#37 عناصر تخزين الطاقة #37 — أساسيات المكثف والمحث

تجد أدناه جميع الأسطر المكتوبة في الدفتر مع النص الكامل للشرح الصوتي.

1. 1. بنية المكثف

   

   المكثف يخزن الطاقة في المجال الكهربائي

   لوحان موصلان وعازل بينهما

   q=Cv

   $C=q/v$

   الوحدة: فاراد F

   قيم عملية: µF و nF و pF

   تقيس C الشحنة المخزنة لكل فولت

   نص الشرح الصوتي

   في هذا الدرس نبدأ مجموعة جديدة من عناصر الدائرة. قبل ذلك تعاملنا غالبا مع المقاومات، ومع الأوب أمب في الدروس الأخيرة. الآن ندخل إلى عنصرين يخزنان الطاقة: المكثف، والملف أو المحث. نبدأ بالمكثف. تخيله لوحين موصلين بينهما عازل. عندما نضع جهدا بين اللوحين، تتجمع شحنة على اللوحين. العلاقة الأساسية بسيطة جدا: الشحنة q تساوي السعة C مضروبة في الجهد V. إذن السعة تقيس قدرة المكثف على تخزين الشحنة عند جهد معين. وحدة السعة هي الفاراد، لكن في الدوائر العملية نرى غالبا ميكرو فاراد، نانو فاراد، أو بيكو فاراد.

2. 2. علاقة جهد وتيار المكثف

   

   نشتق q=Cv بالنسبة للزمن

   dq/dt=i

   i=C·dv/dt

   جهد ثابت ⇒ dv/dt=0 ⇒ i=0

   $v(t)=v(t_{0})+(1/C)\int i(\tau)\mathrm{d}\tau$

   التيار يراكم جهد المكثف مع الزمن

   نفترض اتفاقية الإشارة السالبة

   نص الشرح الصوتي

   الآن نريد علاقة التيار والجهد في المكثف. لا نحفظها فقط، بل نراها من العلاقة السابقة. لدينا q يساوي C في V. إذا أخذنا المشتقة بالنسبة للزمن، يصبح d q على d t هو التيار i. وإذا كانت C ثابتة، نحصل على i يساوي C مضروبة في d V على d t. المعنى مهم جدا: التيار في المكثف يظهر عندما يتغير الجهد. إذا كان الجهد ثابتا، فالمشتقة صفر، وبالتالي التيار صفر. وبالعكس، إذا مر تيار في المكثف، فإن الجهد يتراكم مع الزمن حسب تكامل التيار.

3. 3. الطاقة في المكثف

   

   قدرة المكثف وطاقته

   p=vi=vC·dv/dt

   w=∫pdt=C∫v·dv

   w_C=½Cv²

   $C=10 µF ,\quad v=5 V$

   $w=½(10\times 10^{-6})(25)$

   $w=125 µJ$

   نص الشرح الصوتي

   بعد ذلك نحسب الطاقة المخزنة. القدرة اللحظية هي p يساوي V مضروبة في i. وبما أن i يساوي C d V على d t، تصبح القدرة V في C d V على d t. عندما نكامل القدرة مع الزمن نحصل على الطاقة: W يساوي نصف C V تربيع. لاحظ أن الطاقة لا تعتمد على الطريق الذي وصلنا به إلى هذا الجهد، بل على قيمة الجهد النهائية. فيزيائيا، هذه الطاقة مخزنة في المجال الكهربائي بين لوحي المكثف. مثلا، مكثف قيمته عشرة ميكرو فاراد مشحون إلى خمسة فولت يخزن مئة وخمسة وعشرين ميكرو جول.

4. 4. سلوك DC والاستمرارية

   

   المكثف في حالة DC المستقرة

   dv/dt=0 ⇒ i=0

   المكثف المثالي دائرة مفتوحة

   لا يمكن للجهد أن يقفز لحظيا

   $v_{\mathrm{C}}(0^{-})=v_{\mathrm{C}}(0^{+})$

   القفزة تحتاج إلى تيار لا نهائي

   قاعدة الاستمرارية أساس تحليل التبديل

   نص الشرح الصوتي

   هناك قاعدتان سنستخدمهما كثيرا. القاعدة الأولى: في الحالة المستقرة للتيار المستمر، الجهد لا يتغير، لذلك d V على d t يساوي صفرا، والتيار يساوي صفرا. لذلك يتصرف المكثف كدائرة مفتوحة عند D C. القاعدة الثانية أهم: جهد المكثف لا يستطيع أن يقفز لحظيا. نقول V عند صفر ناقص يساوي V عند صفر زائد. لماذا؟ لأن تغيير الجهد لحظيا يحتاج إلى تيار لا نهائي، وهذا غير ممكن في الدائرة الحقيقية. هذه هي قاعدة الاستمرارية للمكثف.

5. 5. بنية المحث

   

   المحث يخزن الطاقة في المجال المغناطيسي

   البنية الأساسية: ملف من سلك موصل

   ربط الفيض φ=Li

   L: الحث

   الوحدة: هنري H

   قيم عملية: mH و µH

   المحث المثالي قصر في حالة DC المستقرة

   نص الشرح الصوتي

   العنصر الثاني هو الملف، ويسمى أيضا المحث. شكله الأساسي ملف من سلك. عندما يمر تيار في الملف، يتكون مجال مغناطيسي حوله، وتخزن الطاقة في هذا المجال. العلاقة الأساسية هنا تشبه المكثف ولكن مع التيار بدل الجهد: ربط الفيض المغناطيسي phi يساوي L مضروبة في I. حيث L هي الحث، ووحدتها هنري. في الدوائر العملية نرى كثيرا ميلي هنري أو ميكرو هنري. ومن المهم أن نعرف أن ممانعة الملف تزداد مع التردد، أما عند D C المثالي فيتصرف كقصر.

6. 6. علاقات المحث وطاقته

   

   قانون فاراد والعلاقة φ=Li

   v=dφ/dt=L·di/dt

   تيار ثابت ⇒ di/dt=0 ⇒ v=0

   $i(t)=i(t_{0})+(1/L)\int v(\tau)\mathrm{d}\tau$

   w_L=½Li²

   $L=0.1 H ,\quad i=2 A$

   $w=½(0.1)(2²)=0.2 J$

   نص الشرح الصوتي

   لنكتب علاقة الجهد والتيار في الملف. من قانون فاراد، الجهد على الملف يرتبط بمعدل تغير الفيض. وبما أن phi يساوي L في I، فإن V يساوي L مضروبة في d I على d t. إذن الجهد على الملف يظهر عندما يتغير التيار. إذا كان التيار ثابتا، فالجهد على الملف المثالي صفر. الطاقة أيضا تأتي من القدرة p يساوي V في I. بالتكامل نحصل على W يساوي نصف L I تربيع. إذن المكثف يخزن الطاقة بحسب الجهد، أما الملف فيخزنها بحسب التيار.

7. 7. الثنائية بين المكثف والمحث

   

   المكثف والمحث عنصران متقابلان

   v ↔ i

   C ↔ L

   i=C·dv/dt ↔ v=L·di/dt

   ½Cv² ↔ ½Li²

   v_C مستمر ↔ i_L مستمر

   DC: المكثف مفتوح ↔ المحث قصر

   نص الشرح الصوتي

   الآن نضع العنصرين بجانب بعضهما. المكثف: i يساوي C d V على d t، والطاقة نصف C V تربيع، والكمية التي لا تقفز هي الجهد. الملف: V يساوي L d I على d t، والطاقة نصف L I تربيع، والكمية التي لا تقفز هي التيار. عند D C، المكثف يصبح دائرة مفتوحة، والملف يصبح قصرا. هذه ليست مصادفة؛ هناك نوع من الثنائية بينهما. إذا بدلت الجهد بالتيار، وبدلت C ب L، تنتقل أغلب الأفكار من عنصر إلى الآخر.

8. 8. الخلاصة وقواعد التحليل

   

   ملخص عناصر تخزين الطاقة

   المكثف يولد تيارا عند تغير الجهد

   المحث يولد جهدا عند تغير التيار

   w_C=½Cv²

   w_L=½Li²

   متغيرا الحالة: v_C و i_L

   الاستمرارية ومكافئ DC بداية التحليل العابر

   نص الشرح الصوتي

   الخلاصة: المكثف والملف ليسا مجرد رموز جديدة في الدائرة. هما عنصران يضيفان الذاكرة والزمن إلى التحليل. المكثف يقاوم التغير المفاجئ في الجهد، والملف يقاوم التغير المفاجئ في التيار. لذلك ستظهر معنا المعادلات التفاضلية، والاستجابة الطبيعية، والاستجابة للخطوة. في الدروس القادمة سنستخدم هذه القواعد لبناء تحليل دوائر R C و R L خطوة بخطوة، من البداية حتى شكل الموجة النهائي.