Elektromanyetik Teori · Ampère Çevrim Yasası

#19 Ampère çevrim yasasının integral ve diferansiyel biçimleri, Ampère çevrimi seçimi ve sonsuz düz tel uygulaması

Simetriye uygun kapalı çevrimi seç, sonsuz tel alanını birkaç satırda bul ve Ampère yasasını nokta formuna dönüştür.

Soru

Ampère çevrimini, integral yasayı, sonsuz düz tel türetimini ve diferansiyel formu gösteren ders karesi. — Simetriye uyan kapalı bir çevrim, alan integralini kapsanan akıma bağlayarak çözümü kısaltır.

Ampère çevrim yasasını açıklayın; uygun çevrimi seçme adımlarını verin, sonsuz düz tel alanını türetin ve Stokes teoremiyle diferansiyel forma geçin.

Yazılı çözüm ve anlatım dökümü(çözümün tamamını gösterir)

Aşağıda defterde yazılan bütün satırlar ve bunlara eşlik eden sesli anlatımın tam metni bulunur.

1. Biot-Savart'tan Ampère kısayoluna geç
Simetriye uyan kapalı bir çevrim, alan integralini kapsanan akıma bağlayarak çözümü kısaltır.
Bir önceki videoda Biot-Savart yasasını çıkardık.
Her türlü akım dağılımı için çalışır, ama her bir akım elemanının katkısını integre etmemiz gerekir.
Bu iş can sıkıcı olabilir.
Bugün çok daha pratik bir araç göreceğiz: Ampère Çevrim Yasası.
Manyetostatikte, Gauss yasasının elektrostatik için üstlendiği rolün aynısını üstleniyor.
Geometri simetrikse, manyetik alanı birkaç satırda elinize teslim ediyor.
Sesli anlatım metni
Bir önceki videoda Biot-Savart yasasını çıkardık. Her türlü akım dağılımı için çalışır, ama her bir akım elemanının katkısını integre etmemiz gerekir. Bu iş can sıkıcı olabilir. Bugün çok daha pratik bir araç göreceğiz: Ampère Çevrim Yasası. Manyetostatikte, Gauss yasasının elektrostatik için üstlendiği rolün aynısını üstleniyor. Geometri simetrikse, manyetik alanı birkaç satırda elinize teslim ediyor.
2. Ampère çevrimini görselleştir
Simetriye uyan kapalı bir çevrim, alan integralini kapsanan akıma bağlayarak çözümü kısaltır.
Uzun, düz bir tel düşünün; içinden sabit bir I akımı geçiyor.
Manyetik alan çizgileri telin çevresinde mükemmel eş merkezli çemberler oluşturur.
Şimdi bu çemberlerden birini takip ederek telin etrafında yürüdüğünüzü hayal edin.
Bu yola Ampère çevrimi denir.
Ampère yasası, bu kapalı çevrim boyunca alanı, içinden geçen akımla birbirine bağlar.
Sesli anlatım metni
Uzun, düz bir tel düşünün; içinden sabit bir I akımı geçiyor. Manyetik alan çizgileri telin çevresinde mükemmel eş merkezli çemberler oluşturur. Şimdi bu çemberlerden birini takip ederek telin etrafında yürüdüğünüzü hayal edin. Bu yola Ampère çevrimi denir. Ampère yasası, bu kapalı çevrim boyunca alanı, içinden geçen akımla birbirine bağlar.
3. İntegral yasayı kur
Simetriye uyan kapalı bir çevrim, alan integralini kapsanan akıma bağlayarak çözümü kısaltır.
Yasa şöyle der.
H ile dl'nin nokta çarpımının, herhangi bir kapalı yol boyunca çevrim integrali, o yolun kapsadığı toplam akıma eşittir.
∮_C H·dl = I_enc.
Sol tarafta çevrimin etrafında bir tur atar, H'nin hareket yönümüz boyundaki bileşenini toplarız.
Sağ tarafta ise, çevrimin sınırlandırdığı yüzeyden ne kadar net akımın geçtiğini sayarız.
Yön uzlaşımı sağ el kuralına uyar: parmaklarınızı yol boyunca kıvırın, başparmak kapsanan akım için pozitif yönü gösterir.
Sesli anlatım metni
Yasa şöyle der. H ile d l'nin nokta çarpımının, herhangi bir kapalı yol boyunca çevrim integrali, o yolun kapsadığı toplam akıma eşittir. Denklem olarak: çevrim integrali H nokta d l, eşittir I kapsanan. Sol tarafta çevrimin etrafında bir tur atar, H'nin hareket yönümüz boyundaki bileşenini toplarız. Sağ tarafta ise, çevrimin sınırlandırdığı yüzeyden ne kadar net akımın geçtiğini sayarız. Yön uzlaşımı sağ el kuralına uyar: parmaklarınızı yol boyunca kıvırın, başparmak kapsanan akım için pozitif yönü gösterir.
4. Dört adımlı çözüm tarifini uygula
Simetriye uyan kapalı bir çevrim, alan integralini kapsanan akıma bağlayarak çözümü kısaltır.
Peki pratikte nasıl kullanılır?
Dört adım.
Birincisi, problemin simetrisini belirleyin.
Ampère yasası ancak, simetriden yararlanıp H'nin basit bir yol boyunca sabit büyüklükte olduğunu söyleyebiliyorsanız kolaydır.
İkincisi, simetriye uyan bir Ampère çevrimi seçin.
Sonsuz tel için telin etrafında bir çember idealdir.
Sonsuz yüzey akımı veya solenoid için dikdörtgen genellikle işe yarar.
Üçüncüsü, çizgi integralini hesaplayın.
H yol boyunca sabitse, integral sadece H çarpı yol uzunluğu olur.
Dördüncüsü, kapsanan akımı sayın ve H'yi çözün.
Hepsi bu.
Sesli anlatım metni
Peki pratikte nasıl kullanılır? Dört adım. Birincisi, problemin simetrisini belirleyin. Ampère yasası ancak, simetriden yararlanıp H'nin basit bir yol boyunca sabit büyüklükte olduğunu söyleyebiliyorsanız kolaydır. İkincisi, simetriye uyan bir Ampère çevrimi seçin. Sonsuz tel için telin etrafında bir çember idealdir. Sonsuz yüzey akımı veya solenoid için dikdörtgen genellikle işe yarar. Üçüncüsü, çizgi integralini hesaplayın. H yol boyunca sabitse, integral sadece H çarpı yol uzunluğu olur. Dördüncüsü, kapsanan akımı sayın ve H'yi çözün. Hepsi bu.
5. Sonsuz düz tel alanını türet
Simetriye uyan kapalı bir çevrim, alan integralini kapsanan akıma bağlayarak çözümü kısaltır.
Bunu sonsuz düz bir tele uygulayalım.
Simetriden H sadece telden olan ρ uzaklığına bağlı olabilir ve telin etrafını dolanan â_φ yönünde olmalıdır.
Ampère çevrimini seçelim: telin etrafında, ρ yarıçaplı bir çember.
Bu çember üzerinde H sabit büyüklüktedir ve her zaman dl'ye paraleldir.
∮H·dl = H(2πρ).
Kapsanan akım ise tel içindeki I akımıdır.
$\displaystyle H\left(2\pi \rho \right) = I.$
$\displaystyle H = I/\left(2\pi \rho \right) â_{\varphi }.$
Bunu geçen videoda Biot-Savart ile bulduğumuz sonuçla karşılaştırın: tam olarak aynı cevap, ama bu kez baştan sona integrasyon yerine sadece üç satırda.
Sesli anlatım metni
Bunu sonsuz düz bir tele uygulayalım. Simetriden H sadece telden olan ro uzaklığına bağlı olabilir ve telin etrafını dolanan a-şapka-fi yönünde olmalıdır. Ampère çevrimini seçelim: telin etrafında, ro yarıçaplı bir çember. Bu çember üzerinde H sabit büyüklüktedir ve her zaman d l'ye paraleldir. Dolayısıyla H nokta d l'nin çizgi integrali sadece H çarpı çevre, yani H çarpı 2 pi ro olur. Kapsanan akım ise tel içindeki I akımıdır. İki tarafı eşitleyelim: H çarpı 2 pi ro eşittir I. H için çözelim: H eşittir I bölü 2 pi ro, a-şapka-fi yönünde. Bunu geçen videoda Biot-Savart ile bulduğumuz sonuçla karşılaştırın: tam olarak aynı cevap, ama bu kez baştan sona integrasyon yerine sadece üç satırda.
6. Stokes teoremiyle nokta formuna geç
Simetriye uyan kapalı bir çevrim, alan integralini kapsanan akıma bağlayarak çözümü kısaltır.
Ampère yasasının bir de diferansiyel formu vardır.
Stokes teoremi: ∮_C H·dl = ∫_S(∇×H)·dS.
Kapsanan akım I_enc = ∫_S J·dS.
Bu her yüzey için geçerli olduğundan, integral altındaki ifadeler eşit olmak zorundadır.
Magnetostatik nokta formu:
$\displaystyle ∇\times H = J.$
Bu, dört Maxwell denkleminden biridir — Ampère yasasının sabit akımlar için nokta formu.
Bize akımın aktığı her noktada, manyetik alanın bir kurl'u olduğunu söyler.
Sesli anlatım metni
Ampère yasasının bir de diferansiyel formu vardır. Sol tarafa Stokes teoremini uygulayın: H nokta d l'nin çevrim integrali, kurl H nokta d S'nin yüzey integraline dönüşür. Sağ tarafta kapsanan akım, akım yoğunluğu J nokta d S'nin yüzey integralidir. Bu her yüzey için geçerli olduğundan, integral altındaki ifadeler eşit olmak zorundadır. Sonuç: kurl H eşittir J. Bu, dört Maxwell denkleminden biridir — Ampère yasasının sabit akımlar için nokta formu. Bize akımın aktığı her noktada, manyetik alanın bir kurl'u olduğunu söyler.
7. Ampère yasasını özetle
Simetriye uyan kapalı bir çevrim, alan integralini kapsanan akıma bağlayarak çözümü kısaltır.
Özet: Ampère çevrim yasası, herhangi bir çevrim etrafında H'nin çizgi integralinin, kapsanan akıma eşit olduğunu söyler.
Magnetostatik diferansiyel form:
$\displaystyle ∇\times H = J.$
Probleminizde silindirik, düzlemsel veya solenoid simetrisi varsa, Ampère yasası manyetik alana giden en hızlı yoldur.
Bir sonraki videoda bu yasayı dört klasik geometriye uygulayacağız: sonsuz tel, eş eksenli kablo, sonsuz akım yüzeyi ve solenoid.
Sesli anlatım metni
Özet: Ampère çevrim yasası, herhangi bir çevrim etrafında H'nin çizgi integralinin, kapsanan akıma eşit olduğunu söyler. Diferansiyel formda, kurl H eşittir J. Probleminizde silindirik, düzlemsel veya solenoid simetrisi varsa, Ampère yasası manyetik alana giden en hızlı yoldur. Bir sonraki videoda bu yasayı dört klasik geometriye uygulayacağız: sonsuz tel, eş eksenli kablo, sonsuz akım yüzeyi ve solenoid.