النظرية الكهرومغناطيسية · الجهد الكهربائي وعلاقة E–V

#11 فرق الجهد وجهد الشحنات النقطية والمستمرة والتراكب وعلاقة E = −∇V والمحافظة في المجال الكهروستاتيكي

انتقل من الجهد العددي إلى المجال الكهربائي، وبسّط التراكب، واحسب الشغل دون تكامل مساري.

السؤال

لقطة درس تعرض الجهد الكهربائي وعلاقة E–V ومثالا في الإحداثيات الكروية. — الجهد الكهروستاتيكي كمية عددية، والمجال الكهربائي هو سالب تدرجه.

عرّف الجهد الكهربائي من الشغل وفرق الجهد، وطبّق التراكب على الشحنات النقطية والمستمرة، واستنتج E = −∇V ثم حل مثالا في الإحداثيات الكروية.

الحل المكتوب ونص الشرح(يعرض الحل كاملًا)

تجد أدناه جميع الأسطر المكتوبة في الدفتر مع النص الكامل للشرح الصوتي.

1. انتقل من قانون غاوس إلى الجهد العددي
الجهد الكهروستاتيكي كمية عددية، والمجال الكهربائي هو سالب تدرجه.
في الدرس السابق عرفنا كثافة الفيض الكهربائي D، وكتبنا قانون غاوس بصيغته التكاملية والتفاضلية.
كان الدرس كله يدور حول فكرة واحدة: عندما يوجد تناظر جيد، نستطيع اختيار سطح غاوسي مناسب ونختصر التكامل الطويل إلى حساب قصير.
اليوم نأخذ اختصارا من نوع آخر: الجهد الكهربائي V.
بدلا من التعامل دائما مع متجه له مركبات، سنستخدم كمية عددية واحدة، ثم نستخرج منها المجال الكهربائي.
نص الشرح الصوتي
في الدرس السابق عرفنا كثافة الفيض الكهربائي D، وكتبنا قانون غاوس بصيغته التكاملية والتفاضلية. كان الدرس كله يدور حول فكرة واحدة: عندما يوجد تناظر جيد، نستطيع اختيار سطح غاوسي مناسب ونختصر التكامل الطويل إلى حساب قصير. اليوم نأخذ اختصارا من نوع آخر: الجهد الكهربائي V. بدلا من التعامل دائما مع متجه له مركبات، سنستخدم كمية عددية واحدة، ثم نستخرج منها المجال الكهربائي.
2. عرّف فرق الجهد وجهد الشحنة النقطية
الجهد الكهروستاتيكي كمية عددية، والمجال الكهربائي هو سالب تدرجه.
تخيل أننا نحرك شحنة اختبار Q من النقطة A إلى النقطة B داخل مجال كهربائي E.
شغل المؤثر الخارجي: W_ext = −Q∫ₐᵇE·dl.
إذا قسمنا الشغل على Q نحصل على فرق الجهد بين A و B.
فرق الجهد: V_AB = V_B − V_A = −∫ₐᵇE·dl، ووحدته الفولت.
هذه العبارة تقول إن الجهد هو طاقة لكل وحدة شحنة.
لشحنة نقطية ومع V(∞)=0:
$\displaystyle V = Q/\left(4\pi \varepsilon ₀r\right).$
انتبه للنقطة المهمة: المجال E متجه وله اتجاه ومركبات، أما الجهد V فهو عدد واحد عند كل نقطة.
وفي الكهروستاتيكا فرق الجهد لا يعتمد على المسار، بل على نقطتي البداية والنهاية فقط.
نص الشرح الصوتي
تخيل أننا نحرك شحنة اختبار Q من النقطة A إلى النقطة B داخل مجال كهربائي E. الشغل الذي يبذله مؤثر خارجي ضد المجال يساوي سالب Q مضروبا في تكامل E dot d l من A إلى B. إذا قسمنا الشغل على Q نحصل على فرق الجهد بين A و B. إذن V A B يساوي سالب تكامل E dot d l من A إلى B، ووحدته فولت، أي جول لكل كولوم. هذه العبارة تقول إن الجهد هو طاقة لكل وحدة شحنة. لشحنة نقطية Q عند الأصل، ومع اختيار الجهد صفرا عند اللانهاية، يصبح الجهد عند مسافة r: V يساوي Q على أربعة pi epsilon zero r. انتبه للنقطة المهمة: المجال E متجه وله اتجاه ومركبات، أما الجهد V فهو عدد واحد عند كل نقطة. وفي الكهروستاتيكا فرق الجهد لا يعتمد على المسار، بل على نقطتي البداية والنهاية فقط.
3. اجمع جهود الشحنات النقطية والمستمرة
الجهد الكهروستاتيكي كمية عددية، والمجال الكهربائي هو سالب تدرجه.
مثلما يخضع المجال الكهربائي لمبدأ التراكب، يخضع الجهد أيضا لمبدأ التراكب.
لكن هنا توجد ميزة كبيرة: في الجهد نجمع أعدادا، لا متجهات.
لشحنات نقطية متعددة:
$\displaystyle V\left(r\right) = ΣₖQₖ/\left[4\pi \varepsilon ₀|r - rₖ|\right].$
لا نحتاج إلى تحليل x و y و z ثم جمع مركبات منفصلة.
للتوزيعات المستمرة نستبدل المجموع بتكامل.
للشحنة الخطية V = ∫ₗρ_L dl/(4πε₀R).
للشحنة السطحية V = ∫ₛρ_S dS/(4πε₀R).
للشحنة الحجمية V = ∫ᵥρ_v dv/(4πε₀R).
في كل حالة، R هي المسافة من عنصر الشحنة الصغير إلى نقطة المجال.
نص الشرح الصوتي
مثلما يخضع المجال الكهربائي لمبدأ التراكب، يخضع الجهد أيضا لمبدأ التراكب. لكن هنا توجد ميزة كبيرة: في الجهد نجمع أعدادا، لا متجهات. لعدة شحنات نقطية، الجهد عند نقطة ما يساوي مجموع مساهمة كل شحنة: Q k على أربعة pi epsilon zero في المسافة من الشحنة إلى نقطة القياس. لا نحتاج إلى تحليل x و y و z ثم جمع مركبات منفصلة. للتوزيعات المستمرة نستبدل المجموع بتكامل. للشحنة الخطية نكامل rho L d l على أربعة pi epsilon zero R. وللشحنة السطحية نكامل rho S d S على أربعة pi epsilon zero R. وللشحنة الحجمية نكامل rho v d v على أربعة pi epsilon zero R. في كل حالة، R هي المسافة من عنصر الشحنة الصغير إلى نقطة المجال.
4. استنتج E = −∇V والمحافظة
الجهد الكهروستاتيكي كمية عددية، والمجال الكهربائي هو سالب تدرجه.
الآن نربط الجهد بالمجال.
تعريف فرق الجهد التفاضلي: dV = −E·dl.
ومن حساب المتغيرات المتعددة، التفاضل الكلي للجهد يساوي مشتقة V بالنسبة إلى x مضروبة في dx، زائد مشتقة V بالنسبة إلى y مضروبة في dy، زائد مشتقة V بالنسبة إلى z مضروبة في dz.
بالمقارنة نحصل على E = −grad V = −∇V.
الفكرة العملية جميلة جدا: إذا عرفت دالة عددية واحدة V، تستطيع إيجاد مركبات المجال كلها بالمشتقات الجزئية.
والمجال يشير من الجهد الأعلى إلى الجهد الأقل، لذلك تظهر الإشارة السالبة.
ولأن دوران أي تدرج يساوي صفرا:
$\displaystyle ∇\times E = 0.$
هذه هي معادلة ماكسويل الثانية في الحالة الساكنة.
الصيغة التكاملية: ∮E·dl = 0؛ فلا يوجد شغل صاف حول مسار مغلق.
نص الشرح الصوتي
الآن نربط الجهد بالمجال. تعريف الجهد يقول إن d V يساوي سالب E dot d l. ومن حساب المتغيرات المتعددة، التفاضل الكلي للجهد يساوي مشتقة V بالنسبة إلى x مضروبة في d x، زائد مشتقة V بالنسبة إلى y مضروبة في d y، زائد مشتقة V بالنسبة إلى z مضروبة في d z. بمقارنة العبارتين نحصل على النتيجة الأساسية: E يساوي سالب تدرج V، أو E يساوي سالب nabla V. الفكرة العملية جميلة جدا: إذا عرفت دالة عددية واحدة V، تستطيع إيجاد مركبات المجال كلها بالمشتقات الجزئية. والمجال يشير من الجهد الأعلى إلى الجهد الأقل، لذلك تظهر الإشارة السالبة. ولأن دوران أي تدرج يساوي صفرا، نحصل على nabla cross E يساوي صفرا. هذه هي معادلة ماكسويل الثانية في الحالة الساكنة. وصيغتها التكاملية تقول إن التكامل المغلق لـ E dot d l يساوي صفرا، أي لا يوجد شغل صاف حول مسار مغلق.
5. احسب E والشغل في الإحداثيات الكروية
الجهد الكهروستاتيكي كمية عددية، والمجال الكهربائي هو سالب تدرجه.
نطبق العلاقة E = −∇V.
المعطى V = (10/r²)sinθ cosφ في الإحداثيات الكروية.
في الإحداثيات الكروية، التدرج له ثلاث مركبات: مشتقة بالنسبة إلى r، ثم واحد على r مضروبا في مشتقة بالنسبة إلى theta، ثم واحد على r sinθ مضروبا في مشتقة بالنسبة إلى phi.
نأخذ كل مشتقة على حدة، ثم نضع الإشارة السالبة.
فنحصل على مركبة r، ومركبة theta، ومركبة phi للمجال الكهربائي.
الجزء الثاني من المثال هو حساب الشغل اللازم لنقل شحنة مقدارها عشرة micro coulomb من النقطة A إلى النقطة B.
بدلا من التكامل الخطي: W_ext = q(V_B − V_A).
نعوض إحداثيات A في دالة الجهد فنحصل على V A، ثم نعوض إحداثيات B فنحصل على V B.
النتيجة W_ext = 28.125 μJ.
هذا هو سبب حبنا للجهد: عندما يكون V معروفا، تصبح بعض مسائل الشغل قصيرة جدا.
نص الشرح الصوتي
لنطبق العلاقة E يساوي سالب nabla V. المعطى هو جهد في الإحداثيات الكروية: V يساوي عشرة على r تربيع، مضروبا في sin theta و cos phi. في الإحداثيات الكروية، التدرج له ثلاث مركبات: مشتقة بالنسبة إلى r، ثم واحد على r مضروبا في مشتقة بالنسبة إلى theta، ثم واحد على r sin theta مضروبا في مشتقة بالنسبة إلى phi. نأخذ كل مشتقة على حدة، ثم نضع الإشارة السالبة. فنحصل على مركبة r، ومركبة theta، ومركبة phi للمجال الكهربائي. الجزء الثاني من المثال هو حساب الشغل اللازم لنقل شحنة مقدارها عشرة micro coulomb من النقطة A إلى النقطة B. بدلا من تكامل خطي طويل، نستخدم الاختصار: الشغل يساوي Q مضروبا في V B ناقص V A. نعوض إحداثيات A في دالة الجهد فنحصل على V A، ثم نعوض إحداثيات B فنحصل على V B. بعد طرح القيمتين والضرب في الشحنة، نحصل على ثمانية وعشرين فاصلة واحد اثنين خمسة micro joule. هذا هو سبب حبنا للجهد: عندما يكون V معروفا، تصبح بعض مسائل الشغل قصيرة جدا.
6. راجع علاقة الجهد بالمجال
الجهد الكهروستاتيكي كمية عددية، والمجال الكهربائي هو سالب تدرجه.
الخلاصة: V_AB = −∫ₐᵇE·dl، وهو مستقل عن المسار.
جهد الشحنة النقطية V = Q/(4πε₀r).
والجهد يخضع للتراكب، لكننا نجمع أعدادا لا متجهات.
العلاقة الأساسية E = −∇V؛ نستخرج المجال من دالة الجهد.
ومنها ∇×E = 0 أو ∮E·dl = 0، وهي معادلة ماكسويل الثانية الساكنة.
في الدرس القادم ندرس ثنائي القطب الكهربائي والطاقة المخزنة في المجالات الكهروستاتيكية.
نص الشرح الصوتي
الخلاصة: فرق الجهد V A B يساوي سالب تكامل E dot d l من A إلى B، وهو مستقل عن المسار في الكهروستاتيكا. جهد الشحنة النقطية هو Q على أربعة pi epsilon zero r. والجهد يخضع للتراكب، لكننا نجمع أعدادا لا متجهات. العلاقة الأهم في هذا الدرس هي E يساوي سالب nabla V: من دالة جهد واحدة نستخرج المجال الكهربائي. ومنها نحصل أيضا على nabla cross E يساوي صفرا، أو التكامل المغلق لـ E dot d l يساوي صفرا، وهي معادلة ماكسويل الثانية الساكنة. في الدرس القادم ندرس ثنائي القطب الكهربائي والطاقة المخزنة في المجالات الكهروستاتيكية.