النظرية الكهرومغناطيسية · الاستقطاب والعوازل

#14 استقطاب العازل والشحنات المقيدة والقابلية الكهربائية والسماحية وثابت العزل وتصنيف المواد ومعادلة الاستمرارية وزمن الاسترخاء

اربط الاستقطاب بالشحنات المقيدة والسماحية، ثم احسب استجابة عازل داخل مكثف وزمن اضمحلال الشحنة.

السؤال

لقطة درس تعرض الاستقطاب والشحنات المقيدة والسماحية وتصنيف المواد وزمن الاسترخاء ومثال المكثف. — يربط الاستقطاب الشحنات المقيدة بالسماحية، ويحدد ε/σ زمن استرخاء الشحنة.

عرّف الاستقطاب والشحنات المقيدة، واستنتج السماحية من D = ε₀E + P، وصنّف المواد العازلة، واشتق معادلة الاستمرارية وزمن الاسترخاء، ثم حل مثال المكثف.

الحل المكتوب ونص الشرح(يعرض الحل كاملًا)

تجد أدناه جميع الأسطر المكتوبة في الدفتر مع النص الكامل للشرح الصوتي.

1. انتقل من الموصلات إلى العوازل
يربط الاستقطاب الشحنات المقيدة بالسماحية، ويحدد ε/σ زمن استرخاء الشحنة.
في الدرس السابق درسنا التيارات الكهربائية والموصلات.
قانون أوم النقطي:
$\displaystyle J = \sigma E.$
مقاومة الموصل المنتظم:
$\displaystyle R = ℓ/\left(\sigma S\right).$
كما رأينا أن المجال داخل الموصل في الاتزان الكهروستاتيكي يساوي صفرا.
اليوم ننتقل إلى الطرف الآخر: العوازل أو الديالكتريك.
سنتعلم كيف يستقطب المجال الكهربائي المادة العازلة، وكيف تظهر الشحنات المقيدة، ثم نعرّف القابلية الكهربائية والسماحية وثابت العزل، ونختم بمعادلة الاستمرارية وزمن الاسترخاء.
نص الشرح الصوتي
في الدرس السابق درسنا التيارات الكهربائية والموصلات. رأينا أن كثافة التيار J ترتبط بالمجال الكهربائي من خلال قانون أوم النقطي: J يساوي sigma E. واستنتجنا مقاومة الموصل المنتظم: R يساوي ell على sigma S. كما رأينا أن المجال داخل الموصل في الاتزان الكهروستاتيكي يساوي صفرا. اليوم ننتقل إلى الطرف الآخر: العوازل أو الديالكتريك. سنتعلم كيف يستقطب المجال الكهربائي المادة العازلة، وكيف تظهر الشحنات المقيدة، ثم نعرّف القابلية الكهربائية والسماحية وثابت العزل، ونختم بمعادلة الاستمرارية وزمن الاسترخاء.
2. عرّف الاستقطاب والشحنات المقيدة
يربط الاستقطاب الشحنات المقيدة بالسماحية، ويحدد ε/σ زمن استرخاء الشحنة.
ماذا يحدث عندما نطبق مجالا كهربائيا على عازل؟
في الموصل تتحرك الشحنات الحرة لمسافات طويلة، أما في العازل فالشحنات مرتبطة بالذرات والجزيئات.
لكنها تستطيع أن تنزاح قليلا داخل الذرة.
النواة الموجبة تنزاح في اتجاه المجال E، وسحابة الإلكترونات السالبة تنزاح في الاتجاه المعاكس.
هكذا يتكون ثنائي قطب كهربائي صغير داخل كل ذرة.
عزم ثنائي القطب p = Qd، و d من الشحنة السالبة إلى الموجبة.
الجزيئات نوعان.
الجزيئات غير القطبية، مثل الهيدروجين والنيتروجين، لا تملك عزما دائما؛ المجال هو الذي يستحث العزم.
أما الجزيئات القطبية، مثل الماء، فلها عزم دائم أصلا، والمجال يحاول تدويرها حتى تصطف جزئيا معه.
نعرّف متجه الاستقطاب P بأنه عزم ثنائي القطب لكل وحدة حجم، ووحدته كولوم لكل متر مربع.
هذا الاستقطاب يولد شحنات مقيدة.
كثافة الشحنة السطحية المقيدة:
$\displaystyle \rho _{p}s = P\cdot a_{n}.$
كثافة الشحنة الحجمية المقيدة:
$\displaystyle \rho _{p}v = -∇\cdot P.$
هذه الشحنات لا تتحرك بحرية، لكنها تولد مجالا يعاكس المجال المطبق جزئيا، فينقص المجال الكلي داخل العازل.
نص الشرح الصوتي
ماذا يحدث عندما نطبق مجالا كهربائيا على عازل؟ في الموصل تتحرك الشحنات الحرة لمسافات طويلة، أما في العازل فالشحنات مرتبطة بالذرات والجزيئات. لكنها تستطيع أن تنزاح قليلا داخل الذرة. النواة الموجبة تنزاح في اتجاه المجال E، وسحابة الإلكترونات السالبة تنزاح في الاتجاه المعاكس. هكذا يتكون ثنائي قطب كهربائي صغير داخل كل ذرة. عزم ثنائي القطب هو p يساوي Q مضروبة في d، حيث d هو متجه الإزاحة من الشحنة السالبة إلى الشحنة الموجبة. الجزيئات نوعان. الجزيئات غير القطبية، مثل الهيدروجين والنيتروجين، لا تملك عزما دائما؛ المجال هو الذي يستحث العزم. أما الجزيئات القطبية، مثل الماء، فلها عزم دائم أصلا، والمجال يحاول تدويرها حتى تصطف جزئيا معه. نعرّف متجه الاستقطاب P بأنه عزم ثنائي القطب لكل وحدة حجم، ووحدته كولوم لكل متر مربع. هذا الاستقطاب يولد شحنات مقيدة. كثافة الشحنة السطحية المقيدة هي rho ps يساوي P dot a n. وكثافة الشحنة الحجمية المقيدة هي rho pv يساوي سالب divergence P. هذه الشحنات لا تتحرك بحرية، لكنها تولد مجالا يعاكس المجال المطبق جزئيا، فينقص المجال الكلي داخل العازل.
3. اربط الاستقطاب بالسماحية والانهيار
يربط الاستقطاب الشحنات المقيدة بالسماحية، ويحدد ε/σ زمن استرخاء الشحنة.
نربط الآن الاستقطاب بالمجال الكهربائي بصورة كمية.
في العازل الخطي P = χ_eε₀E.
الكمية χ_e تسمى القابلية الكهربائية، وهي عدد بلا أبعاد.
كثافة الفيض الكهربائي الكلية D = ε₀E + P.
بالتعويض نحصل على D = ε₀(1 + χ_e)E.
السماحية النسبية (ثابت العزل):
$\displaystyle \varepsilon _{r} = 1 + χ_{e}.$
إذن D = ε₀ε_rE = εE، حيث ε = ε₀ε_r.
ثابت العزل دائما أكبر من أو يساوي واحدا.
في الفراغ ε_r يساوي واحد.
للماء تقريبا ثمانون، وللزجاج غالبا بين خمسة وعشرة.
لكن لكل عازل حدا أعلى للمجال يمكنه تحمله.
إذا تجاوز المجال هذا الحد يحدث انهيار عازل؛ تنفلت الإلكترونات وتبدأ المادة بالتوصيل.
قوة العزل في الهواء تقريبا ثلاثة ميغافولت لكل متر، ولذلك تحتاج تجهيزات الجهد العالي إلى عوازل خاصة.
نص الشرح الصوتي
نربط الآن الاستقطاب بالمجال الكهربائي بصورة كمية. في أغلب المواد الهندسية يكون الاستقطاب متناسبا مع المجال: P يساوي chi e مضروبة في epsilon zero مضروبة في E. الكمية chi e تسمى القابلية الكهربائية، وهي عدد بلا أبعاد. كثافة الفيض الكهربائي الكلية D تحتوي على مساهمة الفراغ وعلى مساهمة الاستقطاب: D يساوي epsilon zero E زائد P. وبالتعويض نحصل على D يساوي epsilon zero في واحد زائد chi e مضروبة في E. نعرّف ثابت العزل أو السماحية النسبية: epsilon r يساوي واحد زائد chi e. إذن D يساوي epsilon zero epsilon r E، ونكتبها اختصارا D يساوي epsilon E، حيث epsilon يساوي epsilon zero epsilon r. ثابت العزل دائما أكبر من أو يساوي واحدا. في الفراغ epsilon r يساوي واحد. للماء تقريبا ثمانون، وللزجاج غالبا بين خمسة وعشرة. لكن لكل عازل حدا أعلى للمجال يمكنه تحمله. إذا تجاوز المجال هذا الحد يحدث انهيار عازل؛ تنفلت الإلكترونات وتبدأ المادة بالتوصيل. قوة العزل في الهواء تقريبا ثلاثة ميغافولت لكل متر، ولذلك تحتاج تجهيزات الجهد العالي إلى عوازل خاصة.
4. صنّف المواد العازلة
يربط الاستقطاب الشحنات المقيدة بالسماحية، ويحدد ε/σ زمن استرخاء الشحنة.
نصنف المواد العازلة بثلاث خواص.
المادة خطية إذا كانت D تتغير خطيا مع E، أي إن χ_e ثابتة ولا تعتمد على شدة المجال.
والمادة متساوية الخواص إذا كانت خصائصها واحدة في كل الاتجاهات؛ عندها يكون D موازيا ل E وتكون ε عددا قياسيا لا مصفوفة.
والمادة متجانسة إذا كانت ε لا تتغير من نقطة إلى أخرى داخل المادة.
عندما تكون المادة خطية ومتساوية الخواص ومتجانسة نسميها مادة بسيطة.
في المادة البسيطة نستبدل ε₀ بـ ε في صيغ الفراغ.
مثلا كثافة الطاقة w_E = ½εE²، وتعمل بقية صيغ الفصل بالاستبدال نفسه.
لكن توجد استثناءات مهمة.
المواد غير الخطية مثل الفيروكهربائيات تعتمد قابليتها على E.
والمواد متباينة الخواص مثل بعض البلورات تحتاج إلى موتر سماحية ثلاثة في ثلاثة.
أما المواد غير المتجانسة فلها سماحية تتغير مكانيا.
نص الشرح الصوتي
نصنف المواد العازلة بثلاث خواص. المادة خطية إذا كانت D تتغير خطيا مع E، أي إن chi e ثابتة ولا تعتمد على شدة المجال. والمادة متساوية الخواص إذا كانت خصائصها واحدة في كل الاتجاهات؛ عندها يكون D موازيا ل E وتكون epsilon عددا قياسيا لا مصفوفة. والمادة متجانسة إذا كانت epsilon لا تتغير من نقطة إلى أخرى داخل المادة. عندما تكون المادة خطية ومتساوية الخواص ومتجانسة نسميها مادة بسيطة. في المادة البسيطة نستطيع استعمال صيغ الفراغ نفسها، لكن نستبدل epsilon zero ب epsilon. مثلا قانون كولوم، وكثافة الطاقة نصف epsilon E تربيع، وكل صيغ الفصل السابق تعمل بهذا الاستبدال. لكن توجد استثناءات مهمة. المواد غير الخطية مثل الفيروكهربائيات تعتمد قابليتها على E. والمواد متباينة الخواص مثل بعض البلورات تحتاج إلى موتر سماحية ثلاثة في ثلاثة. أما المواد غير المتجانسة فلها سماحية تتغير مكانيا.
5. اشتق الاستمرارية وزمن الاسترخاء
يربط الاستقطاب الشحنات المقيدة بالسماحية، ويحدد ε/σ زمن استرخاء الشحنة.
قبل أن نغادر هذا الفصل نشتق نتيجة أساسية: معادلة الاستمرارية.
مبدأ حفظ الشحنة يقول إن الشحنة لا تخلق ولا تفنى.
إذا خرج تيار من سطح مغلق، فلا بد أن تنقص الشحنة داخل الحجم بالمقدار نفسه.
معادلة الاستمرارية:
$\displaystyle ∇\cdot J = -\partial \rho _{v}/\partial t.$
هذه هي معادلة الاستمرارية.
الآن ضع شحنة حرة داخل مادة ناقليتها σ وسماحيتها ε.
من J = σE و ∇·D = ρ_v نحصل على ρ(t) = ρ₀e⁽−t/T_r).
زمن الاسترخاء T_r = ε/σ.
في النحاس، لأن σ كبيرة جدا، يكون زمن الاسترخاء حوالي واحد فاصلة خمسة في عشرة أس ناقص تسعة عشر ثانية.
أما في الكوارتز المنصهر فقد يكون الزمن حوالي واحد وخمسين يوما.
هذا الفرق الهائل هو ما يميز الموصلات عن العوازل.
نص الشرح الصوتي
قبل أن نغادر هذا الفصل نشتق نتيجة أساسية: معادلة الاستمرارية. مبدأ حفظ الشحنة يقول إن الشحنة لا تخلق ولا تفنى. إذا خرج تيار من سطح مغلق، فلا بد أن تنقص الشحنة داخل الحجم بالمقدار نفسه. رياضيا نحصل على divergence J يساوي سالب المشتقة الجزئية لكثافة الشحنة rho v بالنسبة إلى الزمن. هذه هي معادلة الاستمرارية. الآن ضع شحنة حرة داخل مادة ناقليتها sigma وسماحيتها epsilon. من J يساوي sigma E، ومن divergence D يساوي rho v، يمكن إظهار أن الشحنة تضمحل أسيا: rho of t يساوي rho zero مضروبة في e أس سالب t على T r. وزمن الاسترخاء T r يساوي epsilon على sigma. في النحاس، لأن sigma كبيرة جدا، يكون زمن الاسترخاء حوالي واحد فاصلة خمسة في عشرة أس ناقص تسعة عشر ثانية. أما في الكوارتز المنصهر فقد يكون الزمن حوالي واحد وخمسين يوما. هذا الفرق الهائل هو ما يميز الموصلات عن العوازل.
6. حل مثال المكثف المملوء بعازل
يربط الاستقطاب الشحنات المقيدة بالسماحية، ويحدد ε/σ زمن استرخاء الشحنة.
نحل مثالا عمليا على عازل داخل مكثف لوحين متوازيين.
المسافة d = 1.5 mm، وللبوليسترين ε_r = 2.55.
المجال المطبق E = 10 kV/m.
أولا نحسب كثافة الفيض D.
$\displaystyle D = \varepsilon ₀\varepsilon _{r}E.$
بالتعويض D = 225.4 nC/m².
ثانيا نحسب الاستقطاب P.
$\displaystyle P = χ_{e}\varepsilon ₀E,\; ,\quad χ_{e} = \varepsilon _{r} - 1 = 1.55.$
إذن P = 137 nC/m².
كثافة الشحنة الحرة على كل لوح ρ_s = D·a_n = 225.4 nC/m².
كثافة الشحنة المقيدة على سطح العازل ρ_ps = P·a_n = 137 nC/m².
لاحظ أن الشحنة المقيدة تعاكس جزءا من أثر الشحنة الحرة.
الجهد بين اللوحين V = Ed = 10⁴×1.5×10⁻³ = 15 V.
نص الشرح الصوتي
نحل مثالا عمليا على عازل داخل مكثف لوحين متوازيين. المسافة بين اللوحين d تساوي واحد فاصلة خمسة مليمتر، والمادة هي بوليسترين، وثابت العزل epsilon r يساوي اثنين فاصلة خمسة وخمسين. المجال المطبق E يساوي عشرة كيلوفولت لكل متر. أولا نحسب كثافة الفيض D. D يساوي epsilon zero epsilon r E. بالتعويض نحصل على مئتين وخمسة وعشرين فاصلة أربعة نانوكولوم لكل متر مربع. ثانيا نحسب الاستقطاب P. P يساوي chi e epsilon zero E، و chi e يساوي epsilon r ناقص واحد، أي واحد فاصلة خمسة وخمسون. إذن P يساوي مئة وسبعة وثلاثين نانوكولوم لكل متر مربع. ثالثا، كثافة الشحنة الحرة على كل لوح تساوي المركبة العمودية ل D، أي مئتين وخمسة وعشرين فاصلة أربعة نانوكولوم لكل متر مربع. ورابعا، كثافة الشحنة المقيدة على سطح العازل تساوي المركبة العمودية ل P، أي مئة وسبعة وثلاثين نانوكولوم لكل متر مربع. لاحظ أن الشحنة المقيدة تعاكس جزءا من أثر الشحنة الحرة. وأخيرا الجهد بين اللوحين V يساوي E في d، أي عشرة أس أربعة مضروبة في واحد فاصلة خمسة في عشرة أس ناقص ثلاثة، والنتيجة خمسة عشر فولت.
7. راجع الاستقطاب وعلاقات العوازل
يربط الاستقطاب الشحنات المقيدة بالسماحية، ويحدد ε/σ زمن استرخاء الشحنة.
نلخص أهم النتائج.
الاستقطاب P هو عزم ثنائي القطب لكل وحدة حجم، وينشأ عندما يزيح المجال الخارجي الشحنات داخل العازل.
الشحنات المقيدة:
$\displaystyle \rho _{p}s = P\cdot a_{n} ,\quad \rho _{p}v = -∇\cdot P.$
العلاقة D = ε₀E + P تقود إلى D = εE، حيث ε = ε₀ε_r.
للمواد البسيطة، أي الخطية والمتجانسة ومتساوية الخواص، نستبدل ε₀ ب ε في صيغ الكهرباء الساكنة.
حفظ الشحنة:
$\displaystyle ∇\cdot J = -\partial \rho _{v}/\partial t.$
زمن الاسترخاء T_r = ε/σ يحدد سرعة اختفاء الشحنة الحرة.
في الدرس القادم ندرس شروط الحد، أي ماذا يحدث ل E و D عند السطح الفاصل بين مادتين مختلفتين.
نص الشرح الصوتي
نلخص أهم النتائج. الاستقطاب P هو عزم ثنائي القطب لكل وحدة حجم، وينشأ عندما يزيح المجال الخارجي الشحنات داخل العازل. الشحنات المقيدة تأتي من الاستقطاب: الشحنة السطحية rho ps تساوي P dot a n، والشحنة الحجمية rho pv تساوي سالب divergence P. العلاقة D يساوي epsilon zero E زائد P تقود إلى D يساوي epsilon E، حيث epsilon يساوي epsilon zero epsilon r. للمواد البسيطة، أي الخطية والمتجانسة ومتساوية الخواص، نستبدل epsilon zero ب epsilon في صيغ الكهرباء الساكنة. معادلة الاستمرارية تعبّر عن حفظ الشحنة: divergence J يساوي سالب partial rho v على partial t. وزمن الاسترخاء T r يساوي epsilon على sigma، وهو الذي يحدد سرعة اختفاء الشحنة الحرة داخل المادة. في الدرس القادم ندرس شروط الحد، أي ماذا يحدث ل E و D عند السطح الفاصل بين مادتين مختلفتين.