#38 الإشارات الأساسية #38 — الخطوة والنبضة والمنحدر وأشكال موجات الدوائر

تجد أدناه جميع الأسطر المكتوبة في الدفتر مع النص الكامل للشرح الصوتي.

1. 1. دالة الخطوة والإزاحة الزمنية

   

   دالة الخطوة u(t): إشارة التبديل الأساسية

   u(t)=0 عندما t<0

   u(t)=1 عندما t≥0

   تعمل u(t−a) عند t=a

   المعنى الفيزيائي: مفتاح يوصل مصدر DC

   تحجيم السعة: K·u(t)

   يمكن بناء مداخل الدوائر من خطوات مزاحة

   نص الشرح الصوتي

   في الدرس السابق عرفنا المكثف والملف، ورأينا أن الدائرة أصبحت مرتبطة بالزمن. قبل أن نحل دوائر R C و R L، نحتاج صندوق أدوات صغيرا من الإشارات. أول أداة هي دالة الخطوة u of t. معناها بسيط: قبل لحظة الصفر قيمتها صفر، وبعد لحظة الصفر قيمتها واحد. في الدوائر تمثل عادة مفتاحا يغلق، أو مصدرا مستمرا يدخل إلى الدائرة فجأة. إذا كتبنا u of t minus a، فهذا يعني أن التشغيل لا يبدأ عند الصفر، بل عند الزمن a.

2. 2. عمليات الخطوة والنبضة المستطيلة

   

   الإزاحة والتحجيم وعكس الزمن

   u(t−1)−u(t−3)

   t<1: القيمة 0

   1≤t<3: القيمة 1

   t≥3: القيمة 0

   النبضة العامة: u(t−a)−u(t−b)

   عرض النبضة هو b−a

   نص الشرح الصوتي

   دالة الخطوة ليست رسما واحدا فقط. نستطيع أن نكبرها، أو نؤخرها، أو نطرح خطوتين من بعضهما. مثلا ثلاثة u of t تعطي خطوة ارتفاعها ثلاثة. أما u of t minus one ناقص u of t minus three فتعطي نبضة مستطيلة تبدأ عند ثانية واحدة وتنتهي عند ثلاث ثوان. هذه الفكرة مهمة لأن كثيرا من مداخل الدوائر ليست جيوبا مثالية، بل نبضات أو تشغيل وإيقاف. بدل أن نحفظ كل شكل وحده، نبنيه من خطوات مزاحة.

3. 3. نبضة الوحدة وخاصية الالتقاط

   

   نبضة الوحدة δ(t): نموذج التأثير اللحظي

   النهاية المثالية: العرض→0 والارتفاع→∞

   المساحة الكلية:

   $\displaystyle \int \delta \left(t\right)\mathrm{d}t=1$

   δ(t)=du(t)/dt

   $\displaystyle \int f\left(t\right)\delta \left(t-t₀\right)\mathrm{d}t=f\left(t₀\right)$

   خاصية الالتقاط تأخذ قيمة الإشارة عند t₀

   δ(t) ليست قيمة نقطية منتهية عادية

   نص الشرح الصوتي

   الأداة الثانية هي دالة النبضة، delta of t. هي فكرة مثالية: عرضها يقترب من الصفر، وارتفاعها يزداد بلا حد، لكن المساحة تحتها تبقى واحدا. لذلك لا نفكر فيها كقيمة عادية عند نقطة، بل كمساحة مركزة في لحظة واحدة. أهم خاصية لها هي خاصية الالتقاط: عندما نكامل f of t مضروبة في delta of t minus t zero، نحصل على قيمة f عند t zero. وكذلك النبضة هي مشتقة الخطوة: مشتقة u of t تساوي delta of t.

4. 4. سلسلة المنحدر والخطوة والنبضة

   

   منحدر الوحدة:

   $\displaystyle r\left(t\right)=t\cdot u\left(t\right)$

   يساوي صفرا عندما t<0

   ميله 1 عندما t≥0

   dr(t)/dt=u(t)

   du(t)/dt=δ(t)

   يسير التكامل في الاتجاه المعاكس

   $\displaystyle \int \delta \to u ,\quad \int u\to r$

   نص الشرح الصوتي

   الأداة الثالثة هي دالة المنحدر r of t. تعريفها r of t يساوي t مضروبة في u of t. قبل الصفر هي صفر، وبعد الصفر خط مستقيم ميله واحد. الآن نرى السلسلة الجميلة: مشتقة المنحدر هي الخطوة، ومشتقة الخطوة هي النبضة. وفي الاتجاه العكسي: تكامل النبضة يعطي الخطوة، وتكامل الخطوة يعطي المنحدر. هذه السلسلة ستظهر كثيرا عندما نحول موجة خطية مقطعية إلى خطوات ونبضات.

5. 5. الاستجابات الأسية للدوائر

   

   الشكل الأساسي لاستجابة الدرجة الأولى

   الاضمحلال: A·e⁽−t/τ)u(t)

   عند t=τ:

   $\displaystyle A\cdot e^{(}-1)=0.368A$

   الصعود: A[1−e⁽−t/τ)]u(t)

   عند t=τ: 0.632A

   عند t=5τ:

   $\displaystyle e^{(}-5)=0.00674$

   بعد 5τ يكون الخطأ أقل من واحد بالمئة

   نص الشرح الصوتي

   الشكل الرابع هو الأسي. في دوائر الدرجة الأولى يظهر دائما تقريبا. الشكل A times e to the minus t over tau يمثل اضمحلالا طبيعيا: قيمة تبدأ من A ثم تهبط بسلاسة نحو الصفر. الرمز tau هو ثابت الزمن. عند t يساوي tau تبقى تقريبا ستة وثلاثون فاصلة ثمانية بالمئة من القيمة. وبعد خمسة tau تصبح أقل من واحد بالمئة، ولهذا نقول غالبا إن الاستجابة انتهت عمليا. أما A times one minus e to the minus t over tau فهو شكل الصعود نحو القيمة النهائية.

6. 6. الجيب والتذبذب المخمد

   

   الجيب العام: a sinωt+b cosωt

   السعة: √(a²+b²)

   الشكل المخمد: e⁽−αt)sin(ωt)u(t)

   الغلافان: ±e⁽−αt)

   عندما α>0 يتناقص التذبذب مع الزمن

   التردد ω ومعدل الاضمحلال α

   استجابة RLC ناقصة التخميد ترن قبل الاستقرار

   نص الشرح الصوتي

   الشكل الخامس هو الجيب المخمد. في البداية يبدو مثل موجة جيبية، لكنه محصور داخل غلاف أسي يتناقص مع الزمن. لذلك نكتب غالبا e to the minus alpha t مضروبة في sin omega t. المعنى الفيزيائي مهم: الدائرة قد ترن أو تتذبذب أولا، ثم تسكن تدريجيا. هذا بالضبط ما يحدث في دوائر R L C عندما تكون الاستجابة ناقصة التخميد. إذن الجيب المخمد هو لغة الدوائر من الدرجة الثانية عندما يظهر الرنين.

7. 7. تفكيك الموجة الخطية المقطعية

   

   نبني كل جزء من الميل بمنحدرات مزاحة

   الميل الأول +1: r(t)

   عند t=1 يتغير الميل من +1 إلى −1

   تغير الميل −2: −2r(t−1)

   عند t=2 يتغير الميل من −1 إلى 0

   تغير الميل +1: +r(t−2)

   $\displaystyle v\left(t\right)=r\left(t\right)-2r\left(t-1\right)+r\left(t-2\right)$

   نص الشرح الصوتي

   الآن نستخدم الأدوات لبناء موجة خطية مقطعية. القاعدة العملية هي: ابدأ بمنحدر r of t لأول جزء صاعد. كلما وصلت إلى زاوية أو تغير في الميل، أضف أو اطرح منحدرا مزاحا. مثلا موجة مثلثة تصعد ثم تهبط يمكن كتابتها r of t minus two r of t minus one plus r of t minus two. كل معامل يغير الميل ابتداء من لحظته. هذه ليست خدعة رياضية؛ إنها طريقة منظمة لوصف مداخل حقيقية للدوائر.

8. 8. سلسلة مشتقات الموجة المقطعية

   

   نشتق الموجة المثلثة مرتين

   $\displaystyle v\left(t\right)=r\left(t\right)-2r\left(t-1\right)+r\left(t-2\right)$

   dv/dt=u(t)−2u(t−1)+u(t−2)

   المشتقة الأولى هي الميل الثابت مقطعيا

   $\displaystyle d²v/\mathrm{d}t²=\delta \left(t\right)-2\delta \left(t-1\right)+\delta \left(t-2\right)$

   المشتقة الثانية تحدد الزوايا بنبضات ذات إشارة

   كل اشتقاق يصعد مستوى في السلسلة

   نص الشرح الصوتي

   لنطبق سلسلة المشتقات على نفس الموجة. إذا كان v of t مجموع منحدرات مزاحة، فإن مشتقته الأولى تصبح مجموع خطوات مزاحة، لأن مشتقة المنحدر هي خطوة. وإذا أخذنا المشتقة مرة ثانية، تصبح الخطوات نبضات، لأن مشتقة الخطوة هي delta. إذن الزوايا في الموجة الأصلية تظهر كنبضات موجبة أو سالبة في المشتقة الثانية. هذا يشرح لماذا نحتاج الخطوة والمنحدر والنبضة معا، وليس كل واحدة بمعزل عن الأخرى.

9. 9. صندوق أدوات أشكال الموجات

   

   الإشارات الأساسية لتحليل الدوائر

   u(t): التبديل

   r(t): التغير الخطي

   δ(t): التأثير اللحظي والالتقاط

   e⁽−t/τ): استجابة عابرة من الدرجة الأولى

   e⁽−αt)sinωt: استجابة ناقصة التخميد

   الإزاحة والتحجيم يبنيان المداخل المعقدة بصورة منظمة

   نص الشرح الصوتي

   نلخص صندوق الأدوات. الخطوة تمثل تشغيل المفتاح أو دخول المصدر. المنحدر يمثل زيادة خطية. النبضة تمثل تأثيرا لحظيا بمساحة محددة، وتلتقط قيمة الدالة عند لحظة معينة. الأسي يمثل صعود أو هبوط دوائر R C و R L من الدرجة الأولى. والجيب المخمد يمثل استجابة R L C عندما ترن قبل أن تستقر. في الدرس القادم نستخدم هذه الأدوات مع توصيلات المكثفات والملفات، ثم نبدأ حساب الشروط الابتدائية والاستجابات العابرة خطوة بخطوة.