#40 التحليل العابر #40 — الاستجابة الطبيعية RC وتفريغ المكثف

تجد أدناه جميع الأسطر المكتوبة في الدفتر مع النص الكامل للشرح الصوتي.

1. 1. الإعداد الفيزيائي للاستجابة الطبيعية RC

   

   الاستجابة الطبيعية RC دون دخل

   المكثف مشحون أولا إلى V₀

   عند t=0 يبدأ التفريغ عبر R

   لا يوجد مصدر خارجي عندما t≥0

   مصدر الطاقة الوحيد w_C(0)=½CV₀²

   نبحث عن v_C(t)

   الاستجابة الطبيعية هي اضمحلال الطاقة الابتدائية

   نص الشرح الصوتي

   نبدأ اليوم أول استجابة طبيعية كاملة في الدوائر: دائرة R C. كلمة طبيعية هنا تعني أن المصدر الخارجي غير موجود بعد لحظة التبديل. إذن من أين تأتي الحركة؟ من الطاقة المخزنة أصلا في المكثف. تخيل مكثفا كان مشحونا إلى V صفر، ثم وصلناه بمقاومة عند الزمن صفر. السؤال ليس حفظ قانون جاهز، بل فهمه: كيف ينخفض جهد المكثف مع الزمن؟ وما الذي يحدد سرعة هذا الانخفاض؟

2. 2. اشتقاق المعادلة التفاضلية

   

   نطبق KVL على الحلقة أو KCL على العقدة

   $\displaystyle i_{R}+i_{C}=0$

   v/R+C·dv/dt=0

   dv/dt+v/(RC)=0

   معادلة تفاضلية متجانسة من الدرجة الأولى

   الشرط الابتدائي v(0)=V₀

   v(t)=V₀e⁽−t/τ)، حيث τ=RC

   نص الشرح الصوتي

   نختار الجهد على المكثف ونسمّيه v t. بعد إغلاق المفتاح تصبح المقاومة والمكثف بين نفس العقدتين. نكتب قانون كيرشوف للتيار عند العقدة العليا. تيار المقاومة يساوي v على R، لأنه نفس الجهد على المقاومة. وتيار المكثف، بالمرجع الداخل إلى قطبه الموجب، يساوي C في d v على d t. لا يوجد مصدر يحقن تيارا في العقدة، لذلك مجموع التيارين يساوي صفرا. إذن C d v على d t زائد v على R يساوي صفرا. بقسمة الطرفين على C نحصل على d v على d t زائد v على R C يساوي صفرا.

3. 3. ثابت الزمن والمعنى البياني

   

   τ=RC هو مقياس سرعة الدائرة

   $\displaystyle \Omega \cdot F=s$

   $\displaystyle v\left(\tau \right)=V₀e⁻¹=0.368V₀$

   زيادة R أو C تعني تفريغا أبطأ

   الميل الابتدائي dv/dt(0)=−V₀/τ

   مماس t=0 يقطع المحور عند t=τ

   يبقى 0.674 بالمئة فقط عند 5τ

   نص الشرح الصوتي

   هذه المعادلة تقول إن ميل الجهد في كل لحظة يتناسب مع قيمة الجهد نفسها وبإشارة سالبة. لذلك يكون الحل أسيّا: v t يساوي V صفر في e أس سالب t على تاو. هنا تاو، أو ثابت الزمن، يساوي R في C. إذا كانت R أكبر، يكون الطريق أضيق فيفرغ المكثف أبطأ. وإذا كانت C أكبر، فالخزان أكبر فيحتاج وقتا أطول. لهذا تاو هو مقياس السرعة الحقيقي للدائرة، ووحدته ثانية لأن أوم في فاراد يساوي ثانية.

4. 4. تعبيرات التيار والقدرة والطاقة

   

   نشتق كل الكميات من v(t)

   i_C=C·dv/dt

   $\displaystyle i_{C}\left(t\right)=-\frac{V₀}{R}\cdot e^{(}-t/\tau )$

   الإشارة السالبة تعني التفريغ وفق المرجع السلبي

   $\displaystyle p_{R}\left(t\right)=\frac{V₀²}{R}\cdot e^{(}-2t/\tau )$

   w_C(t)=½CV₀²e⁽−2t/τ)

   تضمحل القدرة والطاقة بأس مضاعف

   نص الشرح الصوتي

   من جهد المكثف نستخرج كل شيء آخر. تيار المقاومة في اتجاه التفريغ يساوي v على R، أي V صفر على R في e أس سالب t على تاو. أما تيار المكثف إذا عرّفناه داخلا إلى القطب الموجب فهو سالب هذه القيمة، لأن المكثف يفرغ ولا يشحن. القدرة في المقاومة تساوي v تربيع على R، ولذلك تحتوي e أس سالب اثنين t على تاو. انتبه لهذه الفكرة: الجهد والتيار ينخفضان بنفس ثابت الزمن، لكن القدرة والطاقة المخزنة تنخفضان أسرع لأنهما يعتمدان على مربع الجهد.

5. 5. مثال عددي للاستجابة الطبيعية RC

   

   $\displaystyle R=2 k\Omega وC=100 µF وV₀=50 V$

   $\displaystyle \tau =\left(2000\right)\left(100\times 10⁻⁶\right)$

   $\displaystyle \tau =0.2 s$

   $\displaystyle v\left(t\right)=50e^{(}-t/0.2)=50e^{(}-5t) V$

   i_C(t)=−25e⁽−5t) mA

   عند t=τ تكون e⁻¹≈0.368

   $\displaystyle v\left(0.2\right)=18.4 V$

   نص الشرح الصوتي

   نحل مثالا رقميا خطوة بخطوة. لدينا مكثف سعته مئة ميكرو فاراد، مشحون إلى خمسين فولت، ويفرغ خلال مقاومة مقدارها اثنان كيلو أوم. أولا نحسب ثابت الزمن: تاو يساوي R في C. اثنان كيلو أوم يعني ألفين أوم. ومئة ميكرو فاراد تعني مئة في عشرة أس سالب ستة فاراد. إذن ألفان في مئة في عشرة أس سالب ستة يساوي صفر فاصلة اثنين ثانية. الآن الجهد: v t يساوي خمسين في e أس سالب t على صفر فاصلة اثنين. التيار الابتدائي في المقاومة يساوي خمسين على ألفين، أي خمسة وعشرون ملي أمبير. وبعد زمن يساوي تاو، أي صفر فاصلة اثنين ثانية، يصبح الجهد خمسين في صفر فاصلة ثلاث مئة وثمانية وستين، وهذا يساوي ثمانية عشر فاصلة أربعة فولت تقريبا.

6. 6. قاعدة خمسة ثوابت زمنية

   

   الجهد المتبقي V/V₀=e⁽−t/τ)

   1τ: 36.8 بالمئة

   2τ: 13.5 بالمئة

   3τ: 5.0 بالمئة

   4τ: 1.8 بالمئة

   5τ: 0.674 بالمئة؛ صفر عمليا

   في المثال 5τ=1.0 s

   نص الشرح الصوتي

   قاعدة الخمسة تاو هي قاعدة عملية وليست سحرا. بعد تاو واحد يبقى ستة وثلاثون فاصلة ثمانية بالمئة من الجهد الابتدائي. بعد اثنين تاو يبقى ثلاثة عشر فاصلة خمسة بالمئة. بعد ثلاثة تاو يبقى خمسة بالمئة فقط. وبعد خمسة تاو يبقى أقل من واحد بالمئة، تقريبا صفر فاصلة سبعة بالمئة. لذلك نقول هندسيا إن الاستجابة العابرة انتهت بعد خمسة ثوابت زمنية. في مثالنا تاو يساوي صفر فاصلة اثنين ثانية، إذن خمسة تاو تساوي ثانية واحدة.

7. 7. حفظ الطاقة

   

   تتبدد الطاقة الابتدائية كلها في R

   w_C(0)=½CV₀²

   $\displaystyle p_{R}\left(t\right)=\frac{V₀²}{R}\cdot e^{(}-2t/\tau )$

   ∫₀∞p_R(t)dt=½CV₀²

   تتحول طاقة المجال الكهربائي إلى حرارة

   لا تنشأ طاقة ولا تختفي

   تنخفض الطاقة المخزنة وفق e⁽−2t/τ)

   نص الشرح الصوتي

   الآن ننظر للطاقة حتى لا يبقى القانون مجرد رموز. الطاقة الابتدائية المخزنة في المكثف تساوي نصف C V صفر تربيع. أثناء التفريغ لا تظهر طاقة جديدة ولا تختفي طاقة. كل هذه الطاقة تتحول إلى حرارة في المقاومة. رياضيا، إذا جمعنا قدرة المقاومة من الزمن صفر إلى ما لا نهاية، نحصل بالضبط على نصف C V صفر تربيع. إذن المكثف مثل خزان طاقة صغير، والمقاومة هي المكان الذي تتحول فيه هذه الطاقة إلى حرارة.

8. 8. ملخص الاستجابة الطبيعية RC

   

   النتائج الأساسية للاستجابة الطبيعية RC

   v(t)=V₀e⁽−t/RC)

   τ=RC يحدد سرعة الاضمحلال

   $\displaystyle i_{C}\left(t\right)=-\frac{V₀}{R}\cdot e^{(}-t/\tau )$

   تنتهي الاستجابة عمليا بعد 5τ

   تتحول الطاقة الابتدائية إلى حرارة في المقاومة

   استجابة طبيعية: لا مصدر، لكن توجد طاقة ابتدائية

   نص الشرح الصوتي

   الخلاصة في أربع نقاط. أولا: في دائرة R C الطبيعية لا يوجد مصدر خارجي بعد التبديل؛ الطاقة تأتي من شحنة المكثف الابتدائية. ثانيا: معادلة العقدة تعطي d v على d t زائد v على R C يساوي صفرا. ثالثا: الحل هو v t يساوي V صفر في e أس سالب t على تاو، حيث تاو يساوي R C. رابعا: بعد خمسة تاو نعدّ الجهد عمليا قد وصل إلى الصفر. في الدرس القادم نأخذ النظير الطبيعي لهذه الفكرة في دائرة R L.