ومتجه الموضع وعناصر dl وdS وdV مع معاملات القياس.

الحل المكتوب ونص الشرح(يعرض الحل كاملًا)

تجد أدناه جميع الأسطر المكتوبة في الدفتر مع النص الكامل للشرح الصوتي.

1. مهّد للانتقال إلى الإحداثيات الكروية
في النظام الكروي معامل القياس في اتجاه θ هو r، وفي اتجاه φ هو r sin θ.
في الدرس السابق عرفنا نظام الإحداثيات الأسطوانية، مع الإحداثيات ρ وφ و z، ورأينا عامل القياس ρ في اتجاه φ.
الآن ننتقل إلى النظام الثالث والأخير في هذا الجزء: نظام الإحداثيات الكروية.
سنعرف الإحداثيات r و θ و φ، ثم نكتب التحويل مع النظام الكارتيزي، وبعد ذلك نشتق عناصر الخط والسطح والحجم: dl و dS و dV.
نص الشرح الصوتي
في الدرس السابق عرفنا نظام الإحداثيات الأسطوانية، مع الإحداثيات رو وفاي و z، ورأينا عامل القياس رو في اتجاه فاي. الآن ننتقل إلى النظام الثالث والأخير في هذا الجزء: نظام الإحداثيات الكروية. سنعرف الإحداثيات r و ثيتا و فاي، ثم نكتب التحويل مع النظام الكارتيزي، وبعد ذلك نشتق عناصر الخط والسطح والحجم: d l و d S و d V.
2. عرّف إحداثيات r وθ وφ
في النظام الكروي معامل القياس في اتجاه θ هو r، وفي اتجاه φ هو r sin θ.
نظام الإحداثيات الكروية يستخدم ثلاثة متغيرات: r و θ و φ.
الإحداثي r هو المسافة من الأصل إلى النقطة، ولذلك فهو دائما غير سالب.
الزاوية θ هي الزاوية القطبية، وتقاس من المحور z الموجب إلى أسفل، وتتغير من صفر إلى π.
أما φ فهي زاوية السمت، وتقاس من المحور x الموجب داخل المستوى x y، وتتغير من صفر إلى 2π.
عند كل نقطة نعرف ثلاثة متجهات وحدة متعامدة: e_r في الاتجاه الشعاعي إلى الخارج، وe_θ في اتجاه زيادة θ، وe_φ في اتجاه زيادة φ.
هذه المتجهات تتغير من نقطة إلى نقطة، لكنها تبقى متعامدة وتتبع قاعدة اليد اليمنى.
نص الشرح الصوتي
نظام الإحداثيات الكروية يستخدم ثلاثة متغيرات: r و ثيتا و فاي. الإحداثي r هو المسافة من الأصل إلى النقطة، ولذلك فهو دائما غير سالب. الزاوية ثيتا هي الزاوية القطبية، وتقاس من المحور z الموجب إلى أسفل، وتتغير من صفر إلى باي. أما فاي فهي زاوية السمت، وتقاس من المحور x الموجب داخل المستوى x y، وتتغير من صفر إلى اثنين باي. عند كل نقطة نعرف ثلاثة متجهات وحدة متعامدة: إي هات r في الاتجاه الشعاعي إلى الخارج، وإي هات ثيتا في اتجاه زيادة ثيتا، وإي هات فاي في اتجاه زيادة فاي. هذه المتجهات تتغير من نقطة إلى نقطة، لكنها تبقى متعامدة وتتبع قاعدة اليد اليمنى.
3. اكتب التحويلات الكارتيزية
في النظام الكروي معامل القياس في اتجاه θ هو r، وفي اتجاه φ هو r sin θ.
للتحويل من الإحداثيات الكروية إلى الكارتيزية نستخدم الإسقاطات الهندسية.
الإحداثي x = r sin θ cos φ.
والإحداثي y = r sin θ sin φ.
أما الإحداثي z = r cos θ.
وفي الاتجاه العكسي، r = √(x² + y² + z²).
$\displaystyle و\theta = \arccos \left(\frac{z}{r}\right).$
$\displaystyle و\varphi = \arctan \left(\frac{y}{x}\right).$
متجه الموضع في النظام الكروي بسيط جدا: r⃗ = r e_r، لأن e_r يحمل بالفعل معلومات الاتجاهين الزاويين.
نص الشرح الصوتي
للتحويل من الإحداثيات الكروية إلى الكارتيزية نستخدم الإسقاطات الهندسية. الإحداثي x يساوي r في ساين ثيتا في كوساين فاي. والإحداثي y يساوي r في ساين ثيتا في ساين فاي. أما الإحداثي z فيساوي r في كوساين ثيتا. وفي الاتجاه العكسي، r يساوي الجذر التربيعي ل x تربيع زائد y تربيع زائد z تربيع. وثيتا تساوي أرك كوساين z على r. وفاي تساوي أرك تانجنت y على x. متجه الموضع في النظام الكروي بسيط جدا: r المتجه يساوي r في إي هات r، لأن إي هات r يحمل بالفعل معلومات الاتجاهين الزاويين.
4. اشتق عنصر الخط الكروي
في النظام الكروي معامل القياس في اتجاه θ هو r، وفي اتجاه φ هو r sin θ.
لنشتق الآن عنصر الخط التفاضلي dl.
في الاتجاه الشعاعي، إذا تغير r بمقدار dr، فإن الطول التفاضلي هو dr في e_r.
في اتجاه θ، التغير dθ هو تغير زاوي، والطول الحقيقي على القوس = r dθ، لذلك نحصل على r dθ في e_θ.
في اتجاه φ، القوس ليس نصف قطره r دائما، بل نصف قطره r sin θ، ولذلك يكون الطول r sin θ dφ في اتجاه e_φ.
إذن عنصر الخط الكامل هو dl = dr e_r + r dθ e_θ + r sin θ dφ e_φ.
نص الشرح الصوتي
لنشتق الآن عنصر الخط التفاضلي d l. في الاتجاه الشعاعي، إذا تغير r بمقدار d r، فإن الطول التفاضلي هو d r في إي هات r. في اتجاه ثيتا، التغير d ثيتا هو تغير زاوي، والطول الحقيقي على القوس يساوي r d ثيتا، لذلك نحصل على r d ثيتا في إي هات ثيتا. في اتجاه فاي، القوس ليس نصف قطره r دائما، بل نصف قطره r ساين ثيتا، ولذلك يكون الطول r ساين ثيتا d فاي في اتجاه إي هات فاي. إذن عنصر الخط الكامل هو d l يساوي d r إي هات r، زائد r d ثيتا إي هات ثيتا، زائد r ساين ثيتا d فاي إي هات فاي.
5. كوّن عناصر السطح الكروية
في النظام الكروي معامل القياس في اتجاه θ هو r، وفي اتجاه φ هو r sin θ.
عنصر السطح التفاضلي dS ينتج من ضرب طولين تفاضليين واختيار الاتجاه العمودي.
على سطح r ثابت، أي على كرة، نحصل على dS = r² sin θ dθ dφ e_r.
على سطح θ ثابت، وهو سطح مخروطي، نستخدم dr و dφ، فيكون dS = r sin θ dr dφ في e_θ.
وعلى سطح φ ثابت، وهو نصف مستوى يمر بمحور z، نستخدم dr و dθ، فنحصل على dS = r dr dθ في e_φ.
العامل r² sin θ يظهر عندما يدخل الاتجاهان الزاويان معا.
نص الشرح الصوتي
عنصر السطح التفاضلي d S ينتج من ضرب طولين تفاضليين واختيار الاتجاه العمودي. على سطح r ثابت، أي على كرة، نستخدم الاتجاهين الزاويين ثيتا وفاي، فنحصل على d S يساوي r تربيع ساين ثيتا d ثيتا d فاي في إي هات r. على سطح ثيتا ثابت، وهو سطح مخروطي، نستخدم d r و d فاي، فيكون d S يساوي r ساين ثيتا d r d فاي في إي هات ثيتا. وعلى سطح فاي ثابت، وهو نصف مستوى يمر بمحور z، نستخدم d r و d ثيتا، فنحصل على d S يساوي r d r d ثيتا في إي هات فاي. العامل r تربيع ساين ثيتا يظهر عندما يدخل الاتجاهان الزاويان معا.
6. اشتق عنصر الحجم الكروي
في النظام الكروي معامل القياس في اتجاه θ هو r، وفي اتجاه φ هو r sin θ.
عنصر الحجم التفاضلي يجمع الأطوال التفاضلية الثلاثة.
لدينا dr في الاتجاه الشعاعي، و r dθ في اتجاه θ، و r sin θ dφ في اتجاه φ.
لذلك dV = dr × r dθ × r sin θ dφ.
وبالتبسيط نحصل على dV = r² sin θ dr dθ dφ.
بالمقارنة مع الكارتيزي، حيث dV = dx dy dz، يحمل النظام الكروي العامل الهندسي r² sin θ.
وهذا يعني أن العناصر الأبعد عن الأصل، والأقرب إلى خط الاستواء، تمثل حجما أكبر لنفس الزيادات الزاوية.
نص الشرح الصوتي
عنصر الحجم التفاضلي يجمع الأطوال التفاضلية الثلاثة. لدينا d r في الاتجاه الشعاعي، و r d ثيتا في اتجاه ثيتا، و r ساين ثيتا d فاي في اتجاه فاي. لذلك d V يساوي d r مضروبا في r d ثيتا مضروبا في r ساين ثيتا d فاي. وبالتبسيط نحصل على d V يساوي r تربيع ساين ثيتا d r d ثيتا d فاي. بالمقارنة مع الكارتيزي، حيث d V يساوي d x d y d z، نرى أن النظام الكروي يحمل عاملا هندسيا إضافيا هو r تربيع ساين ثيتا. وهذا يعني أن العناصر الأبعد عن الأصل، والأقرب إلى خط الاستواء، تمثل حجما أكبر لنفس الزيادات الزاوية.
7. لخّص معاملات القياس
في النظام الكروي معامل القياس في اتجاه θ هو r، وفي اتجاه φ هو r sin θ.
لنلخص.
في الإحداثيات الكروية نستخدم r و θ و φ.
المجال هو r ≥ 0، و0 ≤ θ ≤ π، و0 ≤ φ < 2π.
عنصر الخط هو dl = dr e_r + r dθ e_θ + r sin θ dφ e_φ.
الفكرة الأساسية هي معاملات القياس: واحد في اتجاه r، و r في اتجاه θ، و r sin θ في اتجاه φ.
عنصر الحجم هو dV = r² sin θ dr dθ dφ.
بهذا اكتملت لدينا الأنظمة الثلاثة: الكارتيزي، والأسطواني، والكروي.
نص الشرح الصوتي
لنلخص. في الإحداثيات الكروية نستخدم r و ثيتا و فاي. المجال هو r أكبر أو يساوي صفر، وثيتا بين صفر وباي، وفاي بين صفر واثنين باي. عنصر الخط هو d l يساوي d r إي هات r زائد r d ثيتا إي هات ثيتا زائد r ساين ثيتا d فاي إي هات فاي. الفكرة الأساسية هي معاملات القياس: واحد في اتجاه r، و r في اتجاه ثيتا، و r ساين ثيتا في اتجاه فاي. عنصر الحجم هو d V يساوي r تربيع ساين ثيتا d r d ثيتا d فاي. بهذا اكتملت لدينا الأنظمة الثلاثة: الكارتيزي، والأسطواني، والكروي.