#48 التحليل العابر #48 — التخميد الزائد والحرج في RLC المتوازية

تجد أدناه جميع الأسطر المكتوبة في الدفتر مع النص الكامل للشرح الصوتي.

1. 1. تمييز الحالتين غير الاهتزازيتين

   

   تحدد مقارنة α مع ω₀ جذور دائرة RLC المتوازية

   α>ω₀ ← تخميد زائد

   $\alpha=\omega₀ ← تخميد حرج$

   الجذور حقيقية في الحالتين

   تعود الاستجابة إلى الاتزان بلا اهتزاز

   الفرق في نمط الجذور وسرعة الاستقرار

   نص الشرح الصوتي

   من الدرس السابق نعرف أن الاستجابة الطبيعية لدائرة آر إل سي المتوازية تعتمد على المقارنة بين alpha و omega zero. اليوم نركز فقط على حالتين لا يظهر فيهما اهتزاز: التخميد الزائد، والتخميد الحرج. في الحالتين تعود الاستجابة إلى التوازن من دون رنين. الفرق بينهما ليس في وجود الاهتزاز، بل في شكل الجذور، وفي سرعة رجوع المنحنى إلى الصفر.

2. 2. صيغة الاستجابة ذات التخميد الزائد

   

   الشرط: α>ω₀

   $\Delta=\surd (\alpha²-\omega₀²) عدد حقيقي$

   $s₁=-\alpha+\Delta$

   $s₂=-\alpha-\Delta$

   الجذران مختلفان وحقيقيان وسالبان

   $x_{\mathrm{n}}(t)=A₁e^{s₁t}+A₂e^{s₂t}$

   لا اهتزاز؛ يوجد نمط أسّي سريع وآخر بطيء

   نص الشرح الصوتي

   نبدأ بحالة التخميد الزائد. شرطها أن alpha أكبر من omega zero. عندها تعطي المعادلة المميزة جذرين حقيقيين مختلفين: s one و s two. كلا الجذرين يقعان على المحور الحقيقي السالب، ولذلك تكون الاستجابة الطبيعية مجموع حدين أسيين متناقصين. لا يوجد جيب أو جيب تمام هنا؛ لا يوجد اهتزاز. نرى فقط مودا سريعا يختفي مبكرا، ومودا أبطأ يحدد ذيل الاستجابة.

3. 3. مثال عددي على التخميد الزائد

   

   α=5 s⁻¹ وω₀=3 rad/s

   $\Delta=\surd (25-9)=4$

   $s₁=-5+4=-1 s⁻¹$

   $s₂=-5-4=-9 s⁻¹$

   $x(t)=1.125e^{-t}-0.125e^{-9t}$

   $يتحقق الشرطان x(0)=1 وx′(0)=0$

   يتلاشى e^−9t سريعا ويبقى e^−t مهيمنا

   نص الشرح الصوتي

   لنأخذ مثالا عدديا صغيرا حتى يصبح الشكل واضحا. إذا كان alpha يساوي خمسة، و omega zero يساوي ثلاثة، فإن الجذرين هما ناقص واحد وناقص تسعة. يمكن كتابة استجابة مطبعة على صورة: واحد فاصلة واحد اثنان خمسة في e أس ناقص t، ناقص صفر فاصلة واحد اثنان خمسة في e أس ناقص تسعة t. الحد الثاني يختفي بسرعة كبيرة، وبعد البداية القصيرة يبقى الحد ذو الجذر ناقص واحد هو المسيطر. لهذا يبدو التخميد الزائد أحيانا بطيئا رغم وجود مود سريع.

4. 4. صيغة الاستجابة ذات التخميد الحرج

   

   الشرط: α=ω₀

   $s₁=s₂=-\alpha [جذر مكرر]$

   نحتاج حلا مستقلا ثانيا لإيجاد ثابتين

   $x_{\mathrm{n}}(t)=(A₁+A₂t)e^{-\alphat}$

   عامل t هو علامة الجذر المكرر

   أسرع عودة مثالية بلا اهتزاز

   نص الشرح الصوتي

   الآن ننتقل إلى التخميد الحرج. هنا الشرط هو أن alpha يساوي omega zero. في هذه اللحظة ينهار الجذران الحقيقيان إلى جذر واحد مكرر عند s يساوي ناقص alpha. الجذر المكرر يغير شكل الحل. لا يكفي أن نكتب A one في e أس s t فقط؛ نحتاج الصيغة: A one زائد A two t، مضروبة في e أس ناقص alpha t. عامل t الإضافي هو علامة الجذر المكرر.

5. 5. مثال عددي على التخميد الحرج

   

   $\alpha=\omega₀=4 s⁻¹$

   الجذر المكرر: s=−4

   $x(t)=(1+4t)e^{-4t}$

   $x(0)=1$

   $x′(t)=-16t e^{-4t}$

   $x′(0)=0$

   تهبط الاستجابة بسرعة إلى الصفر بلا تجاوز أو رنين

   نص الشرح الصوتي

   مثال سريع: اجعل alpha و omega zero يساويان أربعة. عندها الجذر المكرر هو ناقص أربعة. إحدى الاستجابات المطبعة الممكنة هي: واحد زائد أربعة t، مضروبة في e أس ناقص أربعة t. هذا المنحنى لا يهتز أيضا، لكنه يرجع إلى التوازن أسرع من حالة التخميد الزائد. المعنى العملي للتخميد الحرج هو: أسرع رجوع ممكن من دون تجاوز أو اهتزاز.

6. 6. مقارنة التخميد الزائد والحرج

   

   التخميد الزائد: α>ω₀

   جذران حقيقيان مختلفان ونمطان أسّيان

   قد يهيمن الجذر البطيء زمنا طويلا

   التخميد الحرج: α=ω₀

   جذر مكرر وصيغة (A₁+A₂t)e^−αt

   التخميد الحرج هو أسرع حد بلا اهتزاز

   التالي: التخميد الناقص والاستجابة غير المخمدة

   نص الشرح الصوتي

   الخلاصة: إذا كان alpha أكبر من omega zero فالدائرة في حالة تخميد زائد، والاستجابة هي مجموع مودين أسيين حقيقيين. إذا كان alpha مساويا ل omega zero فالدائرة في حالة تخميد حرج، والجذر المكرر يعطي الصيغة A one زائد A two t، مضروبة في e أس ناقص alpha t. كلاهما بلا اهتزاز، لكن التخميد الحرج يستقر أسرع. في الدرس القادم نكمل بالجهة المهتزة: التخميد الناقص والحالة غير المخمدة.