#20 Ampère çevrim yasasının sonsuz akım yüzeyi, eş eksenli kablo ve uzun solenoid geometrilerine uygulanması

Aşağıda defterde yazılan bütün satırlar ve bunlara eşlik eden sesli anlatımın tam metni bulunur.

1. 1. Ampère yasasının dört adımını hatırla

   

   Bir önceki videoda Ampère çevrim yasasını tanıttık: herhangi bir çevrim etrafında H'nin kapalı çizgi integrali, kapsanan akıma eşittir.

   Dört adımlı tarif basitti: simetriyi bul, Ampère çevrimini seç, integrali hesapla, kapsanan akımı say ve çöz.

   Bugün bu tarifi üç klasik geometriye uygulayacağız: sonsuz akım yüzeyi, eş eksenli kablo ve solenoid.

   Sesli anlatım metni

   Bir önceki videoda Ampère çevrim yasasını tanıttık: herhangi bir çevrim etrafında H'nin kapalı çizgi integrali, kapsanan akıma eşittir. Dört adımlı tarif basitti: simetriyi bul, Ampère çevrimini seç, integrali hesapla, kapsanan akımı say ve çöz. Bugün bu tarifi üç klasik geometriye uygulayacağız: sonsuz akım yüzeyi, eş eksenli kablo ve solenoid.

2. 2. Sonsuz akım yüzeyinin alanını bul

   

   Önce, x-y düzleminde yatan sonsuz bir akım yüzeyi.

   Bu yüzey, amper bölü metre birimli K yüzey akım yoğunluğunu x yönünde taşısın.

   Simetriden dolayı H, yüzeye paralel olmalı, K'ya dik olmalı ve yüzeyin üstünde bir yön, altında ters yön almalıdır.

   Ampère çevrimi için, yüzeyi kesen bir dikdörtgen seçelim; y yönünde L uzunluğunda olsun.

   Üst ve alt kenarlarda H nokta dl toplanır; dikey kenarlarda H, dl'ye dik olduğundan katkı sıfırdır.

   ∮H·dl = 2HL.

   Kapsanan akım: I_enc = KL.

   2HL = KL.

   $\displaystyle H = K/2.$

   Alan, yüzeyin her iki tarafında sabit büyüklüktedir ve yüzeyi geçerken yön değiştirir.

   Sesli anlatım metni

   Önce, x-y düzleminde yatan sonsuz bir akım yüzeyi. Bu yüzey, amper bölü metre birimli K yüzey akım yoğunluğunu x yönünde taşısın. Simetriden dolayı H, yüzeye paralel olmalı, K'ya dik olmalı ve yüzeyin üstünde bir yön, altında ters yön almalıdır. Ampère çevrimi için, yüzeyi kesen bir dikdörtgen seçelim; y yönünde L uzunluğunda olsun. Üst ve alt kenarlarda H nokta d l toplanır; dikey kenarlarda H, d l'ye dik olduğundan katkı sıfırdır. Toplam çizgi integrali 2 H çarpı L olur. Kapsanan akım, çevrimin yakaladığı yüzey şeridinden geçer, yani K çarpı L'dir. Eşitleyelim: 2 H L eşittir K L. Çözelim: H eşittir K bölü 2. Alan, yüzeyin her iki tarafında sabit büyüklüktedir ve yüzeyi geçerken yön değiştirir.

3. 3. Eş eksenli kablonun üç bölgesini ayır

   

   Sıradaki: eş eksenli kablo.

   Kesitini düşünün: a yarıçaplı dolu bir iç iletken, sayfadan çıkan I akımını taşıyor; b yarıçaplı ince bir dış kılıf ise aynı I akımını sayfaya doğru geri taşıyor.

   Her radyal ρ uzaklığında H'yi bulmak istiyoruz.

   Üç bölge var: iç iletkenin içi, iki iletken arası ve dış kılıfın dışı.

   Her bölgede aynı çembersel Ampère çevrimini kullanıyoruz ama kapsanan akım farklı oluyor.

   Sesli anlatım metni

   Sıradaki: eş eksenli kablo. Kesitini düşünün: a yarıçaplı dolu bir iç iletken, sayfadan çıkan I akımını taşıyor; b yarıçaplı ince bir dış kılıf ise aynı I akımını sayfaya doğru geri taşıyor. Her radyal ro uzaklığında H'yi bulmak istiyoruz. Üç bölge var: iç iletkenin içi, iki iletken arası ve dış kılıfın dışı. Her bölgede aynı çembersel Ampère çevrimini kullanıyoruz ama kapsanan akım farklı oluyor.

4. 4. Üç bölgede H alanını türet

   

   Birinci bölge: ρ, a'dan küçük — iç iletkenin içi.

   Simetriden dolayı ρ yarıçaplı bir çembersel çevrim seçiyoruz.

   İç iletkende akımın düzgün dağıldığı varsayımıyla I_enc = Iρ²/a².

   $\displaystyle H\left(2\pi \rho \right) = I\rho ²/a².$

   $\displaystyle H = I\rho /\left(2\pi a²\right).$

   Alan, merkezde sıfırdan, iletken yüzeyindeki I bölü 2 π a değerine lineer olarak büyür.

   İkinci bölge: a, ρ'dan küçük ve ρ, b'den küçük — iki iletken arası dielektrik.

   Ampère çevrimi iç iletkenin tamamını kapsar, dış kılıftan henüz hiçbir şey kapsamaz.

   $\displaystyle H = I/\left(2\pi \rho \right).$

   Beklendiği gibi, sonsuz tel sonucunun ta kendisi.

   Üçüncü bölge: ρ, b'den büyük — kılıfın dışı.

   Şimdi çevrim iç iletkenden artı I'yı ve kılıftan eksi I'yı kapsar.

   I_enc = I - I = 0, dolayısıyla H = 0.

   İşte bu yüzden eş eksenli kablolar manyetik alan sızdırmaz — düşük gürültülü sinyal iletimi için kritik bir özellik.

   Sesli anlatım metni

   Birinci bölge: ro, a'dan küçük — iç iletkenin içi. Simetriden dolayı ro yarıçaplı bir çembersel çevrim seçiyoruz. Kapsanan akım, tüm I değil; çevrimin kesit alanından geçen kesir: I çarpı ro kare bölü a kare. Yani H çarpı 2 pi ro eşittir I ro kare bölü a kare. Çözdüğümüzde H eşittir I ro bölü 2 pi a kare. Alan, merkezde sıfırdan, iletken yüzeyindeki I bölü 2 pi a değerine lineer olarak büyür. İkinci bölge: a, ro'dan küçük ve ro, b'den küçük — iki iletken arası dielektrik. Ampère çevrimi iç iletkenin tamamını kapsar, dış kılıftan henüz hiçbir şey kapsamaz. Dolayısıyla H eşittir I bölü 2 pi ro. Beklendiği gibi, sonsuz tel sonucunun ta kendisi. Üçüncü bölge: ro, b'den büyük — kılıfın dışı. Şimdi çevrim iç iletkenden artı I'yı ve kılıftan eksi I'yı kapsar. Tam olarak birbirini götürürler, kapsanan akım sıfırdır; dolayısıyla H da sıfırdır. İşte bu yüzden eş eksenli kablolar manyetik alan sızdırmaz — düşük gürültülü sinyal iletimi için kritik bir özellik.

5. 5. Uzun solenoid alanını hesapla

   

   Son olarak solenoid: uzun bir silindir, birim uzunluk başına n sarım ve her sarım I akımını taşıyor.

   İçeride alan düzgün ve eksene paraleldir; dışarıda yaklaşık olarak sıfırdır.

   Dikdörtgen Ampère çevriminin L uzunluğundaki bir kenarını solenoidin içine, karşı kenarını dışına yerleştirin.

   Dışarıdaki kenar sıfır katkı verir.

   Dik iki kenar da sıfırdır, çünkü orada H, dl'ye diktir.

   Yalnız iç kenar katkı verir: ∮H·dl = HL.

   Kapsanan akım, çevrimden geçen sarımların toplam akımıdır: n çarpı L sarım, her biri I taşıyor.

   Toplam kapsanan akım: I_enc = nLI.

   HL = nLI, dolayısıyla H = nI.

   Basit ve güçlü — solenoid, manyetik açıdan paralel plaka kondansatörün eşdeğeri: içeride neredeyse düzgün alan, dışarıda neredeyse yok.

   Sesli anlatım metni

   Son olarak solenoid: uzun bir silindir, birim uzunluk başına n sarım ve her sarım I akımını taşıyor. İçeride alan düzgün ve eksene paraleldir; dışarıda yaklaşık olarak sıfırdır. Bir dikenli kenarı L uzunluğunda solenoidin içinden, karşı kenarı dışından geçen bir dikdörtgen Ampère çevrimi seçiyoruz. Dışarıdaki kenar sıfır katkı verir. Dik iki kenar da sıfırdır, çünkü orada H, d l'ye diktir. Sadece içerideki kenar sayılır, onun katkısı H çarpı L'dir. Kapsanan akım, çevrimden geçen sarımların toplam akımıdır: n çarpı L sarım, her biri I taşıyor. Toplam kapsanan akım, n L çarpı I. H L eşittir n L I dediğimizde, H eşittir n I bulunur. Basit ve güçlü — solenoid, manyetik açıdan paralel plaka kondansatörün eşdeğeri: içeride neredeyse düzgün alan, dışarıda neredeyse yok.

6. 6. Dört klasik Ampère sonucunu özetle

   

   Dört klasik sonucu toplayalım.

   Sonsuz tel:

   $\displaystyle H = I/\left(2\pi \rho \right).$

   Sonsuz akım yüzeyi:

   $\displaystyle H = K/2.$

   Eş eksenli kablo: a < ρ < b için H = I/(2πρ); ρ > b için H = 0.

   Uzun solenoidin içinde H = nI.

   Her birini Ampère yasasıyla birkaç satırda çözdük — Biot-Savart ile hiçbiri kolay olmazdı.

   Sonraki konu: manyetik akı yoğunluğu B, B = μ₀H ve manyetostatik Maxwell denklemleri.

   Sesli anlatım metni

   Dört klasik sonucu toplayalım. Sonsuz tel için H eşittir I bölü 2 pi ro. Sonsuz yüzey için H eşittir K bölü 2. Eş eksenli kablonun içinde iletkenler arasında H eşittir I bölü 2 pi ro; kılıfın dışında H sıfırdır. Solenoid içinde H eşittir n I. Her birini Ampère yasasıyla birkaç satırda çözdük — Biot-Savart ile hiçbiri kolay olmazdı. Bir sonraki videoda manyetik akı yoğunluğu B'ye, B eşittir mü sıfır H ilişkisine ve manyetostatik için Maxwell denklemlerine geçiyoruz.

Kaynak video: Elektromanyetik Teori (v2) #20 | Ampère Yasası Uygulamaları (4:47)