#14 Bağımlı kaynaklarla düğüm ve süper düğüm analizi

Aşağıda defterde yazılan bütün satırlar ve bunlara eşlik eden sesli anlatımın tam metni bulunur.

1. 1. Bağımlı kaynak kuralı

   

   Bağımlı kaynak: değeri başka bir devre değişkenine bağlı

   KCL değişmez; yalnız kontrol ilişkisi eklenir

   İki örnek: düğüm analizi + bağımlı kaynaklı süper düğüm

   Sesli anlatım metni

   Önceki derslerde bağımsız gerilim kaynaklarıyla süper düğüm yöntemini kullandık. Bu derste düğüm analizi aynı kalıyor, ancak kaynaklardan biri başka bir devre değişkenine bağlı. Kirchhoff akım yasasının yapısı değişmez. Eklenen tek adım, bağımlı kaynağın değerini kontrol eden gerilim veya akım cinsinden yazmaktır. Birinci örnekte süper düğüm oluşturmayan bağımlı bir akım kaynağı var. İkinci örnekte ise bağımlı gerilim kaynağı içeren genişletilmiş bir süper düğüm çözeceğiz.

2. 2. Örnek 1 — devreyi oku

   

   $V_{\mathrm{x}}=V_{1}-V_{2}$

   Sağ düğüm: −30 V

   Aranan: V_x

   Sesli anlatım metni

   Birinci örneği okuyalım. Ortadaki düğümü referans seçiyoruz. Soldaki düğüm gerilimine V bir, üstteki düğüm gerilimine V iki diyoruz. Üstteki bir ohmluk direnç üzerinde kontrol gerilimi V x, solda artı ve sağda eksi yönünde tanımlıdır; bu nedenle V x eşittir V bir eksi V ikidir. Sol düğüm, bir ohmluk dirence, referansa giden yarım ohmluk dirence ve referans yönünde akan 3 V x değerli bağımlı akım kaynağına bağlıdır. Üst düğüme referanstan altı amperlik kaynak girer. Sağdaki otuz voltluk kaynağın artı ucu referans tarafında olduğundan sağ düğüm eksi otuz volttur. Aradığımız V x'tir.

3. 3. Örnek 1 — düğüm denklemleri

   

   $3V_{1}-V_{2}+3V_{\mathrm{x}}=0$

   $-V_{1}+7V_{2}=-114$

   $V_{\mathrm{x}}=V_{1}-V_{2}$

   Sesli anlatım metni

   Önce sol düğüm için KCL yazalım. Çıkan akımlar; bir ohmluk koldan V bir eksi V iki, yarım ohmluk koldan 2 V bir ve bağımlı kaynaktan 3 V x'tir. Böylece V bir eksi V iki artı 2 V bir artı 3 V x eşittir sıfır; yani 3 V bir eksi V iki artı 3 V x eşittir sıfır olur. Üst düğümde çıkan akımlar V iki eksi V bir, 2 V iki ve çeyrek ohmluk koldan 4 çarpı V iki artı otuzdur. Altı amperlik kaynak düğüme girdiği için çıkan akımlar denkleminde eksi altıdır. Sadeleştirme sonunda eksi V bir artı 7 V iki eşittir eksi yüz on dört bulunur. Kontrol ilişkimiz de V x eşittir V bir eksi V ikidir.

4. 4. Örnek 1 — sonuç ve kontrol

   

   $3V_{1}-2V_{2}=0$

   $V_{1}=-12 V, V_{2}=-18 V$

   $V_{\mathrm{x}}=6 V, 3V_{\mathrm{x}}=18 A$

   Sesli anlatım metni

   Kontrol ilişkisini ilk denkleme yerleştirelim. 3 V bir eksi V iki artı 3 çarpı V bir eksi V iki eşittir sıfırdır. Buradan 6 V bir eksi 4 V iki eşittir sıfır ve sade biçimde 3 V bir eksi 2 V iki eşittir sıfır elde edilir. Bu denklem ile eksi V bir artı 7 V iki eşittir eksi yüz on dört birlikte çözüldüğünde V iki eksi on sekiz volt, V bir eksi on iki volt olur. Sonuç olarak V x eşittir V bir eksi V iki, yani artı altı volttur. Bağımlı akım kaynağı da 3 çarpı 6, yani on sekiz amperdir. Her iki KCL denkleminde yerine koyunca artık sıfır çıkar.

5. 5. Örnek 2 — süper düğüm ve yönler

   

   $V_{\mathrm{A}}-V_{\mathrm{B}}=6$

   $V_{\mathrm{C}}-V_{\mathrm{B}}=4i_{1}, i_{1}=-V$

   6 A kaynağı V_T'den süper düğüme akar

   Sesli anlatım metni

   İkinci örnekte alt iletken referanstır. Soldaki bir ohmluk direnç üzerindeki V gerilimi, V A düğüm gerilimidir. Alt iletkende sola doğru tanımlanan i bir akımı dirençte yukarı doğru aktığı için i bir eşittir eksi V olur. V A ile V B arasında, artı ucu V A tarafında olan altı voltluk kaynak vardır. V B ile V C arasında ise eksi ucu V B, artı ucu V C tarafında olan 4 i bir değerli bağımlı gerilim kaynağı bulunur. Bu iki kaynak V A, V B ve V C düğümlerini tek bir genişletilmiş süper düğüm yapar. Üstteki altı amperlik kaynak V T düğümünden sola, süper düğüme doğru akar. Aradığımız V ve sağ üstteki bir ohmluk direnç gerilimi V birdir.

6. 6. Örnek 2 — kısıtlar ve KCL

   

   $V_{\mathrm{T}}/2+V_{1}+6=0$

   $V+V_{\mathrm{B}}/4-2.5V_{1}-6=0$

   $V_{\mathrm{B}}=V-6, V_{1}=V-2$

   Sesli anlatım metni

   Önce kaynak kısıtlarını yazalım. Altı voltluk kaynaktan V A eksi V B eşittir 6 çıkar. Bağımlı kaynaktan V C eksi V B eşittir 4 i bir; i bir eşittir eksi V olduğundan V C eksi V B eşittir eksi 4 V olur. Üstteki V T düğümü için çıkan akımlar KCL'si V T bölü 2, artı V T eksi V C, artı 6 eşittir sıfırdır. V bir eşittir V T eksi V C olduğundan bu denklem V T bölü 2 artı V bir artı 6 eşittir sıfır olur. Süper düğüm sınırında ise V artı V B bölü 4 eksi 2,5 V bir eksi 6 eşittir sıfırdır. Kaynak kısıtlarından V B eşittir V eksi 6; üst düğüm ilişkilerinden de V bir eşittir V eksi 2 elde edilir.

7. 7. Örnek 2 — sonuç ve kontrol

   

   $-5V-10=0$

   $V=-2 V, V_{1}=-4 V$

   $V_{\mathrm{B}}=-8 V, V_{\mathrm{C}}=0 V$

   Sesli anlatım metni

   Şimdi V B eşittir V eksi 6 ve V bir eşittir V eksi 2 ifadelerini süper düğüm denklemine yerleştirelim. V artı V eksi 6 bölü 4, eksi 2,5 çarpı V eksi 2, eksi 6 eşittir sıfır olur. Dört ile çarpıp açtığımızda 4 V artı V eksi 6, eksi 10 V artı 20, eksi 24 eşittir sıfır; yani eksi 5 V eksi 10 eşittir sıfır bulunur. Buradan V eksi iki volttur. V bir eşittir V eksi 2 olduğundan V bir eksi dört volttur. İç düğümler de V B eşittir eksi sekiz volt ve V C eşittir sıfır volttur. Kontrol için 1,5 V bir eksi altı amperdir; bağımlı kaynak gerçekte altı amper aşağı doğru akar ve iki KCL denklemi de sağlanır.

8. 8. Yöntem özeti

   

   1) KCL veya süper düğüm KCL'sini yaz

   2) Kontrol ilişkisini ve kaynak kısıtlarını ekle

   3) İşaretleri doğrula; denklem sistemini çöz

   Sesli anlatım metni

   Bağımlı kaynaklar düğüm analizinin temel yöntemini değiştirmez. Önce referans düğümü seçin ve normal düğüm KCL'sini veya süper düğüm sınır KCL'sini her zamanki gibi yazın. Sonra her bağımlı kaynak için kontrol ilişkisini ekleyin. Birinci örnekte bu ilişki V x eşittir V bir eksi V iki idi. İkinci örnekte i bir eşittir eksi V bağıntısı, bağımlı gerilim kaynağının kısıtına girdi. Süper düğümde yalnız sınırı geçen akımları sayın; sınır içindeki gerilim kaynaklarını KCL'ye katmayın, onlar için ayrı kısıt denklemleri yazın. Son olarak bütün yön ve polariteleri sonuçlarda yeniden kontrol edin.

Kaynak video: Kaynak kompozisyon: Devre Teorisi #14 — Bağımlı kaynaklarla düğüm ve süper düğüm analizi (7:52)