النظرية الكهرومغناطيسية · نظام الإحداثيات الأسطوانية

#03 تعريف الإحداثيات الأسطوانية والتحويل الكارتيزي والعناصر التفاضلية

تتبّع معامل القياس ρ من تحويلات الإحداثيات إلى عناصر الخط والسطح والحجم في النظام الأسطواني.

السؤال

لقطة درس تعرض إحداثيات rho وphi وz الأسطوانية والتحويلات وعناصر الخط والسطح والحجم التفاضلية. — في النظام الأسطواني يقابل التغير الزاوي dφ طولا حقيقيا ρ dφ، وينتقل معامل القياس نفسه إلى عناصر المساحة والحجم.

عرّف المتغيرات الأسطوانية ρ وφ وz ومتجهات الوحدة، واكتب التحويلات الكارتيزية ومتجه الموضع وعناصر dl وdS وdV مع معامل القياس ρ.

الحل المكتوب ونص الشرح(يعرض الحل كاملًا)

تجد أدناه جميع الأسطر المكتوبة في الدفتر مع النص الكامل للشرح الصوتي.

1. مهّد للانتقال إلى الإحداثيات الأسطوانية
في النظام الأسطواني يقابل التغير الزاوي dφ طولا حقيقيا ρ dφ، وينتقل معامل القياس نفسه إلى عناصر المساحة والحجم.
في الدرس السابق عرفنا نظام الإحداثيات الكارتيزية، مع المحاور الثلاثة، ومتجهات الوحدة، ومتجه الموضع، والعناصر التفاضلية dl و dS و dV.
الآن ننتقل إلى النظام الثاني: نظام الإحداثيات الأسطوانية.
سنعرف الإحداثيات ρ، وφ، و z، ونرى علاقتها بالإحداثيات الكارتيزية، ثم نكتب عناصر الخط والسطح والحجم في هذا النظام.
نص الشرح الصوتي
في الدرس السابق عرفنا نظام الإحداثيات الكارتيزية، مع المحاور الثلاثة، ومتجهات الوحدة، ومتجه الموضع، والعناصر التفاضلية d l و d S و d V. الآن ننتقل إلى النظام الثاني: نظام الإحداثيات الأسطوانية. سنعرف الإحداثيات رو، وفاي، و z، ونرى علاقتها بالإحداثيات الكارتيزية، ثم نكتب عناصر الخط والسطح والحجم في هذا النظام.
2. عرّف إحداثيات ρ وφ وz
في النظام الأسطواني يقابل التغير الزاوي dφ طولا حقيقيا ρ dφ، وينتقل معامل القياس نفسه إلى عناصر المساحة والحجم.
نظام الإحداثيات الأسطوانية يستخدم ثلاثة متغيرات: ρ، وφ، و z.
لنبدأ من المستوى x y.
النقطة P برايم تقع على بعد ρ من المحور z، أو من الأصل داخل المستوى x y.
والزاوية φ تقاس من المحور x الموجب إلى الخط الواصل من الأصل إلى P برايم.
إذن ρ وφ يحددان الموقع في المستوى x y، كما في الإحداثيات القطبية.
الآن نضيف البعد الثالث: المحور z عمودي على هذا المستوى، والنقطة P تقع على ارتفاع z فوق P برايم.
إحداثيات P الأسطوانية هي ρ وφ و z.
هنا توجد نقطة مهمة جدا: ρ ليست طول متجه الموضع r.
ρ هي المسافة العمودية عن المحور z، أي المسافة الأفقية فقط.
أما r فهو المتجه من الأصل إلى النقطة P، وهو قطري في الفضاء.
وعند كل نقطة نعرف ثلاثة متجهات وحدة متعامدة: e_ρ إلى الخارج شعاعيا، وe_φ في اتجاه زيادة φ، وe_z إلى الأعلى.
هذا الثلاثي يتبع قاعدة اليد اليمنى.
نص الشرح الصوتي
نظام الإحداثيات الأسطوانية يستخدم ثلاثة متغيرات: رو، وفاي، و z. لنبدأ من المستوى x y. النقطة P برايم تقع على بعد رو من المحور z، أو من الأصل داخل المستوى x y. والزاوية فاي تقاس من المحور x الموجب إلى الخط الواصل من الأصل إلى P برايم. إذن رو وفاي يحددان الموقع في المستوى x y، كما في الإحداثيات القطبية. الآن نضيف البعد الثالث: المحور z عمودي على هذا المستوى، والنقطة P تقع على ارتفاع z فوق P برايم. إحداثيات P الأسطوانية هي رو وفاي و z. هنا توجد نقطة مهمة جدا: رو ليست طول متجه الموضع r. رو هي المسافة العمودية عن المحور z، أي المسافة الأفقية فقط. أما r فهو المتجه من الأصل إلى النقطة P، وهو قطري في الفضاء. وعند كل نقطة نعرف ثلاثة متجهات وحدة متعامدة: إي هات رو إلى الخارج شعاعيا، وإي هات فاي في اتجاه زيادة فاي، وإي هات z إلى الأعلى. هذا الثلاثي يتبع قاعدة اليد اليمنى.
3. اكتب التحويلات الكارتيزية
في النظام الأسطواني يقابل التغير الزاوي dφ طولا حقيقيا ρ dφ، وينتقل معامل القياس نفسه إلى عناصر المساحة والحجم.
للتحويل بين الإحداثيات الأسطوانية والكارتزية نستخدم مثلثا قائما في المستوى x y.
الإحداثي x = ρ في جيب تمام φ، والإحداثي y = ρ في جيب φ، أما z فيبقى كما هو.
وبالعكس، ρ = الجذر التربيعي ل x تربيع + y تربيع، وφ تساوي أرك تانجنت y على x.
متجه الموضع في الإحداثيات الأسطوانية يكتب r = ρ e_ρ + z e_z.
لاحظ أنه لا يوجد حد مستقل في اتجاه φ داخل متجه الموضع، لأن e_ρ نفسه يحمل معلومات الزاوية.
نص الشرح الصوتي
للتحويل بين الإحداثيات الأسطوانية والكارتزية نستخدم مثلثا قائما في المستوى x y. الإحداثي x يساوي رو في جيب تمام فاي، والإحداثي y يساوي رو في جيب فاي، أما z فيبقى كما هو. وبالعكس، رو يساوي الجذر التربيعي ل x تربيع زائد y تربيع، وفاي تساوي أرك تانجنت y على x. متجه الموضع في الإحداثيات الأسطوانية يكتب r يساوي رو إي هات رو زائد z إي هات z. لاحظ أنه لا يوجد حد مستقل في اتجاه فاي داخل متجه الموضع، لأن إي هات رو نفسه يحمل معلومات الزاوية.
4. اشتق عنصر الخط الأسطواني
في النظام الأسطواني يقابل التغير الزاوي dφ طولا حقيقيا ρ dφ، وينتقل معامل القياس نفسه إلى عناصر المساحة والحجم.
نشتق الآن عنصر الخط التفاضلي dl.
في الإحداثيات الأسطوانية، الإزاحة الصغيرة لها ثلاثة أجزاء.
في اتجاه ρ، الطول التفاضلي هو dρ في e_ρ.
في اتجاه φ، التغير dφ هو تغير زاوي، ولذلك الطول الحقيقي على القوس = ρ dφ.
إذن الجزء الفاي هو ρ dφ في e_φ.
هذا العامل ρ هو معامل القياس في اتجاه φ.
وفي اتجاه z نحصل ببساطة على dz في e_z.
إذن عنصر الخط الكامل هو dl = dρ e_ρ، + ρ dφ e_φ، + dz e_z.
نص الشرح الصوتي
نشتق الآن عنصر الخط التفاضلي d l. في الإحداثيات الأسطوانية، الإزاحة الصغيرة لها ثلاثة أجزاء. في اتجاه رو، الطول التفاضلي هو d رو في إي هات رو. في اتجاه فاي، التغير d فاي هو تغير زاوي، ولذلك الطول الحقيقي على القوس يساوي رو d فاي. إذن الجزء الفاي هو رو d فاي في إي هات فاي. هذا العامل رو هو معامل القياس في اتجاه فاي. وفي اتجاه z نحصل ببساطة على d z في إي هات z. إذن عنصر الخط الكامل هو d l يساوي d رو إي هات رو، زائد رو d فاي إي هات فاي، زائد d z إي هات z.
5. كوّن عناصر السطح الأسطوانية
في النظام الأسطواني يقابل التغير الزاوي dφ طولا حقيقيا ρ dφ، وينتقل معامل القياس نفسه إلى عناصر المساحة والحجم.
عنصر السطح التفاضلي dS ينتج من ضرب طولين تفاضليين واختيار الاتجاه العمودي على السطح.
على سطح z ثابت، نستخدم اتجاهي ρ وφ، لذلك dS = ρ dρ dφ في e_z.
على سطح φ ثابت، نستخدم اتجاهي ρ و z، فنحصل على dS = dρ dz في e_φ.
وعلى سطح ρ ثابت، نستخدم اتجاهي φ و z، ولذلك dS = ρ dφ dz في e_ρ.
لاحظ مرة أخرى أن العامل ρ يظهر كلما ظهر dφ، لأن dφ زاوية، والطول المقابل لها هو ρ dφ.
نص الشرح الصوتي
عنصر السطح التفاضلي d S ينتج من ضرب طولين تفاضليين واختيار الاتجاه العمودي على السطح. على سطح z ثابت، نستخدم اتجاهي رو وفاي، لذلك d S يساوي رو d رو d فاي في إي هات z. على سطح فاي ثابت، نستخدم اتجاهي رو و z، فنحصل على d S يساوي d رو d z في إي هات فاي. وعلى سطح رو ثابت، نستخدم اتجاهي فاي و z، ولذلك d S يساوي رو d فاي d z في إي هات رو. لاحظ مرة أخرى أن العامل رو يظهر كلما ظهر d فاي، لأن d فاي زاوية، والطول المقابل لها هو رو d فاي.
6. اشتق عنصر الحجم الأسطواني
في النظام الأسطواني يقابل التغير الزاوي dφ طولا حقيقيا ρ dφ، وينتقل معامل القياس نفسه إلى عناصر المساحة والحجم.
عنصر الحجم التفاضلي يجمع الأطوال التفاضلية الثلاثة.
لدينا dρ في اتجاه ρ، وρ dφ في اتجاه φ، و dz في اتجاه z.
لذلك dV = dρ × ρ dφ × dz، أي dV = ρ dρ dφ dz.
بالمقارنة مع النظام الكارتيزي، حيث dV = dx dy dz، نرى أن النظام الأسطواني يحتوي على عامل إضافي هو ρ.
وهذا منطقي هندسيا، لأن العنصر الأبعد عن المحور z يمسح حجما أكبر لنفس الزيادة الزاوية dφ.
نص الشرح الصوتي
عنصر الحجم التفاضلي يجمع الأطوال التفاضلية الثلاثة. لدينا d رو في اتجاه رو، ورو d فاي في اتجاه فاي، و d z في اتجاه z. لذلك d V يساوي d رو مضروبا في رو d فاي مضروبا في d z، أي d V يساوي رو d رو d فاي d z. بالمقارنة مع النظام الكارتيزي، حيث d V يساوي d x d y d z، نرى أن النظام الأسطواني يحتوي على عامل إضافي هو رو. وهذا منطقي هندسيا، لأن العنصر الأبعد عن المحور z يمسح حجما أكبر لنفس الزيادة الزاوية d فاي.
7. لخّص معامل القياس ρ
في النظام الأسطواني يقابل التغير الزاوي dφ طولا حقيقيا ρ dφ، وينتقل معامل القياس نفسه إلى عناصر المساحة والحجم.
لنلخص.
في الإحداثيات الأسطوانية نستخدم ρ، وφ، و z.
تذكر أن ρ هي المسافة من المحور z، وليست المسافة من الأصل.
متجه الموضع هو r = ρ e_ρ + z e_z.
وعنصر الخط هو dl = dρ e_ρ + ρ dφ e_φ + dz e_z.
الفرق الأساسي عن الكارتيزي هو عامل القياس ρ الذي يضرب dφ.
عناصر السطح تحتوي على ρ كلما كان dφ موجودا، وعنصر الحجم هو dV = ρ dρ dφ dz.
في الدرس التالي ننتقل إلى الإحداثيات الكروية، حيث تظهر معاملات قياس في اتجاهين زاويين.
نص الشرح الصوتي
لنلخص. في الإحداثيات الأسطوانية نستخدم رو، وفاي، و z. تذكر أن رو هي المسافة من المحور z، وليست المسافة من الأصل. متجه الموضع هو r يساوي رو إي هات رو زائد z إي هات z. وعنصر الخط هو d l يساوي d رو إي هات رو زائد رو d فاي إي هات فاي زائد d z إي هات z. الفرق الأساسي عن الكارتيزي هو عامل القياس رو الذي يضرب d فاي. عناصر السطح تحتوي على رو كلما كان d فاي موجودا، وعنصر الحجم هو d V يساوي رو d رو d فاي d z. في الدرس التالي ننتقل إلى الإحداثيات الكروية، حيث تظهر معاملات قياس في اتجاهين زاويين.