#51 التحليل العابر #51 — الاستجابة الطبيعية وازدواجية RLC المتسلسلة

تجد أدناه جميع الأسطر المكتوبة في الدفتر مع النص الكامل للشرح الصوتي.

1. 1. ربط RLC المتسلسلة بالمتوازية

   

   دائرة RLC المتسلسلة ليست نظرية جديدة

   يظهر السلوك نفسه من الدرجة الثانية في الدائرة المزدوجة

   يكون الجهد غالبا المتغير الطبيعي في الدائرة المتوازية

   ويكون التيار i(t) غالبا المتغير الطبيعي في المتسلسلة

   يمر التيار نفسه في جميع العناصر

   يتغير شكل الدائرة ولا يتغير منطق الأقطاب

   نص الشرح الصوتي

   حتى الآن رأينا دوائر آر إل سي المتوازية. الآن ننتقل إلى دائرة آر إل سي على التوالي. هذا ليس موضوعا جديدا من الصفر. إنها الفكرة نفسها من الدرجة الثانية، لكن من زاوية مزدوجة. في الدائرة المتوازية كان الجهد غالبا هو المتغير الطبيعي. أما في الدائرة المتسلسلة، فالتيار هو المتغير الأنظف لأن التيار نفسه يمر في كل العناصر.

2. 2. بناء معادلة الاستجابة الطبيعية المتسلسلة

   

   طبق KVL على حلقة RLC متسلسلة بلا مصدر

   $v_{\mathrm{R}}+v_{\mathrm{L}}+v_{\mathrm{C}}=0$

   v_R=Ri وv_L=L di/dt

   اشتق المعادلة لحذف جهد المكثف

   d²i/dt²+(R/L)di/dt+(1/LC)i=0

   هذه هي المعادلة المتجانسة القياسية من الدرجة الثانية

   متغير الاستجابة: تيار السلسلة i(t)

   نص الشرح الصوتي

   في الاستجابة الطبيعية لدائرة آر إل سي على التوالي لا يوجد مصدر جديد، لكن توجد طاقة ابتدائية في الملف أو المكثف. نكتب معادلة الحلقة. التيار نفسه يمر في المقاومة والملف والمكثف. بعد حذف جهد المكثف نحصل على معادلة التيار من الدرجة الثانية: مشتقة التيار الثانية، زائد R على L مضروبة في مشتقة التيار الأولى، زائد واحد على L C مضروبة في التيار، تساوي صفرا. إذن البنية من الدرجة الثانية لم تتغير.

3. 3. بناء ازدواجية RLC المتسلسلة والمتوازية

   

   RLC متسلسلة

   $\alpha_{\mathrm{s}}=R/(2L)$

   ω₀=1/√(LC)

   المتغير i · قانون الحلقة KVL

   RLC متوازية

   α_p=1/(2RC)

   المتغير v · قانون العقدة KCL

   تبقى ω₀ نفسها في الدائرتين

   نص الشرح الصوتي

   الآن نرى الازدواجية. في الدائرة المتوازية نستخدم قانون كيرشوف للتيار، والمتغير الطبيعي هو الجهد. في الدائرة المتسلسلة نستخدم قانون كيرشوف للجهد، والمتغير الطبيعي هو التيار. التردد الطبيعي يبقى: أوميغا صفر يساوي واحدا على جذر L C. لكن عامل التخميد يتغير. في التوالي، ألفا تساوي R على اثنين L. أما في التوازي فكانت ألفا تساوي واحدا على اثنين R C.

4. 4. تصنيف مثال RLC متسلسل

   

   $R=1 \Omega وL=1 H وC=0.25 F$

   $\alpha=R/(2L)=0.5 s⁻¹$

   ω₀=1/√(LC)=2 rad/s

   بما أن α<ω₀ فالاستجابة ناقصة التخميد

   ω_d=√(ω₀²−α²)=√3.75≈1.9365 rad/s

   $i_{\mathrm{n}}=e^{-0.5t}[B₁\cos (1.9365t)+B₂\sin (1.9365t)]$

   تحدد الشروط الابتدائية B₁ وB₂

   نص الشرح الصوتي

   لنختبر الفكرة بمثال سريع. إذا كانت R تساوي واحد أوم، و L تساوي واحد هنري، و C تساوي ربع فاراد، فإن ألفا تساوي نصفا. أما أوميغا صفر فتساوي اثنين راديان في الثانية. بما أن ألفا أصغر من أوميغا صفر، فهذه حالة تخميد ناقص. لذلك نتوقع تيارا متذبذبا داخل غلاف يتناقص مع الزمن.

5. 5. تفسير شكل موجة تيار السلسلة

   

   يهتز التيار حول الصفر

   تزيل المقاومة جزءا من الطاقة كل دورة

   الغلاف: ±Ke^−0.5t

   سرعة الاهتزاز: ω_d≈1.9365 rad/s

   في الاستجابة الطبيعية i(t)→0

   تحدد α التناقص وتحدد ω_d الاهتزاز

   يبقى التفسير الفيزيائي مطابقا للدائرة المتوازية

   نص الشرح الصوتي

   الشكل هنا يوضح تيار الدائرة المتسلسلة. التيار يتذبذب، لكن السعة تصغر تدريجيا لأن المقاومة تسحب الطاقة من الحلقة. في الاستجابة الطبيعية لا توجد قيمة نهائية مفروضة من مصدر خارجي، لذلك ينتهي التيار إلى الصفر. لكن الطريق إلى الصفر يتحدد بنفس المعيارين: ألفا وأوميغا صفر.

6. 6. تلخيص الاستجابة الطبيعية المتسلسلة

   

   RLC المتسلسلة هي الصورة المزدوجة للمتوازية

   i″+(R/L)i′+(1/LC)i=0

   α=R/(2L), ω₀=1/√(LC)

   تبقى حالات التخميد الزائد والحرج والناقص والمنعدم

   تحدد الشروط الابتدائية ثابتين

   يبقى مسار حل الدرجة الثانية نفسه مع تغير الدائرة

   التالي: مسائل مركزة من الدرجة الثانية

   نص الشرح الصوتي

   الخلاصة: دائرة آر إل سي على التوالي هي الصورة المزدوجة لدائرة آر إل سي المتوازية. المتغير الطبيعي يصبح التيار، ونستخدم معادلة الحلقة بدل معادلة العقدة. في التوالي، ألفا تساوي R على اثنين L، وأوميغا صفر تساوي واحدا على جذر L C. حالات التخميد نفسها تبقى موجودة: زائد، حرج، ناقص، وغير مخمد. في الدرس القادم نستخدم هذه الأدوات في مسائل مركزة من الدرجة الثانية.