النظرية الكهرومغناطيسية · التدرج والتباعد والدوران

#05 المؤثرات التفاضلية الأساسية وهويات حساب المتجهات

قارن أسرع زيادة وقوة المصدر والدوران المحلي باستخدام التدرج والتباعد والدوران.

السؤال

لقطة درس تعرض التدرج والتباعد والدوران وخطوط المجال وهويات حساب المتجهات الأساسية. — التدرج يحول السلمي إلى متجه، والتباعد يحول المتجه إلى سلمي، والدوران يحول المتجه إلى متجه.

اشرح مدخلات ومخرجات التدرج والتباعد والدوران ومعانيها الفيزيائية وصيغها الكارتيزية والهويتين ∇×∇f=0 و∇·(∇×A)=0.

الحل المكتوب ونص الشرح(يعرض الحل كاملًا)

تجد أدناه جميع الأسطر المكتوبة في الدفتر مع النص الكامل للشرح الصوتي.

1. مهّد للانتقال إلى حساب المتجهات
التدرج يحول السلمي إلى متجه، والتباعد يحول المتجه إلى سلمي، والدوران يحول المتجه إلى متجه.
في الدروس السابقة عرفنا الأنظمة الإحداثية الثلاثة: الكارتيزية، والأسطوانية، والكروية، مع عناصر الخط والسطح والحجم التفاضلية.
الآن نحتاج إلى أدوات تصف كيف تتغير الحقول في الفضاء.
في هذا الدرس ندرس ثلاث عمليات أساسية في حساب المتجهات: التدرج، والتباعد، والدوران.
كل هذه العمليات تستخدم المؤثر ∇.
التدرج يحول المجال السلمي إلى متجه يشير إلى أسرع زيادة.
والتباعد يقيس هل المجال المتجهي يخرج من نقطة مثل مصدر، أو يدخل إليها مثل مصب.
أما الدوران فيقيس ميل المجال إلى الدوران أو الدوران المحلي حول نقطة.
نص الشرح الصوتي
في الدروس السابقة عرفنا الأنظمة الإحداثية الثلاثة: الكارتيزية، والأسطوانية، والكروية، مع عناصر الخط والسطح والحجم التفاضلية. الآن نحتاج إلى أدوات تصف كيف تتغير الحقول في الفضاء. في هذا الدرس ندرس ثلاث عمليات أساسية في حساب المتجهات: التدرج، والتباعد، والدوران. كل هذه العمليات تستخدم المؤثر نابلا. التدرج يحول المجال السلمي إلى متجه يشير إلى أسرع زيادة. والتباعد يقيس هل المجال المتجهي يخرج من نقطة مثل مصدر، أو يدخل إليها مثل مصب. أما الدوران فيقيس ميل المجال إلى الدوران أو الدوران المحلي حول نقطة.
2. عرّف التدرج وفسّره
التدرج يحول السلمي إلى متجه، والتباعد يحول المتجه إلى سلمي، والدوران يحول المتجه إلى متجه.
نبدأ بالتدرج.
التدرج يطبق على مجال سلمي f، وينتج مجالا متجهيا.
في النظام الكارتيزي:
$\displaystyle ∇f = \left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)e_{x} + \left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)e_{y} + \left(\frac{\partial f}{\partial z}\right)e_{z}.$
معنى ذلك أن متجه التدرج يشير إلى الاتجاه الذي تزيد فيه f بأكبر سرعة، ومقداره يساوي معدل الزيادة الأعظم.
هندسيا يكون التدرج عموديا على أسطح أو خطوط f الثابتة.
مثال: إذا كان f = x² + y²، فإن ∇f = 2x e_x + 2y e_y.
لذلك يشير التدرج إلى الخارج من الأصل، لأن قيمة f تكبر كلما ابتعدنا عن الأصل.
في الإحداثيات الأسطوانية والكروية تظهر معاملات القياس في المقام: في اتجاه الزاوية لا يكفي تغير الزاوية وحده، بل يجب تحويله إلى طول قوسي.
نص الشرح الصوتي
نبدأ بالتدرج. التدرج يطبق على مجال سلمي f، وينتج مجالا متجهيا. في الإحداثيات الكارتيزية نكتب نابلا f يساوي المشتقة الجزئية ل f بالنسبة إلى x في اتجاه x، زائد المشتقة الجزئية بالنسبة إلى y في اتجاه y، زائد المشتقة الجزئية بالنسبة إلى z في اتجاه z. معنى ذلك أن متجه التدرج يشير إلى الاتجاه الذي تزيد فيه f بأكبر سرعة، ومقداره يساوي معدل الزيادة الأعظم. هندسيا يكون التدرج عموديا على أسطح أو خطوط f الثابتة. مثال بسيط: إذا كان f يساوي x تربيع زائد y تربيع، فإن نابلا f يساوي اثنين x في اتجاه x زائد اثنين y في اتجاه y. لذلك يشير التدرج إلى الخارج من الأصل، لأن قيمة f تكبر كلما ابتعدنا عن الأصل. في الإحداثيات الأسطوانية والكروية تظهر معاملات القياس في المقام: في اتجاه الزاوية لا يكفي تغير الزاوية وحده، بل يجب تحويله إلى طول قوسي.
3. عرّف التباعد وفسّره
التدرج يحول السلمي إلى متجه، والتباعد يحول المتجه إلى سلمي، والدوران يحول المتجه إلى متجه.
العملية الثانية هي التباعد.
التباعد يطبق على مجال متجهي A، وينتج عددا سلميا عند كل نقطة.
في النظام الكارتيزي:
$\displaystyle ∇\cdot A =\frac{ \partial A_{x}}{\partial x }+\frac{ \partial A_{y}}{\partial y }+ \partial A_{z}/\partial z.$
فيزيائيا يقيس التباعد الفيض الصافي الخارج من حجم صغير جدا حول النقطة.
إذا كان التباعد موجبا فالنقطة تشبه مصدرا.
وإذا كان سالبا فهي تشبه مصبا.
وإذا كان صفرا فلا يوجد خروج صاف، ويقال إن المجال عديم التباعد أو سولينويدي.
مثلا المجال A يساوي x في اتجاه x + y في اتجاه y + z في اتجاه z له تباعد يساوي ثلاثة، أي إنه يتمدد بانتظام في كل مكان.
وسيظهر التباعد مباشرة في قانون غاوس في الكهروستاتيكا.
نص الشرح الصوتي
العملية الثانية هي التباعد. التباعد يطبق على مجال متجهي A، وينتج عددا سلميا عند كل نقطة. في الكارتيزي، نابلا نقطة A يساوي المشتقة الجزئية ل A x بالنسبة إلى x، زائد المشتقة الجزئية ل A y بالنسبة إلى y، زائد المشتقة الجزئية ل A z بالنسبة إلى z. فيزيائيا يقيس التباعد الفيض الصافي الخارج من حجم صغير جدا حول النقطة. إذا كان التباعد موجبا فالنقطة تشبه مصدرا. وإذا كان سالبا فهي تشبه مصبا. وإذا كان صفرا فلا يوجد خروج صاف، ويقال إن المجال عديم التباعد أو سولينويدي. مثلا المجال A يساوي x في اتجاه x زائد y في اتجاه y زائد z في اتجاه z له تباعد يساوي ثلاثة، أي إنه يتمدد بانتظام في كل مكان. وسيظهر التباعد مباشرة في قانون غاوس في الكهروستاتيكا.
4. عرّف الدوران وفسّره
التدرج يحول السلمي إلى متجه، والتباعد يحول المتجه إلى سلمي، والدوران يحول المتجه إلى متجه.
العملية الثالثة هي الدوران، أو الكيرل.
الدوران يطبق على مجال متجهي، وينتج مجالا متجهيا آخر.
فكر في عجلة صغيرة جدا موضوعة داخل المجال.
إذا جعلها المجال تدور، فالدوران غير صفري.
في الكارتيزي نحسب ∇ × A باستعمال محدد من ثلاث صفوف: في الصف الأول متجهات الوحدة، وفي الصف الثاني المشتقات الجزئية، وفي الصف الثالث مركبات المجال A.
عند التوسيع نحصل على ثلاث مركبات: مركبة x، ومركبة y، ومركبة z.
كل مركبة تقيس فرقا بين تغيرين متقاطعين.
إذا كان الدوران صفرا في كل مكان يسمى المجال لا دوراني.
هذه الفكرة أساسية في قانون فاراداي وقانون أمبير-ماكسويل، لأن معادلات ماكسويل تربط دوران الحقول الكهربائية والمغناطيسية بالمصادر والتغير مع الزمن.
نص الشرح الصوتي
العملية الثالثة هي الدوران، أو الكيرل. الدوران يطبق على مجال متجهي، وينتج مجالا متجهيا آخر. فكر في عجلة صغيرة جدا موضوعة داخل المجال. إذا جعلها المجال تدور، فالدوران غير صفري. في الكارتيزي نحسب نابلا ضرب اتجاهي A باستعمال محدد من ثلاث صفوف: في الصف الأول متجهات الوحدة، وفي الصف الثاني المشتقات الجزئية، وفي الصف الثالث مركبات المجال A. عند التوسيع نحصل على ثلاث مركبات: مركبة x، ومركبة y، ومركبة z. كل مركبة تقيس فرقا بين تغيرين متقاطعين. إذا كان الدوران صفرا في كل مكان يسمى المجال لا دوراني. هذه الفكرة أساسية في قانون فاراداي وقانون أمبير-ماكسويل، لأن معادلات ماكسويل تربط دوران الحقول الكهربائية والمغناطيسية بالمصادر والتغير مع الزمن.
5. اربط الهويتين الأساسيتين
التدرج يحول السلمي إلى متجه، والتباعد يحول المتجه إلى سلمي، والدوران يحول المتجه إلى متجه.
هناك هويتان مهمتان تربطان هذه العمليات.
الأولى: دوران أي تدرج يساوي دائما صفرا.
أي أن ∇×(∇f) = 0⃗ لأي مجال سلمي f.
هذا يعني أن حقول التدرج لا دورانية.
في الكهروستاتيكا: E = −∇V، ولذلك ∇×E = 0⃗ في الحالة الساكنة.
الهوية الثانية: تباعد أي دوران يساوي دائما صفرا.
أي أن ∇·(∇×A) = 0 لأي مجال A.
هذا يعني أن حقول الدوران عديمة التباعد.
في المغناطيسية الساكنة: B = ∇×A، ولذلك ∇·B = 0 تلقائيا.
هاتان الهويتان ليستا حيلتين جبريتين فقط، بل تعبران عن هندسة الفضاء.
نص الشرح الصوتي
هناك هويتان مهمتان تربطان هذه العمليات. الأولى: دوران أي تدرج يساوي دائما صفرا. أي أن نابلا ضرب اتجاهي نابلا f يساوي المتجه الصفري لأي مجال سلمي f. هذا يعني أن حقول التدرج لا دورانية. في الكهروستاتيكا، عندما نكتب المجال الكهربائي E يساوي سالب نابلا V، فهذا يخبرنا أن دوران E يساوي صفرا في الحالة الساكنة. الهوية الثانية: تباعد أي دوران يساوي دائما صفرا. أي أن نابلا نقطة، نابلا ضرب اتجاهي A، يساوي صفرا لأي مجال A. هذا يعني أن حقول الدوران عديمة التباعد. في المغناطيسية الساكنة، عندما نكتب B يساوي نابلا ضرب اتجاهي A، فإن تباعد B يساوي صفرا تلقائيا. هاتان الهويتان ليستا حيلتين جبريتين فقط، بل تعبران عن هندسة الفضاء.
6. قارن المؤثرات الثلاثة
التدرج يحول السلمي إلى متجه، والتباعد يحول المتجه إلى سلمي، والدوران يحول المتجه إلى متجه.
لنلخص.
التدرج يأخذ مجالا سلميا ويعطي مجالا متجهيا، ويشير إلى اتجاه أسرع زيادة.
التباعد يأخذ مجالا متجهيا ويعطي مجالا سلميا، ويقيس قوة المصدر أو الفيض الصافي الخارج من النقطة.
الدوران يأخذ مجالا متجهيا ويعطي مجالا متجهيا، ويقيس ميل المجال إلى الدوران أو الدوران المحلي.
الهويتان الأساسيتان هما: دوران التدرج يساوي صفرا، وتباعد الدوران يساوي صفرا.
هذه العمليات الثلاث، مع هاتين الهويتين، تشكل اللغة الرياضية التي سنستخدمها في معادلات ماكسويل.
نص الشرح الصوتي
لنلخص. التدرج يأخذ مجالا سلميا ويعطي مجالا متجهيا، ويشير إلى اتجاه أسرع زيادة. التباعد يأخذ مجالا متجهيا ويعطي مجالا سلميا، ويقيس قوة المصدر أو الفيض الصافي الخارج من النقطة. الدوران يأخذ مجالا متجهيا ويعطي مجالا متجهيا، ويقيس ميل المجال إلى الدوران أو الدوران المحلي. الهويتان الأساسيتان هما: دوران التدرج يساوي صفرا، وتباعد الدوران يساوي صفرا. هذه العمليات الثلاث، مع هاتين الهويتين، تشكل اللغة الرياضية التي سنستخدمها في معادلات ماكسويل.