النظرية الكهرومغناطيسية · التيارات والموصلات

#13 ناقلية المواد وتيار الحمل وتيار التوصيل وقانون أوم النقطي والمقاومة وقدرة جول والموصل في الاتزان الكهروستاتيكي

ابن كثافة التيار من الحركة المجهرية، وحوّل قانون أوم من صيغة المجال إلى صيغة الدائرة، وحلل اتزان الموصل.

السؤال

لقطة درس تعرض كثافة التيار وقانون أوم واتزان الموصل ومثال السلك. — يتبع تيار التوصيل العلاقة J = σE، وينعدم المجال داخل الموصل في الاتزان الكهروستاتيكي.

صنّف المواد حسب الناقلية، وعرّف التيار وكثافة التيار، واربط J = σE بقانون أوم في الدوائر، واستنتج خصائص الموصل في الاتزان الكهروستاتيكي، ثم حل مثال السلك.

الحل المكتوب ونص الشرح(يعرض الحل كاملًا)

تجد أدناه جميع الأسطر المكتوبة في الدفتر مع النص الكامل للشرح الصوتي.

1. انتقل من طاقة المجال إلى التيار في المواد
يتبع تيار التوصيل العلاقة J = σE، وينعدم المجال داخل الموصل في الاتزان الكهروستاتيكي.
في الدرس السابق أنهينا دراسة ثنائي القطب الكهربائي والطاقة المخزنة في المجال الكهروستاتيكي.
رأينا أن W_E = ½∫D·E dv، وفي الفراغ w_E = ½ε₀E².
اليوم نبدأ الفصل الخامس: المجالات الكهربائية داخل المواد.
سنصنف المواد حسب الناقلية σ، ونعرّف كثافة تيار الحمل وكثافة تيار التوصيل، ثم نشتق الصورة النقطية لقانون أوم، وبعدها ندرس سلوك الموصلات في المجال الكهروستاتيكي.
نص الشرح الصوتي
في الدرس السابق أنهينا دراسة ثنائي القطب الكهربائي والطاقة المخزنة في المجال الكهروستاتيكي. رأينا أن طاقة المجال يمكن أن تكتب على صورة نصف تكامل D dot E داخل الحجم، وفي الفراغ تصبح كثافة الطاقة نصف epsilon zero E تربيع. اليوم نبدأ الفصل الخامس: المجالات الكهربائية داخل المواد. سنصنف المواد حسب الناقلية sigma، ونعرّف كثافة تيار الحمل وكثافة تيار التوصيل، ثم نشتق الصورة النقطية لقانون أوم، وبعدها ندرس سلوك الموصلات في المجال الكهروستاتيكي.
2. صنّف المواد حسب الناقلية
يتبع تيار التوصيل العلاقة J = σE، وينعدم المجال داخل الموصل في الاتزان الكهروستاتيكي.
حتى الآن تعاملنا غالبا مع المجال في الفراغ، أي دون وجود مادة.
لكن التطبيقات الهندسية الحقيقية تحتوي على موصلات وعوازل وأشباه موصلات.
خاصية التصنيف الأساسية هي الناقلية σ [S/m].
إذا كانت σ ≫ 1 فالمادة موصل؛ للنحاس σ ≈ 5.8×10⁷ S/m.
إذا كانت σ ≪ 1 فالمادة عازل؛ للزجاج σ ≈ 10⁻¹² S/m.
أما السيليكون والجرمانيوم فيقعان بين الحالتين، ولذلك نسميهما أشباه موصلات.
على المستوى الذري، الفرق الحقيقي هو عدد الإلكترونات الحرة المتاحة للتوصيل.
المعادن تملك عددا كبيرا من الإلكترونات الحرة في الأغلفة الخارجية، والعوازل تملك عددا قليلا جدا، أما أشباه الموصلات فيمكن التحكم في عدد الحاملات فيها بعملية التطعيم.
نص الشرح الصوتي
حتى الآن تعاملنا غالبا مع المجال في الفراغ، أي دون وجود مادة. لكن التطبيقات الهندسية الحقيقية تحتوي على موصلات وعوازل وأشباه موصلات. خاصية التصنيف الأساسية هي الناقلية sigma، وتقاس بوحدة سيمنز لكل متر. إذا كانت sigma كبيرة جدا مقارنة بالواحد، فالمادة موصل، مثل النحاس الذي ناقليته تقريبا خمسة فاصلة ثمانية في عشرة أس سبعة. وإذا كانت sigma صغيرة جدا، فالمادة عازل أو ديالكترك، مثل الزجاج الذي ناقليته تقريبا عشرة أس ناقص اثني عشر. أما السيليكون والجرمانيوم فيقعان بين الحالتين، ولذلك نسميهما أشباه موصلات. على المستوى الذري، الفرق الحقيقي هو عدد الإلكترونات الحرة المتاحة للتوصيل. المعادن تملك عددا كبيرا من الإلكترونات الحرة في الأغلفة الخارجية، والعوازل تملك عددا قليلا جدا، أما أشباه الموصلات فيمكن التحكم في عدد الحاملات فيها بعملية التطعيم.
3. عرّف تيار الحمل وتيار التوصيل
يتبع تيار التوصيل العلاقة J = σE، وينعدم المجال داخل الموصل في الاتزان الكهروستاتيكي.
قبل أن ندرس استجابة المادة للمجال الكهربائي، نحتاج إلى تعريف التيار بدقة.
التيار I = dQ/dt ووحدته الأمبير.
أما كثافة التيار J فهي متجه يصف التيار لكل وحدة مساحة.
التيار الكلي عبر S هو I = ∫ₛJ·dS.
نميز هنا بين نوعين من كثافة التيار.
النوع الأول هو تيار الحمل أو convection current.
هذا يحدث عندما تتحرك الشحنات في الفراغ، ولا نحتاج إلى موصل.
لتيار الحمل J = ρ_vu.
مثال ذلك حزمة إلكترونات داخل أنبوب مفرغ.
هذا النوع لا يتبع قانون أوم.
النوع الثاني هو تيار التوصيل داخل الموصلات.
عندما نطبق مجالا كهربائيا E، تنجرف الإلكترونات الحرة بسرعة وسطية متناسبة مع المجال.
القوة F = −eE، ولتيار التوصيل J = σE.
هذه هي الصورة النقطية لقانون أوم، لأنها تربط كثافة التيار عند نقطة بالمجال الكهربائي عند نفس النقطة.
نص الشرح الصوتي
قبل أن ندرس استجابة المادة للمجال الكهربائي، نحتاج إلى تعريف التيار بدقة. التيار I هو معدل مرور الشحنة عبر سطح: I يساوي d Q على d t، ووحدته الأمبير. أما كثافة التيار J فهي متجه يصف التيار لكل وحدة مساحة. والتيار الكلي عبر سطح S يساوي تكامل J dot d S. نميز هنا بين نوعين من كثافة التيار. النوع الأول هو تيار الحمل أو convection current. هذا يحدث عندما تتحرك الشحنات في الفراغ، ولا نحتاج إلى موصل. إذا تحركت كثافة شحنة حجمية rho v بسرعة u، فإن J يساوي rho v مضروبة في u. مثال ذلك حزمة إلكترونات داخل أنبوب مفرغ. هذا النوع لا يتبع قانون أوم. النوع الثاني هو تيار التوصيل داخل الموصلات. عندما نطبق مجالا كهربائيا E، تنجرف الإلكترونات الحرة بسرعة وسطية متناسبة مع المجال. القوة على الإلكترون تساوي سالب e مضروبة في E، وبموازنة الانجراف مع التصادمات نصل إلى النتيجة الأساسية: J يساوي sigma E. هذه هي الصورة النقطية لقانون أوم، لأنها تربط كثافة التيار عند نقطة بالمجال الكهربائي عند نفس النقطة.
4. استنتج المقاومة وقدرة جول
يتبع تيار التوصيل العلاقة J = σE، وينعدم المجال داخل الموصل في الاتزان الكهروستاتيكي.
الصورة النقطية لقانون أوم هي J = σE.
نربطها بصيغة الدائرة V = IR.
تخيل موصلا طوله ℓ، ومساحة مقطعه S، وناقليته σ، وعليه فرق جهد V بين الطرفين.
للموصل المنتظم E = V/ℓ و J = I/S.
بالتعويض I/S = σV/ℓ.
المقاومة R = V/I = ℓ/(σS).
بما أن ρ_c = 1/σ، فإن R = ρ_cℓ/S.
للمقطع غير المنتظم R = ∫E·dl / ∫σE·dS.
القدرة P = ∫E·J dv، وفي الموصل المنتظم P = VI = I²R.
هذه هي صيغة جول.
نص الشرح الصوتي
العلاقة J يساوي sigma E هي النسخة المجهرية من قانون أوم. الآن نربطها بالعلاقة المعروفة في الدوائر: V يساوي I R. تخيل موصلا طوله ell، ومساحة مقطعه S، وناقليته sigma، وعليه فرق جهد V بين الطرفين. إذا كان المجال منتظما فإن E يساوي V على ell، وكثافة التيار تساوي I على S. نعوض في J يساوي sigma E فنحصل على I على S يساوي sigma مضروبة في V على ell. بإعادة الترتيب نحصل على المقاومة: R يساوي V على I، ويساوي ell على sigma S. وبما أن المقاومية rho c تساوي واحد على sigma، يمكن أيضا كتابة R يساوي rho c ell على S. إذا كان المقطع غير منتظم نستعمل تعريفا أعم: المقاومة تساوي تكامل E dot d l مقسوما على تكامل sigma E dot d S. أما القدرة المتبددة فتأتي من تكامل E dot J داخل الحجم، وفي الموصل المنتظم تختزل إلى P يساوي V I ويساوي I تربيع R. هذه هي صيغة جول.
5. حلل الموصل في الاتزان الكهروستاتيكي
يتبع تيار التوصيل العلاقة J = σE، وينعدم المجال داخل الموصل في الاتزان الكهروستاتيكي.
الآن ندرس ماذا يحدث لموصل موضوع في مجال كهروستاتيكي.
خذ موصلا معزولا غير موصول بمصدر.
عند تطبيق مجال خارجي E_e، تعيد الشحنات الحرة داخل الموصل توزيع نفسها بسرعة كبيرة.
الشحنات الموجبة تتحرك في اتجاه المجال، والسالبة في عكسه، وهذا التوزيع يولد مجالا داخليا E_i يعاكس المجال الخارجي.
تصل المنظومة إلى الاتزان عندما يلغي المجال الداخلي المجال الخارجي، فيصبح المجال الكلي داخل الموصل صفرا.
ومن هنا نحصل على ثلاث نتائج أساسية في الحالة الساكنة.
في الاتزان الكهروستاتيكي E = 0 داخل الموصل.
بما أن E = −∇V = 0 فالموصل متساوي الجهد.
في الداخل D = 0 ولذلك ρ_v = 0.
أي شحنة زائدة يجب أن تكون على السطح.
نص الشرح الصوتي
الآن ندرس ماذا يحدث لموصل موضوع في مجال كهروستاتيكي. خذ موصلا معزولا غير موصول بمصدر. عند تطبيق مجال خارجي E e، تعيد الشحنات الحرة داخل الموصل توزيع نفسها بسرعة كبيرة. الشحنات الموجبة تتحرك في اتجاه المجال، والسالبة في عكسه، وهذا التوزيع يولد مجالا داخليا E i يعاكس المجال الخارجي. تصل المنظومة إلى الاتزان عندما يلغي المجال الداخلي المجال الخارجي، فيصبح المجال الكلي داخل الموصل صفرا. ومن هنا نحصل على ثلاث نتائج أساسية في الحالة الساكنة. أولا: المجال E داخل الموصل يساوي صفرا. ثانيا: بما أن E يساوي سالب تدرج V، فإن الجهد ثابت في كل نقاط الموصل؛ أي أن الموصل جسم متساوي الجهد. ثالثا: بما أن D يساوي صفرا في الداخل، فإن كثافة الشحنة الحجمية الصافية في الداخل تساوي صفرا. أي شحنة زائدة يجب أن تكون على السطح.
6. احسب التيار وسرعة الانجراف في سلك
يتبع تيار التوصيل العلاقة J = σE، وينعدم المجال داخل الموصل في الاتزان الكهروستاتيكي.
نحل الآن مثال ساديكو خمسة فاصلة ثلاثة.
لدينا سلك قطره واحد مليمتر، وناقليته خمسة في عشرة أس سبعة سيمنز لكل متر، وعدد الإلكترونات الحرة عشرة أس تسعة وعشرين في كل متر مكعب.
نطبق مجالا كهربائيا مقداره عشرة ملي فولت لكل متر.
المطلوب إيجاد كثافة الشحنة، وكثافة التيار، والتيار، وسرعة الانجراف.
كثافة الشحنة الحرة ρ_v تساوي n e، أي عشرة أس تسعة وعشرين مضروبة في سالب واحد فاصلة ستة في عشرة أس ناقص تسعة عشر.
$\displaystyle \rho _{v} = -1.6\times 10¹⁰ C/m³.$
J = σE = 5×10⁵ A/m² = 500 kA/m².
التيار I = JS.
S = πd²/4، ولذلك I ≈ 0.393 A.
مقدار سرعة الانجراف |u| = |J/ρ_v| = 3.125×10⁻⁵ m/s.
لاحظ أن سرعة الانجراف بطيئة جدا، حوالي ثلاثين ميكرومتر في الثانية، رغم أن التيار المحسوب ملحوظ.
نص الشرح الصوتي
نحل الآن مثال ساديكو خمسة فاصلة ثلاثة. لدينا سلك قطره واحد مليمتر، وناقليته خمسة في عشرة أس سبعة سيمنز لكل متر، وعدد الإلكترونات الحرة عشرة أس تسعة وعشرين في كل متر مكعب. نطبق مجالا كهربائيا مقداره عشرة ملي فولت لكل متر. المطلوب إيجاد كثافة الشحنة، وكثافة التيار، والتيار، وسرعة الانجراف. كثافة الشحنة الحرة rho v تساوي n e، أي عشرة أس تسعة وعشرين مضروبة في سالب واحد فاصلة ستة في عشرة أس ناقص تسعة عشر. إذن rho v تساوي سالب واحد فاصلة ستة في عشرة أس عشرة كولوم لكل متر مكعب. كثافة التيار J تساوي sigma E، أي خمسة في عشرة أس سبعة مضروبة في عشرة أس ناقص اثنين، فتساوي خمسة مئة كيلو أمبير لكل متر مربع. التيار I يساوي J مضروبة في S. مساحة المقطع هي pi d تربيع على أربعة، ولذلك نحصل تقريبا على صفر فاصلة ثلاثة تسعة ثلاثة أمبير. أخيرا سرعة الانجراف u تساوي J على rho v، ومقدارها ثلاثة فاصلة واحد اثنين خمسة في عشرة أس ناقص خمسة متر لكل ثانية. لاحظ أن سرعة الانجراف بطيئة جدا، حوالي ثلاثين ميكرومتر في الثانية، رغم أن التيار المحسوب ملحوظ.
7. راجع علاقات التيار والموصل
يتبع تيار التوصيل العلاقة J = σE، وينعدم المجال داخل الموصل في الاتزان الكهروستاتيكي.
نلخص نتائج هذا الدرس.
تصنف المواد حسب الناقلية σ: الموصلات لها σ كبيرة، والعوازل لها σ صغيرة، وأشباه الموصلات تقع في الوسط.
تيار الحمل J = ρ_vu ولا يحتاج إلى موصل.
تيار التوصيل J = σE.
للموصل المنتظم R = ℓ/(σS) وقدرة جول P = I²R.
داخل الموصل في الحالة الساكنة يكون المجال صفرا، والجهد ثابتا، وأي شحنة زائدة تكون على السطح.
في الدرس القادم ننتقل إلى الاستقطاب في العوازل، ونرى كيف تتغير صيغة قانون غاوس داخل المواد.
نص الشرح الصوتي
نلخص نتائج هذا الدرس. تصنف المواد حسب الناقلية sigma: الموصلات لها sigma كبيرة، والعوازل لها sigma صغيرة، وأشباه الموصلات تقع في الوسط. كثافة تيار الحمل هي J يساوي rho v u، ولا تحتاج إلى موصل. أما كثافة تيار التوصيل فتتبع قانون أوم النقطي: J يساوي sigma E. للموصل المنتظم المقاومة R تساوي ell على sigma S، والقدرة المتبددة تتبع قانون جول: P يساوي I تربيع R. داخل الموصل في الحالة الساكنة يكون المجال صفرا، والجهد ثابتا، وأي شحنة زائدة تكون على السطح. في الدرس القادم ننتقل إلى الاستقطاب في العوازل، ونرى كيف تتغير صيغة قانون غاوس داخل المواد.