#47 التحليل العابر #47 — دائرة RLC المتوازية والاستجابة الطبيعية

تجد أدناه جميع الأسطر المكتوبة في الدفتر مع النص الكامل للشرح الصوتي.

1. 1. لماذا النظام من الدرجة الثانية؟

   

   عنصر تخزين واحد ← متغير حالة واحد

   وجود C وحده أو L وحده يعطي دائرة من الدرجة الأولى

   يجتمع C وL لتخزين الطاقة في الشبكة نفسها

   متغيرا الحالة المستقلان: v_C(t) وi_L(t)

   نحتاج شرطين ابتدائيين مستقلين

   الاستجابة الطبيعية تحكمها معادلة تفاضلية من الدرجة الثانية

   نص الشرح الصوتي

   في الدروس السابقة كانت الدوائر من الدرجة الأولى. السبب بسيط: كان لدينا عنصر واحد فقط يخزن الطاقة، إما مكثف وإما ملف. لذلك كنا نحتاج متغير حالة واحدا وثابت زمن واحدا. الآن ننتقل إلى الدوائر من الدرجة الثانية. هنا يظهر المكثف والملف معا في نفس الشبكة. المكثف يخزن طاقة في المجال الكهربائي، والملف يخزن طاقة في المجال المغناطيسي. لذلك لا تكفي معادلة تفاضلية من الدرجة الأولى؛ نحتاج معادلة تفاضلية من الدرجة الثانية.

2. 2. إعداد الاستجابة الطبيعية لدائرة RLC المتوازية

   

   تتصل R وC وL على التوازي بين العقدتين نفسيهما

   تشترك الفروع الثلاثة في الجهد v_C(t)

   يعطي فرع الملف متغير الحالة i_L(t)

   لا يوجد مصدر مستقل؛ الطاقة المخزنة هي التي تحرك الدائرة

   المعطيان الابتدائيان: v_C(0⁺) وi_L(0⁺)

   نكتب KCL عند العقدة العليا لنحصل على معادلة واحدة

   نص الشرح الصوتي

   نبدأ بأبسط نموذج: دائرة آر إل سي على التوازي. المقاومة، والمكثف، والملف كلها بين نفس العقدتين، ولذلك ترى نفس الجهد. سنسمي هذا الجهد v C of t. تيار الملف i L of t هو متغير الحالة الثاني. إذا عرفت v C عند اللحظة صفر، وعرفت i L عند اللحظة صفر، صار لديك الشرطان الابتدائيان اللازمان لوصف الحركة الطبيعية. في هذا الدرس لا نحل حالة رقمية؛ نحن فقط نبني الخريطة التي سنستخدمها في الدروس التالية.

3. 3. اشتقاق معادلة الدرجة الثانية من KCL

   

   نطبق KCL عند العقدة العليا للاستجابة الطبيعية

   v/R + C·dv/dt + i_L = 0

   علاقة الملف: v=L·di_L/dt

   di_L/dt=v/L

   نشتق معادلة KCL بالنسبة إلى الزمن

   نعوض مشتقة i_L بالقيمة v/L

   d²v_C/dt² +(1/RC)dv_C/dt +(1/LC)v_C=0

   نص الشرح الصوتي

   للحصول على معادلة الدائرة نطبق قانون كيرشوف للتيارات عند العقدة العليا. في الاستجابة الطبيعية لا يوجد مصدر خارجي، لذلك مجموع تيار المقاومة وتيار المكثف وتيار الملف يساوي صفرا. تيار المقاومة يساوي v C على R. تيار المكثف يساوي C في مشتقة v C بالنسبة للزمن. وللمف، العلاقة هي v C يساوي L في مشتقة i L بالنسبة للزمن. عندما نشتق معادلة العقدة ونلغي تيار الملف نحصل على المعادلة الأساسية: المشتقة الثانية لجهد المكثف زائد واحد على R C في المشتقة الأولى، زائد واحد على L C في جهد المكثف، يساوي صفرا.

4. 4. المعادلة المميزة والمعاملات

   

   نفترض الحل الأسّي v_C(t)=Ke^st

   s² +(1/RC)s +1/(LC)=0

   الصيغة القياسية:

   $\displaystyle s²+2\alpha s+\omega ₀²=0$

   α=1/(2RC) [s⁻¹]

   ω₀=1/√(LC) [rad/s]

   يمثل α التخميد وتمثل ω₀ التردد الطبيعي غير المخمد

   تحدد مقارنة α مع ω₀ نوع الاستجابة

   نص الشرح الصوتي

   الخطوة التالية هي تحويل المعادلة التفاضلية إلى معادلة مميزة. إذا افترضنا حلا أسيا، تظهر الصيغة: s squared زائد واحد على R C في s زائد واحد على L C يساوي صفرا. نقارنها مع الصيغة القياسية للدرجة الثانية: s squared زائد اثنين alpha s زائد omega zero squared يساوي صفرا. من المقارنة نجد أن alpha يساوي واحد على اثنين R C، وأن omega zero يساوي واحدا على الجذر التربيعي ل L C. alpha يمثل مقدار التخميد، و omega zero هو التردد الطبيعي غير المخمد.

5. 5. تصنيف حالات التخميد الأربع

   

   تحدد العلاقة بين α وω₀ شكل الجذور

   α>ω₀: تخميد زائد وجذران حقيقيان

   α=ω₀: تخميد حرج وجذر مكرر

   0<α<ω₀: تخميد ناقص وجذران مركبان مترافقان

   α=0: اهتزاز LC مثالي بلا تخميد

   الحالتان الأوليان بلا اهتزاز

   في الحالتين الأخيرتين تتبادل C وL الطاقة

   نص الشرح الصوتي

   كل سلوك الدائرة تقريبا يأتي من المقارنة بين alpha و omega zero. إذا كان alpha أكبر من omega zero فالاستجابة تسمى تخميدا زائدا: لا يوجد اهتزاز، لكن الرجوع يكون بطيئا وله جذران حقيقيان. إذا كان alpha مساويا ل omega zero نحصل على التخميد الحرج: أسرع رجوع من دون اهتزاز. إذا كان alpha أصغر من omega zero تظهر استجابة مهتزة مع غلاف أسي يتناقص. وأخيرا، إذا كان alpha يساوي صفرا نحصل على حالة إل سي المثالية بلا تخميد، وفيها يستمر الاهتزاز. اليوم نرى الخريطة فقط، أما التفاصيل فستأتي في الدروس التالية.

6. 6. خريطة حل دوائر الدرجة الثانية

   

   المتغير المشترك في RLC المتوازية هو v_C(t)

   نكتب KCL ثم نشتق ونحذف i_L

   v″+(1/RC)v′+(1/LC)v=0

   نقرأ α وω₀ من المعادلة

   نستخدم شرطين ابتدائيين لإيجاد ثابتين

   مقارنة α ? ω₀ تختار صيغة الاستجابة

   الدرس التالي: التخميد الزائد والحرج

   نص الشرح الصوتي

   الخلاصة: دائرة آر إل سي على التوازي هي نظام من الدرجة الثانية لأنها تحتوي على مكثف وملف معا. الاستجابة الطبيعية يحكمها تفاضل من الدرجة الثانية. المعاملان المهمان هما alpha، أي عامل التخميد، و omega zero، أي التردد الطبيعي غير المخمد. بمقارنة هذين العددين نصنف الاستجابة إلى تخميد زائد، تخميد حرج، تخميد ناقص، أو بلا تخميد. في الدرس القادم نبدأ بحالتي التخميد الزائد والتخميد الحرج خطوة بخطوة.