#25 Basamak yanıtını okuma — K, T ve τ belirleme

Aşağıda defterde yazılan bütün satırlar ve bunlara eşlik eden sesli anlatımın tam metni bulunur.

1. 1. Problem

   Verilenler:

   $\displaystyle G\left(s\right) =\frac{ K}{1+Ts}\cdot e^{-\tau s}$

   u(t) = 2σ(t) → giriş genliği = 2

   Aranan:

   $\displaystyle K = ? T = ? \tau = ?$

   Sesli anlatım metni

   İşte problemimiz. Üç bilinmeyen parametreli bir sistemimiz var. Kazanç K, zaman sabiti T olan birinci derece gecikme ve zaman gecikmesi tau. Transfer fonksiyonu G s eşittir K bölü bir artı T s, çarpı e üzeri eksi tau s. Genliği iki olan bir basamak girişi uyguluyoruz, u t eşittir iki sigma t. Çıkış kaydedildi ve bu grafikte gösterilmektedir. Görevimiz: ölçümden K, T ve tau değerlerini belirlemek.

2. 2. Parametreler ne yapar

   Her parametre neyi belirler:

   K → statik kazanç: y_∞ = (giriş) · K

   T → zaman sabiti: küçük T hızlı, büyük T yavaş

   τ → ölü zaman: τ saniye boyunca çıkış hiç kıpırdamaz

   Sesli anlatım metni

   Grafiği okumadan önce her parametrenin ne yaptığını anlayalım. K statik kazançtır. Girişi iki birim artırdığınızı düşünün. Kalıcı durumda çıkış iki çarpı K olur. Yani K, çıkışın ne kadar büyütüldüğünü doğrudan söyler. T zaman sabitidir. Çıkışın ne kadar hızlı yükseldiğini kontrol eder. Küçük T hızlı demektir, büyük T yavaş demektir. Bunu bir küvet doldurmak gibi düşünün: büyük küvetin dolması daha uzun sürer. Ve tau zaman gecikmesidir. Ölü zamandır. Sistem tau saniye boyunca hiçbir şey yapmaz, sonra tepki vermeye başlar. Sıcak su musluğunu açtığınızda olduğu gibi: ılık su gelmeden önce bir gecikme vardır.

3. 3. K

   1) Kalıcı durumdan K:

   grafikten:

   $\displaystyle y_{\infty } = 4$

   y_∞ = (giriş) · K → 4 = 2 · K

   $\displaystyle K = 2$

   Sesli anlatım metni

   K ile başlayalım. Grafiğe bakın. Uzun bir süre sonra çıkış sabit bir değere oturur. Bu kalıcı durumdur. Grafikten çıkışın dörde oturduğunu görüyoruz. Girişimiz genliği iki olan bir basamaktı. Birinci derece gecikme için kalıcı durum eşittir giriş çarpı K. Yani iki çarpı K eşittir dört. Bu bize K eşittir iki verir.

4. 4. τ

   2) Ölü zamandan τ:

   çıkış t = 0 … 1 s arasında tam sıfır

   eğri t = 1 s'de kalkmaya başlıyor

   $\displaystyle \tau = 1 s$

   Sesli anlatım metni

   Sırada zaman gecikmesi tau. Grafiğin en başına bakın. Çıkış tam olarak sıfırda kalıyor. Hiç hareket etmiyor. Bu düz bölge gecikmedir. Sistem henüz tepki vermeye başlamamıştır. Grafikten bu sıfır bölgesinin zaman eşittir bir saniyeye kadar sürdüğünü görüyoruz. O anda eğri yükselmeye başlar. Yani tau eşittir bir saniye.

5. 5. Teğet neden çalışır

   3) Teğet yönteminin dayanağı:

   başlangıç eğimi = y_∞ / T

   τ'dan bu eğimle çıkan doğru, y_∞'a T saniyede varır

   ⇒ teğet, y_∞ çizgisini t = τ + T'de keser

   Sesli anlatım metni

   Şimdi T'yi bulmamız gerekiyor. Teğet çizgi yöntemini kullanacağız. Ama önce bu neden işliyor? Birinci derece gecikme için basamak yanıtı üstel bir eğri izleyerek yükselir. Yükselişin en başında eğri en diktir. Bu en dik eğim boyunca düz bir çizgi çizerseniz, zaman sabitini ölçen bir cetvel gibi davranır. Matematiksel olarak başlangıç eğimi kalıcı durum değerinin T'ye bölümüne eşittir. Yani bu eğimle tau'dan başlayan düz bir çizgi, kalıcı durum seviyesine tam olarak T saniye sonra ulaşır. İşte bu yüzden teğet çizgisi kalıcı duruma T artı tau zamanında ulaşır.

6. 6. T

   

   4) Teğeti çizip okuyalım:

   teğet y_∞ = 4 çizgisini t = 3 s'de kesiyor

   τ + T = 3 ve τ = 1

   $\displaystyle T = 3 - 1 = 2 s$

   Sesli anlatım metni

   Bunu uygulayalım. Zaman eşittir tau, yani bir saniyede yanıt yükselmeye başlar. O noktada bir teğet çizgisi çiziyoruz. Bu teğet çizgisini yukarı takip ettiğimizde, dördün kalıcı durum değerine zaman eşittir üç saniyede ulaşır. Yani T artı tau eşittir üç. tau'nun bir olduğunu zaten biliyoruz. Dolayısıyla T eşittir üç eksi bir eşittir iki saniye.

7. 7. Cevap

   5) Parametreleri yerine koyalım:

   $\displaystyle K = 2, \tau = 1 s, T = 2 s$

   $\displaystyle G\left(s\right) =\frac{ 2}{1+2s}\cdot e^{-s}$

   Sesli anlatım metni

   Artık üç parametremizin hepsine sahibiz. K eşittir iki, tau eşittir bir saniye ve T eşittir iki saniye. Bunları transfer fonksiyonuna yerleştiriyoruz: G s eşittir iki bölü bir artı iki s, çarpı e üzeri eksi s. Bu, kazancı iki, zaman sabiti iki saniye ve bir saniye gecikmeli birinci derece bir gecikmedir.

8. 8. Yöntem özeti

   Her birinci derece basamak yanıtı için:

   ① y_∞ / (giriş genliği) = K

   ② çıkışın sıfırdan ayrıldığı an = τ

   ③ teğetin y_∞'a değdiği an − τ = T

   Sesli anlatım metni

   Herhangi bir birinci derece basamak yanıtını okumak için üç adımlı yöntemi gözden geçirelim. Birinci adım: kalıcı durum değerini okuyun ve giriş genliğine bölün. Bu K'yı verir. İkinci adım: çıkışın ilk kez sıfırdan ayrıldığı yeri bulun. Bu zaman gecikme tau'dur. Üçüncü adım: yükselişin başında bir teğet çizin. Kalıcı duruma ulaştığı yer T artı tau'yu verir. tau'yu çıkararak T'yi bulun. Üç basit okuma ve transfer fonksiyonunun tamamına sahip olursunuz.

Kaynak video: Kontrol Teorisi #25 — Basamak Cevabı Grafiği Okuma (Çözümlü Örnek) (4:01)