#22 مرشح RLC المتسلسل وقراءة المركز والقطع وعرض النطاق والطور وعامل الجودة Q

تجد أدناه جميع الأسطر المكتوبة في الدفتر مع النص الكامل للشرح الصوتي.

1. 1. من المرشحات إلى النطاق المار

   

   في الدرس السابق قارنا مرشحي RC منخفض التمرير وعالي التمرير.

   الأول يحتفظ بالترددات المنخفضة نسبيا، والثاني بالترددات العالية نسبيا؛ الانتقال تدريجي لا حاد.

   نريد الآن الاحتفاظ بمجال وسط من الترددات وإضعاف ما دونه وما فوقه.

   هذا هو مرشح النطاق المار، أو Band-pass؛ لا يمرر ترددا واحدا فقط.

   ندرس مثالا من مقاومة R وملف L ومكثف C متسلسلة؛ الرنين بين L وC يحدد مركزه.

   نص الشرح الصوتي

   في الدرس السابق رأينا المرشح منخفض التمرير والمرشح عالي التمرير. واحد منهما يحافظ على الترددات المنخفضة، والآخر يحافظ على الترددات العالية. الآن نريد شيئا ثالثا: نريد أن نحافظ على منطقة في الوسط فقط. هذا هو المرشح النطاقي أو الباند باس. والفكرة الأساسية التي تجعله ممكنا هي الرنين بين الملف والمكثف.

2. 2. فكرة النطاق المار

   

   نقرأ المركز وحافتي القطع وعرض النطاق؛ المرجع بطاقة مفاهيم بدل الرسم ذي تدريج الكسب غير الصحيح.

   في هذا المثال المثالي يكون كسب جهد R أكبر ما يمكن عند تردد الرنين؛ نرمز للمركز بالهرتز f₀.

   حافتا القطع هما موضعا الهبوط بنحو 3.0103 ديسيبل نسبة إلى القمة، لا نسبة إلى مرجع اعتباطي.

   عرض النطاق هو فرق الترددين، وكلاهما بالهرتز:

   $\displaystyle \Delta f=f_{2}-f_{1}$

   للمقارنة بين مراكز مختلفة نستخدم العرض النسبي؛ الانتقائية أعلى كلما صغرت نسبة عرض النطاق إلى المركز.

   نص الشرح الصوتي

   لكي نقرأ مرشحا نطاقيا، نحتاج إلى ثلاث نقاط واضحة. أولا، تردد المركز، وهو التردد الذي تكون عنده الاستجابة أكبر ما يمكن. ثانيا، ترددا القطع على الطرفين، حيث تنخفض الاستجابة إلى مستوى ناقص ثلاثة ديسيبل. وثالثا، عرض النطاق، وهو المسافة بين هذين الترددين. إذا كان عرض النطاق صغيرا فالمرشح انتقائي، وإذا كان كبيرا فهو أوسع وأكثر تسامحا.

3. 3. دائرة RLC متسلسلة

   

   دائرة RLC متسلسلة، والخرج فرق الجهد على R باتجاه هبوط التيار؛ نستبدل الرسم ذي مؤشر الخرج على الأرضي.

   عند تردد موجب منخفض جدا تكبر مفاعلة المكثف بالأوم فيصغر التيار:

   $\displaystyle X_{C}=\frac{1}{\omega C}$

   عند تردد عال جدا تكبر مفاعلة الملف بالأوم فيصغر التيار:

   $\displaystyle X_{L}=\omega L$

   قرب تعادل المفاعلتين تصغر قيمة الممانعة الكلية؛ صيغة الممانعة بالأوم:

   $\displaystyle Z=R+j\left(X_{L}-X_{C}\right)$

   نأخذ نسبة جهد R إلى جهد المصدر المثالي، بلا حمل إضافي:

   $\displaystyle H\left(j\omega \right)=\frac{R}{R+j\left(X_{L}-X_{C}\right)}$

   نص الشرح الصوتي

   أبسط مثال سلبي هو دائرة آر إل سي على التوالي، ونأخذ الخرج على المقاومة. عند التردد المنخفض جدا، المكثف يعوق مرور التيار. وعند التردد العالي جدا، الملف يعوق التغير السريع في التيار. أما في المنطقة الوسطى، فيمكن أن يكبر التيار، ولذلك يكبر الجهد على المقاومة. هذه المنطقة هي نطاق المرور.

4. 4. الرنين

   

   الرنين يعني تساوي مقداري المفاعلتين، لا تساوي الممانعتين المركبتين بإشارتيهما:

   $\displaystyle X_{L}=X_{C}$

   من تساوي المفاعلتين نحصل على تردد المركز الزاوي بالراديان/ثانية:

   $\displaystyle \omega _{0}=\frac{1}{\sqrt{L C}}$

   عند المركز تلغي المفاعلتان إحداهما الأخرى تماما في النموذج المثالي؛ لا يختفي تخزين الطاقة:

   $\displaystyle Z\left(j\omega _{0}\right)=R$

   لجهد دخل ثابت تبلغ سعة التيار قيمتها العظمى ويصبح جهد R مساويا للدخل وفي طوره:

   $\displaystyle H\left(j\omega _{0}\right)=1$

   نص الشرح الصوتي

   الرنين يحدث عندما تتساوى ممانعة الملف وممانعة المكثف في المقدار. عند هذا التردد، أوميجا صفر تساوي واحدا على الجذر التربيعي لـ إل سي. في دائرة التوالي، الجزء الحثي والجزء السعوي يلغي أحدهما الآخر، فتبقى الدائرة كأنها مقاومة تقريبا. لذلك يصبح التيار كبيرا ويظهر الخرج الأكبر على المقاومة.

5. 5. منحنى الكسب

   

   المقدار صغير عند طرفي التردد وأكبره عند الرنين؛ المرجع بطاقة الخلاصة بدل منحنى ذي قطع خاطئ.

   القمة ليست إنتاج طاقة من لا شيء؛ قدرة R تأتي من المصدر، وL وC المثاليان يتبادلان تخزين الطاقة.

   مقسم الجهد يعطي هذا المقدار، وهو لا يتجاوز الواحد في هذا المثال:

   $\displaystyle |H\left(j\omega \right)|=\frac{R}{\sqrt{R^{2}+\left(X_{L}-X_{C}\right)^{2}}}$

   لا تكفي قيمة القمة لوصف المرشح؛ نقرأ الحافتين وعرض النطاق والانخفاض التدريجي على جانبيه.

   نص الشرح الصوتي

   على منحنى الكسب، تبدأ استجابة المرشح النطاقي صغيرة عند الترددات المنخفضة، ثم ترتفع قرب الرنين، ثم تنخفض مرة أخرى عند الترددات العالية. هذه القمة لا تعني أن الدائرة السلبية تضيف طاقة من لا شيء. هي نتيجة لتقسيم الجهد عندما تصبح الممانعة مناسبة أكثر عند الرنين. لذلك لا ننظر إلى القمة فقط، بل ننظر أيضا إلى سرعة هبوط الاستجابة على الجانبين.

6. 6. عرض النطاق

   

   نرمز لحافتي نصف القدرة الزاويتين بالراديان/ثانية؛ الترتيب مهم:

   $\displaystyle \omega _{1}<\omega _{0}<\omega _{2}$

   عند كل حافة تصبح نسبة الجهد إلى القمة واحدا على جذر اثنين؛ القدرة في R نصف قيمتها عند القمة:

   $\displaystyle |H\left(j\omega _{1}\right)|=|H\left(j\omega _{2}\right)|=\frac{1}{\sqrt{2}}$

   في دائرة RLC المتسلسلة المثالية يساوي العرض الزاوي فرق الحافتين ونسبة R إلى L:

   $\displaystyle \Delta \omega =\omega _{2}-\omega _{1}=\frac{R}{L}$

   عند استخدام الهرتز نقسم العرض الزاوي على اثنين π؛ لا نخلط الوحدتين:

   $\displaystyle \Delta f=f_{2}-f_{1}=\frac{\Delta \omega }{2\pi }$

   نص الشرح الصوتي

   ترددا ناقص ثلاثة ديسيبل نسميهما أوميجا واحد وأوميجا اثنين. عند هاتين النقطتين، تكون قيمة الكسب قد نزلت إلى قيمة القمة مقسومة على جذر اثنين. عرض النطاق الزاوي يساوي أوميجا اثنين ناقص أوميجا واحد. وإذا كنا نستخدم الهرتز، نقول إن عرض النطاق يساوي إف اثنين ناقص إف واحد.

7. 7. عامل الجودة

   

   عامل الجودة Q عدد بلا وحدة يصف الانتقائية النسبية، لا جودة كل جانب من الدائرة.

   يجب أن يستخدم البسط والمقام الوحدة نفسها؛ تعريف Q لهذا المثال:

   $\displaystyle Q=\left(\frac{\omega _{0}}{\Delta \omega }\right)=\frac{f_{0}}{\Delta f}$

   عند تثبيت المركز يعني Q الأكبر نطاقا أضيق؛ لا تقارن عرضين مطلقين عند مركزين مختلفين بهذه العبارة وحدها.

   وعند المركز نفسه يعني Q الأصغر استجابة أوسع حول الرنين.

   نعوض العرض الزاوي R/L في التعريف فنحصل على:

   $\displaystyle Q=\frac{\omega _{0} L}{R}$

   نص الشرح الصوتي

   عامل الجودة كيو يقيس مدى انتقائية المرشح. تعريفه البسيط هو تردد المركز مقسوما على عرض النطاق. إذن كيو كبير يعني استجابة ضيقة وانتقائية حول المركز. وكيو صغير يعني استجابة أوسع. في دائرة آر إل سي على التوالي، يمكن أيضا كتابته كيو يساوي أوميجا صفر إل على آر.

8. 8. الطور والطاقة

   

   نميز بين طور ممانعة الدائرة وطور جهد الخرج على R بالنسبة إلى المصدر.

   تحت الرنين تكون الممانعة الصافية سعوية؛ لذلك يتقدم تيار السلسلة وجهد R على جهد المصدر.

   فوق الرنين تكون الممانعة الصافية حثية؛ لذلك يتأخر تيار السلسلة وجهد R عن المصدر.

   عند المركز يكون جهد R في طور المصدر تماما في النموذج المثالي؛ للتردد الموجب وarctan بالراديان:

   $\displaystyle \varphi \left(\omega \right)=-\arctan \left(\frac{X_{L}-X_{C}}{R}\right)$

   عند الرنين تتبادل L وC الطاقة، ومع ذلك يساوي الجزء التخيلي الصافي للممانعة صفرا؛ هذا لا يجعل التيار غير محدود لأن R موجبة.

   نص الشرح الصوتي

   الطور يعطينا طريقة أخرى لفهم نفس الدائرة. تحت الرنين تتصرف الدائرة كأنها سعوية أكثر. وفوق الرنين تتصرف كأنها حثية أكثر. أما عند الرنين، فالجزآن الحثي والسعوي يتعادلان، ويصبح جهد المقاومة في الطور نفسه تقريبا مع المصدر. الطاقة ما زالت تتحرك بين الملف والمكثف، لكن الممانعة التفاعلية الصافية عند المركز تصبح صفرا.

9. 9. مثال التصميم

   

   المعطيات بعد تحويل الوحدات إلى هنري وفاراد وأوم؛ 10 ملي هنري و100 نانو فاراد و100 أوم:

   $\displaystyle L=0.01,\; C=10^{-7},\; R=100$

   نحسب المركز بالهرتز من L وC؛ الناتج نحو 5.03 كيلو هرتز:

   $\displaystyle f_{0}=\frac{1}{2\pi \sqrt{0.01\times 10^{-7}}}\approx 5032.92$

   من المركز الزاوي نحسب Q، ثم العرض بالهرتز نحو 1.59 كيلو هرتز:

   $\displaystyle Q=\left(\frac{2\pi \times 5032.92\times 0.01}{100}\right)\approx 3.16,\; \Delta f=\frac{100}{2\pi \times 0.01}\approx 1591.55$

   في هذا النموذج يحدد L وC المركز تماما، وتغيير R وحدها يغير العرض وQ؛ لا نعمم ذلك على جميع التوصيلات والأحمال.

   نص الشرح الصوتي

   لنأخذ مثالا عدديا سريعا. إذا كان إل يساوي عشرة ملي هنري، وسي يساوي مئة نانو فاراد، فإن تردد المركز يكون تقريبا خمسة فاصلة صفر ثلاثة كيلو هرتز. وإذا كانت المقاومة مئة أوم، يصبح كيو تقريبا ثلاثة فاصلة واحد ستة، ويكون عرض النطاق تقريبا واحدا فاصلة خمسة تسعة كيلو هرتز. لاحظ أن إل وسي يحددان المركز غالبا، أما تغيير آر فهو طريقة مباشرة لتوسيع أو تضييق النطاق.

10. 10. مصائد شائعة

    

    ثلاثة تنبيهات قبل نقل المعادلات إلى دائرة حقيقية.

    المركز ليس عرض النطاق؛ الأول موضع القمة والثاني فرق ترددي القطع.

    المركز هندسي بين الحافتين في هذا النموذج، وليس متوسطهما الحسابي؛ بالهرتز:

    $\displaystyle f_{0}=\sqrt{f_{1} f_{2}}$

    Q الكبير ليس أفضل دائما؛ الاختيار تابع للنطاق الذي تحتاجه الإشارة.

    قد يرفض النطاق الضيق ترددات مفيدة؛ لذلك نوازن الانتقاء مع عرض طيف الإشارة المطلوب.

    مقاومة الملف وفقد المكثف والمصدر والحمل تغير الاستجابة؛ نعيد الحساب بالمقاومات الفعلية ولا نستعمل R وحدها عميانا.

    نص الشرح الصوتي

    انتبه إلى ثلاث أخطاء شائعة. الأول: تردد الرنين ليس هو عرض النطاق. تردد الرنين يحدد مكان القمة، أما عرض النطاق فيحدد مدى اتساع المنطقة المفيدة. الثاني: كيو الكبير ليس دائما أفضل. هو جيد للانتقاء، لكنه قد يكون سيئا إذا أردنا نطاقا واسعا. الثالث: العناصر الحقيقية ليست مثالية، فمقاومة الملف وفقد المكثف والحمل المتصل كلها تغير كيو الفعال.

11. 11. الخلاصة

    

    مرشح النطاق المار يحتفظ بمجال وسط ويضعف الطرفين تدريجيا؛ لا يصنع جدار قطع مثاليا.

    المركز الزاوي بالراديان/ثانية، والمركز بالهرتز؛ نقطتا نصف القدرة تحددان العرض:

    $\displaystyle \omega _{0}=\left(\frac{1}{\sqrt{L C}}\right),\; f_{0}=\frac{\omega _{0}}{2\pi }$

    عامل الجودة نسبة المركز إلى عرض النطاق بوحدات متوافقة:

    $\displaystyle Q=\frac{f_{0}}{\Delta f}$

    التالي هو مرشح إيقاف النطاق والنوتش السلبي؛ نستخدم فرع LC بطريقة مختلفة لنرفض الوسط بدلا من تمريره.

    نص الشرح الصوتي

    الخلاصة: المرشح النطاقي يحافظ على منطقة وسطى من الترددات ويضعف الطرفين. في دائرة آر إل سي على التوالي، يحدث الرنين عند واحد على جذر إل سي، وترددات ناقص ثلاثة ديسيبل تحدد عرض النطاق. وعامل الجودة كيو يساوي تردد المركز مقسوما على عرض النطاق. في الدرس التالي نستخدم الأفكار نفسها لفهم مرشح إيقاف النطاق ومقارنته بالمرشحات السلبية.

الفيديو المصدر: نظرية الدوائر 2 #22 - المرشح النطاقي والرنين وعامل الجودة Q (5:21)