#50 التحليل العابر #50 — الاستجابة الكاملة لدائرة RLC متوازية مدفوعة

تجد أدناه جميع الأسطر المكتوبة في الدفتر مع النص الكامل للشرح الصوتي.

1. 1. فصل الاستجابة الطبيعية عن الكاملة

   

   تنشأ الاستجابة الطبيعية من الطاقة المخزنة فقط

   يضيف المصدر الخارجي استجابة مفروضة

   الاستجابة الكاملة = المفروضة + الطبيعية

   يحدد الجزء المفروض أين ستستقر الدائرة

   ويحدد الجزء الطبيعي كيف تصل إلى هناك

   يحدد المصدر الوجهة وتحدد الأقطاب المسار

   نص الشرح الصوتي

   حتى الآن كنا ندرس الاستجابة الطبيعية. معنى ذلك أن الدائرة تتحرك بسبب الطاقة المخزنة فقط، من دون مصدر جديد يدفعها. في الاستجابة الكاملة نضيف مصدرا خارجيا. لذلك تصبح الاستجابة الكلية مجموع جزأين: استجابة قسرية، واستجابة طبيعية. الجزء القسري يحدد إلى أين ستستقر الدائرة بسبب المصدر. والجزء الطبيعي يحدد كيف تصل الدائرة إلى تلك القيمة.

2. 2. دائرة RLC متوازية مدفوعة بخطوة تيار

   

   نطبق خطوة تيار مستمر I_s على RLC متوازية

   متغير الاستجابة: i_L(t)

   عندما t→∞ تعمل C كدائرة مفتوحة

   وعندما t→∞ تعمل L كقصر

   $\displaystyle v\left(\infty \right)=0 وi_{R}\left(\infty \right)=0$

   $\displaystyle i_{L}\left(\infty \right)=I_{s}$

   القيمة النهائية هي الجزء المفروض الثابت

   نص الشرح الصوتي

   نأخذ دائرة آر إل سي متوازية يغذيها مصدر تيار خطوي مستمر. سنراقب تيار الملف i L of t. عند الزمن الطويل، يصبح المكثف كأنه دائرة مفتوحة، ويصبح الملف كأنه قصر. لذلك يذهب جهد العقدة إلى الصفر، ويصبح تيار المقاومة صفرا، ويمر تيار المصدر كله في فرع الملف. إذن القيمة النهائية هي: i L عند مالا نهاية يساوي I s.

3. 3. كتابة صيغ الاستجابة الكاملة

   

   ابدأ بالقيمة النهائية المشتركة x(∞)

   تخميد زائد:

   $\displaystyle x=x\infty +A₁e^{s₁t}+A₂e^{s₂t}$

   حرج:

   $\displaystyle x=x\infty +\left(A₁+A₂t\right)e^{-\alpha t}$

   ناقص:

   $\displaystyle x=x\infty +e^{-\alpha t}\left[B₁\cos \omega _{d}t+B₂\sin \omega _{d}t\right]$

   يحدد نوع الأقطاب شكل الجزء العابر

   يحدد المصدر عادة x∞

   تتلاشى كل الحدود العابرة مع الزمن

   نص الشرح الصوتي

   الفكرة العملية بسيطة جدا: ابدأ بالقيمة النهائية، ثم أضف الشكل العابر حولها. في التخميد الزائد نضيف حدين أسيين حقيقيين. في التخميد الحرج نضيف قوسا خطيا مضروبا في e أس ناقص alpha t. وفي التخميد الناقص نضيف غلافا أسيا مضروبا في جيب وجيب تمام. إذن نوع الأقطاب ما زال يحدد شكل الجزء العابر، بينما المصدر يحدد القيمة التي نستقر عندها.

4. 4. إيجاد الثابتين من الشروط الابتدائية

   

   تحتاج استجابة الدرجة الثانية إلى شرطين مستقلين

   الشرط 1: x(0⁺)

   الشرط 2: x′(0⁺)

   توفر قوانين الاستمرارية x(0⁺)

   وتوفر KCL أو KVL المشتقة الابتدائية

   x∞ ← الصيغة ← الشرطان ← الثوابت

   تحقق ثانية من القيمتين الابتدائية والنهائية

   نص الشرح الصوتي

   كيف نجد الثوابت؟ نستخدم الشروط الابتدائية تماما كما فعلنا سابقا. لأن النظام من الدرجة الثانية، نحتاج شرطين مستقلين. غالبا نستخدم x عند صفر موجب، ومشتقة x عند صفر موجب. هذان الشرطان يحددان معاملات الجزء العابر. لذلك طريقة الحل تكون: أولا نحسب x عند مالا نهاية، ثم نختار شكل الجزء العابر من الأقطاب، ثم نستعمل الشرطين الابتدائيين لإيجاد الثوابت.

5. 5. تفسير استجابة كاملة ناقصة التخميد

   

   ليستقر التيار عند قيمة غير صفرية i_L(∞)

   تولد الأقطاب العقدية اهتزازا عابرا

   $\displaystyle i_{L}=i_{L}\left(\infty \right)+e^{-\alpha t}\left[B₁\cos \omega _{d}t+B₂\sin \omega _{d}t\right]$

   تهتز الموجة حول القيمة النهائية

   يحد الغلافان ±Ke^−αt الاهتزاز

   عندما t→∞ يختفي الحد العابر

   النتيجة:

   $\displaystyle i_{L}\left(t\right)\to i_{L}\left(\infty \right)=I_{s}$

   نص الشرح الصوتي

   هذا مثال على استجابة كاملة في حالة التخميد الناقص. التيار لا يستقر عند الصفر، بل عند قيمة نهائية يحددها المصدر. لكنه لا يصل إليها مباشرة. يتحرك حول القيمة النهائية على شكل اهتزاز، ثم يصغر الاهتزاز تدريجيا بسبب الغلاف الأسي. هذه هي أهم صورة ذهنية للاستجابة الكاملة: المصدر يحدد نقطة الوصول، والأقطاب تحدد الطريق إليها.

6. 6. تلخيص الاستجابة الكاملة من الدرجة الثانية

   

   الاستجابة الكاملة = المفروضة + الطبيعية

   في خطوة DC تكون المفروضة غالبا قيمة نهائية ثابتة

   تنتج الأقطاب مسارا زائد أو حرج أو ناقص التخميد

   يحدد شرطان ثوابت الجزء العابر

   1) x∞ 2) الصيغة 3) x(0⁺),x′(0⁺)

   تبدأ الاستجابة بالحالة الابتدائية وتنتهي بالحالة المفروضة

   التالي: RLC المتسلسلة وازدواجية الدوائر

   نص الشرح الصوتي

   الخلاصة: الاستجابة الكاملة تساوي الاستجابة القسرية زائد الاستجابة الطبيعية. في مسائل الخطوة المستمرة، الجزء القسري غالبا يصبح القيمة النهائية الثابتة. أما الجزء العابر فيتبع نفس حالات الدرجة الثانية التي تعلمناها: تخميد زائد، تخميد حرج، أو تخميد ناقص. لحل أي استجابة كاملة، جد القيمة النهائية، اختر شكل العابر من الأقطاب، ثم احسب الثوابت من الشروط الابتدائية. في الدرس القادم نربط هذه الفكرة بدائرة آر إل سي على التوالي والازدواجية.