#49 التحليل العابر #49 — التخميد الناقص وانعدام التخميد في RLC المتوازية

تجد أدناه جميع الأسطر المكتوبة في الدفتر مع النص الكامل للشرح الصوتي.

1. 1. تمييز الحالتين الاهتزازيتين

   

   تحدد مقارنة α مع ω₀ الجذور المميزة

   0<α<ω₀ ← تخميد ناقص

   α=0 ← بلا تخميد

   توجد جذور عقدية مترافقة في الحالتين

   تتناقص السعة مع التخميد الناقص

   تبقى السعة ثابتة عند انعدام التخميد

   نص الشرح الصوتي

   في الدرس السابق رأينا حالتين بلا اهتزاز: التخميد الزائد والتخميد الحرج. الآن ننتقل إلى الجهة الأخرى من الخريطة: متى تبدأ الدائرة في التذبذب؟ عندما يكون alpha أصغر من omega zero تظهر الجذور المركبة، وتصبح الاستجابة جيبية داخل غلاف أسي متناقص. وإذا اختفى التخميد تماما، أي alpha يساوي صفر، نحصل على اهتزاز مثالي مستمر في دائرة إل سي.

2. 2. صيغة الاستجابة ذات التخميد الناقص

   

   الشرط:

   $\displaystyle 0<\alpha <\omega ₀$

   $\displaystyle s₁,₂=-\alpha \pm j\omega _{d}$

   $\displaystyle \omega _{d}=\sqrt{\omega ₀²-\alpha ²}$

   ω_d هو التردد الزاوي الطبيعي المخمد

   $\displaystyle x_{n}=e^{-\alpha t}\left[B₁\cos \left(\omega _{d}t\right)+B₂\sin \left(\omega _{d}t\right)\right]$

   يقلص الغلاف e^−αt القمم المتتابعة

   يستمر الاهتزاز بينما تنقص الطاقة كل دورة

   نص الشرح الصوتي

   حالة التخميد الناقص تحدث عندما يكون alpha أصغر من omega zero. الجذور هنا ليست حقيقية فقط، بل زوج مركب: ناقص alpha زائد أو ناقص j omega d. المقدار omega d يسمى التردد المخمد، وهو يساوي الجذر التربيعي ل omega zero تربيع ناقص alpha تربيع. لذلك تكون الاستجابة الطبيعية عبارة عن e أس ناقص alpha t، مضروبة في مجموع جيب وجيب تمام. الجزء الجيبي يصنع الاهتزاز، و e أس ناقص alpha t يجعل القمم تصغر مع الزمن.

3. 3. مثال عددي على التخميد الناقص

   

   α=0.45 s⁻¹ وω₀=2.2 rad/s

   ω_d=√(2.2²−0.45²)≈2.1535 rad/s

   ثابت زمن الغلاف:

   $\displaystyle \frac{1}{\alpha }\approx 2.222 s$

   دورة الاهتزاز:

   $\displaystyle T_{d}=\frac{2\pi }{\omega _{d}}\approx 2.918 s$

   $\displaystyle x_{n}=e^{-0.45t}\left[B₁\cos \left(2.1535t\right)+B₂\sin \left(2.1535t\right)\right]$

   تحدد الشروط الابتدائية B₁ وB₂

   للغلاف المتناقص وتردد الاهتزاز دوران منفصلان

   نص الشرح الصوتي

   لنأخذ مثالا صغيرا. إذا كان alpha يساوي صفر فاصلة خمسة، و omega zero يساوي اثنين، فإن omega d يساوي تقريبا واحد فاصلة أربعة وتسعين. يمكن أن نرى الاستجابة على صورة جيب تمام يتناقص داخل غلافين: موجب e أس ناقص alpha t، وسالب e أس ناقص alpha t. كل قمة أصغر من التي قبلها، لأن المقاومة تسحب الطاقة من النظام.

4. 4. صيغة الاستجابة غير المخمدة

   

   الشرط:

   $\displaystyle \alpha =0$

   $\displaystyle s₁,₂=\pm j\omega ₀$

   يصبح الغلاف الأسّي e⁰=1

   $\displaystyle x_{n}=B₁\cos \left(\omega ₀t\right)+B₂\sin \left(\omega ₀t\right)$

   لا مقاومة ولا فقد للطاقة في الدائرة المثالية

   تنتقل الطاقة باستمرار بين L وC

   لا تتناقص السعة ويستمر الاهتزاز عند ω₀

   نص الشرح الصوتي

   الحالة غير المخمدة هي الحالة المثالية عندما يكون alpha مساويا للصفر. في دائرة إل سي مثالية لا توجد مقاومة تستهلك الطاقة. لذلك لا يوجد غلاف متناقص. الجذور تصبح على المحور التخيلي فقط: زائد أو ناقص j omega zero. والاستجابة تكون جيبا أو جيب تمام بتردد omega zero، وتستمر في التذبذب إلى ما لا نهاية في النموذج المثالي.

5. 5. مقارنة الطاقة وشكل الموجة

   

   التخميد الناقص:

   $\displaystyle 0<\alpha <\omega ₀$

   تحول R الطاقة المخزنة إلى حرارة

   الغلاف: ±Ke^−αt

   تردد الاهتزاز ω_d أصغر من ω₀

   بلا تخميد:

   $\displaystyle \alpha =0$

   لا فقد للطاقة والغلاف ثابت

   تردد الاهتزاز يساوي ω₀ تماما

   نص الشرح الصوتي

   المقارنة مهمة. في التخميد الناقص يوجد تذبذب، لكن سعته تتناقص شيئا فشيئا. في الحالة غير المخمدة يوجد تذبذب مستمر بالسعة نفسها. عمليا، كل دائرة حقيقية فيها مقاومة ما، لذلك الحالة غير المخمدة تقريب مثالي. لكنها مفيدة جدا لأنها تشرح تبادل الطاقة بين المكثف والملف.

6. 6. تلخيص الاستجابتين الناقصة وغير المخمدة

   

   تنتج الجذور العقدية استجابة اهتزازية

   الجزء الحقيقي −α ← سرعة تناقص الغلاف

   الجزء التخيلي ω_d ← سرعة الاهتزاز

   عندما تقترب α من الصفر تقترب ω_d من ω₀

   عند α=0 يختفي الغلاف المتناقص

   تحدد الشروط الابتدائية B₁ وB₂

   التالي: جمع الاستجابتين الطبيعية والمفروضة

   نص الشرح الصوتي

   الخلاصة: إذا كان alpha أصغر من omega zero فالاستجابة مخمدة ناقصة، والجذور مركبة، والمنحنى يهتز داخل غلاف أسي متناقص. إذا كان alpha يساوي صفر فنحصل على الحالة غير المخمدة، حيث يتبادل المكثف والملف الطاقة من دون فقد مثالي. بهذا اكتملت خريطة الحالات الأربع. في الدرس القادم ننتقل إلى فكرة الاستجابة الكاملة: الجزء القسري زائد الجزء الطبيعي.