#48 Geçici Analiz #48 — Aşırı ve kritik sönümlü paralel RLC

Aşağıda defterde yazılan bütün satırlar ve bunlara eşlik eden sesli anlatımın tam metni bulunur.

1. 1. Salınımsız iki durumu ayır

   

   Paralel RLC köklerini α ve ω₀ karşılaştırması seçer

   α>ω₀ → aşırı sönümlü

   α=ω₀ → kritik sönümlü

   Her iki durumda da kökler gerçektir

   Cevap dengeye salınım yapmadan döner

   Fark: kök yapısı ve yerleşme hızı

   Sesli anlatım metni

   Önceki dersten şunu biliyoruz: paralel RLC doğal cevabını alfa ile omega sıfır arasındaki ilişki belirler. Bugün yalnızca salınımsız iki duruma odaklanıyoruz: overdamped ve critically damped. Her iki durumda da cevap dengeye çınlama yapmadan döner. Fark, kök yapısında ve sistemin ne kadar hızlı yerleştiğindedir.

2. 2. Aşırı sönümlü çözüm biçimi

   

   Koşul:

   $\displaystyle \alpha >\omega ₀$

   Δ=√(α²−ω₀²) gerçektir

   $\displaystyle s₁=-\alpha +\Delta$

   $\displaystyle s₂=-\alpha -\Delta$

   İki kök de farklı, gerçek ve negatiftir

   $\displaystyle x_{n}\left(t\right)=A₁e^{s₁t}+A₂e^{s₂t}$

   Salınım yok; hızlı ve yavaş iki üstel mod vardır

   Sesli anlatım metni

   Önce overdamped durumu ele alalım. Burada alfa, omega sıfırdan büyüktür. Karakteristik denklem bu durumda iki farklı gerçek kök verir. Yani s bir ve s iki, reel eksen üzerinde iki ayrı negatif değerdir. Bu yüzden doğal cevap, iki azalan üssel terimin toplamı olur. Salınım oluşmaz. Dalga şekli düzgün biçimde dengeye döner; fakat biri hızlı, biri daha yavaş iki mod birlikte bulunduğu için dönüş kritik sönüme göre daha yavaştır.

3. 3. Aşırı sönümlü sayısal örnek

   

   α=5 s⁻¹, ω₀=3 rad/s

   $\displaystyle \Delta =\sqrt{25-9}=4$

   $\displaystyle s₁=-5+4=-1 s⁻¹$

   $\displaystyle s₂=-5-4=-9 s⁻¹$

   $\displaystyle x\left(t\right)=1,125e^{-t}-0,125e^{-9t}$

   x(0)=1 ve x′(0)=0 kontrolleri geçer

   e^−9t hızla söner; e^−t baskın kalır

   Sesli anlatım metni

   Kısa bir örnek olarak alfa beş, omega sıfır üç olsun. Bu durumda kökler eksi bir ve eksi dokuz çıkar. Normalize edilmiş bir cevap, bir nokta bir iki beş e üzeri eksi t eksi sıfır nokta bir iki beş e üzeri eksi dokuz t biçiminde yazılabilir. E üzeri eksi dokuz t terimi çok hızlı söner. İlk anlardan sonra cevabın şeklini esas olarak yavaş mod belirler. İşte overdamped cevabın ağır görünmesinin nedeni budur.

4. 4. Kritik sönümlü çözüm biçimi

   

   Koşul:

   $\displaystyle \alpha =\omega ₀$

   s₁=s₂=−α [çift kök]

   İki bağımsız sabit için ikinci bir çözüm gerekir

   $\displaystyle x_{n}\left(t\right)=\left(A₁+A₂t\right)e^{-\alpha t}$

   t çarpanı çift kökün imzasıdır

   Salınımsız en hızlı ideal dönüş

   Sesli anlatım metni

   Şimdi kritik sönüm durumuna geçelim. Burada alfa, omega sıfıra eşittir. Bu kez iki gerçek kök tek bir tekrarli kökte birleşir. Kök eksi alfadadır. Tekrarlı kök olduğu için çözüm biçimi değişir. Cevap yalnızca A bir çarpı e üzeri s t değildir. Bunun yerine parantez içinde A bir artı A iki t, çarpı e üzeri eksi alfa t formunu kullanırız. İşte t çarpanı, kritik sönümün ayırt edici imzasıdır.

5. 5. Kritik sönümlü sayısal örnek

   

   $\displaystyle \alpha =\omega ₀=4 s⁻¹$

   Çift kök:

   $\displaystyle s=-4$

   $\displaystyle x\left(t\right)=\left(1+4t\right)e^{-4t}$

   $\displaystyle x\left(0\right)=1$

   $\displaystyle x′\left(t\right)=-16t e^{-4t}$

   $\displaystyle x′\left(0\right)=0$

   Aşım ve salınım olmadan hızlıca sıfıra iner

   Sesli anlatım metni

   Örnek olarak alfa ve omega sıfır değerleri dörde eşit olsun. Normalize edilmiş başlangıç koşulları için geçerli bir cevap, parantez içinde bir artı dört t, çarpı e üzeri eksi dört t olur. Bu eğri de salınım yapmaz; fakat overdamped duruma göre dengeye daha hızlı döner. Kritik sönümün pratik anlamı tam olarak budur: aşım ya da salınım üretmeden, mümkün olan en hızlı geri dönüşü verir.

6. 6. Aşırı ve kritik sönümü karşılaştır

   

   Aşırı sönüm:

   $\displaystyle \alpha >\omega ₀$

   İki farklı gerçek kök ve iki üstel mod

   Yavaş kök uzun süre baskın kalabilir

   Kritik sönüm:

   $\displaystyle \alpha =\omega ₀$

   Çift kök ve (A₁+A₂t)e^−αt

   Kritik sönüm, salınımsız en hızlı dönüş sınırıdır

   Sıradaki: eksik sönüm ve sönümsüz cevap

   Sesli anlatım metni

   Özetleyelim. Alfa, omega sıfırdan büyükse devre overdamped olur ve doğal cevap iki gerçek üssel modun toplamıdır. Alfa, omega sıfıra eşitse devre critically damped olur ve tekrarlı kök nedeniyle çözüm, parantez içinde A bir artı A iki t, çarpı e üzeri eksi alfa t biçimine dönüşür. Her iki durum da salınımsızdır; ancak kritik sönüm daha hızlı yerleşir. Bir sonraki derste salınımlı durumlara, yani underdamped ve undamped cevaba geçeceğiz.