Kontrol Teorisi · Basamak Yanıtları

#12 Heaviside birim basamağıyla integratör, birinci derece gecikme ve saf zaman gecikmesi bloklarının sıfır başlangıç koşullarındaki yanıtları

Birim basamak yanıtını Laplas alanında hesaplayın; integratör, birinci derece gecikme ve zaman gecikmesi örneklerini karşılaştırın.

Soru

Heaviside basamağı, integratör rampası, birinci derece üstel yanıtlar, kararlılık ve zaman gecikmesini gösteren ders karesi. — Sıfır başlangıç koşullarında birim basamak için Y(s)=G(s)/s; yanıt biçimi transfer bloğuna ve zaman sabitine bağlıdır.

U(s)=1/s birim basamak girişi için Y(s)=G(s)/s kuralını kurun. İntegratör, G(s)=K/(1+sT) birinci derece gecikme ve G(s)=e^(−Δs) zaman gecikmesinin basamak yanıtlarını türetin; T'nin yanıt hızı ve kararlılık üzerindeki etkisini açıklayın.

Yazılı çözüm ve anlatım dökümü(çözümün tamamını gösterir)

Aşağıda defterde yazılan bütün satırlar ve bunlara eşlik eden sesli anlatımın tam metni bulunur.

1. Basamak yanıtı dersinin hedefini kur
Sıfır başlangıç koşullarında birim basamak için Y(s)=G(s)/s; yanıt biçimi transfer bloğuna ve zaman sabitine bağlıdır.
On ikinci derse hoş geldiniz.
Geçen ders impuls yanıtı ve konvolüsyonu öğrenmiştik.
Bugün basamak yanıtını inceleyeceğiz.
Bu, sistem davranışını analiz etmek için en önemli araçlardan biridir.
İntegratör, birinci derece gecikme ve zaman gecikmesi için basamak yanıtlarını hesaplayacağız.
Sesli anlatım metni
On ikinci derse hoş geldiniz. Geçen ders impuls yanıtı ve konvolüsyonu öğrenmiştik. Bugün basamak yanıtını inceleyeceğiz. Bu, sistem davranışını analiz etmek için en önemli araçlardan biridir. İntegratör, birinci derece gecikme ve zaman gecikmesi için basamak yanıtlarını hesaplayacağız.
2. Heaviside birim basamak fonksiyonunu tanımla
Sıfır başlangıç koşullarında birim basamak için Y(s)=G(s)/s; yanıt biçimi transfer bloğuna ve zaman sabitine bağlıdır.
Heaviside birim basamağı σ(t), t<0 için 0 ve t>0 için 1'dir; σ(0) seçilen konvansiyona bağlıdır.
Sıfır anında sabit bir girişin açılmasını temsil eder.
$\displaystyle L\{\sigma \left(t\right)\}=1/s.$
Bir sistemin basamak yanıtı, bu fonksiyon giriş olarak uygulandığında elde edilen çıkıştır.
Sesli anlatım metni
Heaviside basamak fonksiyonu sigma t, negatif zamanlarda sıfır, pozitif zamanlarda birdir. Sıfır anında sabit bir girişin açılmasını temsil eder. Laplas dönüşümü bir bölü s'dir. Bir sistemin basamak yanıtı, bu fonksiyon giriş olarak uygulandığında elde edilen çıkıştır.
3. Y(s)=G(s)/s hesaplama kuralını kur
Sıfır başlangıç koşullarında birim basamak için Y(s)=G(s)/s; yanıt biçimi transfer bloğuna ve zaman sabitine bağlıdır.
Birim basamak için U(s)=1/s alınır.
$\displaystyle Y\left(s\right)=G\left(s\right)\cdot \left(\frac{1}{s}\right)=G\left(s\right)/s.$
$\displaystyle y\left(t\right)=L⁻¹\{G\left(s\right)/s\}.$
Bu, herhangi bir transfer fonksiyonu için standart prosedürdür.
Sesli anlatım metni
Basamak yanıtını hesaplamak için, U s'yi bir bölü s'ye eşitleriz. Y s, G s çarpı bir bölü s'ye eşit olur. y t'yi bulmak için, G s bölü s'nin ters Laplas dönüşümünü alırız. Bu, herhangi bir transfer fonksiyonu için standart prosedürdür.
4. İntegratörün rampa yanıtını türet
Sıfır başlangıç koşullarında birim basamak için Y(s)=G(s)/s; yanıt biçimi transfer bloğuna ve zaman sabitine bağlıdır.
Saf integratör için G(s)=1/s'dir.
Basamak yanıtı Y(s)=1/s² olur.
Ters Laplas ile y(t)=t·σ(t), yani nedensel rampa elde edilir.
İntegratör sabit girişi biriktirir, bu yüzden çıkış zamanla doğrusal olarak artar.
Sesli anlatım metni
En basit örnek, G s eşittir bir bölü s olan saf integratördür. Basamak yanıtı Y s eşittir bir bölü s kare olur. Ters Laplas dönüşümü alındığında, y t eşittir t çarpı sigma t, yani bir rampa elde edilir. İntegratör sabit girişi biriktirir, bu yüzden çıkış zamanla doğrusal olarak artar.
5. Birinci derece gecikme modelini kur
Sıfır başlangıç koşullarında birim basamak için Y(s)=G(s)/s; yanıt biçimi transfer bloğuna ve zaman sabitine bağlıdır.
Şimdi birinci derece gecikmeyi inceliyoruz.
Diferansiyel denklem T·ẏ+y=K·u'dur.
Burada T zaman sabitidir ve K oransal kazançtır.
Sıfır başlangıç koşullarında G(s)=K/(1+sT).
Sesli anlatım metni
Şimdi birinci derece gecikmeyi inceliyoruz. Diferansiyel denklemi, T çarpı y nokta artı y eşittir K çarpı u şeklindedir. Burada T zaman sabitidir ve K oransal kazançtır. Sıfır başlangıç koşullarıyla Laplas dönüşümü alınırsa, transfer fonksiyonu G s eşittir K bölü bir artı s T olur.
6. Birinci derece basamak yanıtını türet
Sıfır başlangıç koşullarında birim basamak için Y(s)=G(s)/s; yanıt biçimi transfer bloğuna ve zaman sabitine bağlıdır.
Birim basamak için Y(s)=[K/(1+sT)]·(1/s).
Kısmi kesirlerle y(t)=K·σ(t)·[1−e⁽−t/T)] bulunur.
Çıkış sıfırdan başlar ve üstel olarak son değer K'ya yaklaşır.
Sesli anlatım metni
Basamak yanıtını bulmak için, Y s eşittir K bölü bir artı s T çarpı bir bölü s hesaplanır. Kısmi kesirler ayrışımı kullanılarak, y t eşittir K çarpı sigma t çarpı bir eksi e üssü eksi t bölü T bulunur. Çıkış sıfırdan başlar ve üstel olarak son değer K'ya yaklaşır.
7. Zaman sabiti T'nin etkisini karşılaştır
Sıfır başlangıç koşullarında birim basamak için Y(s)=G(s)/s; yanıt biçimi transfer bloğuna ve zaman sabitine bağlıdır.
Zaman sabiti T'nin yanıtı nasıl etkilediğini görelim.
Küçük T değerlerinde, örneğin sıfır nokta beş, sistem hızlı yanıt verir ve kararlı duruma çabuk ulaşır.
Büyük T değerlerinde, örneğin üç veya on, yanıt daha yavaştır.
T>0 için çıkış t=T anında son değerin yaklaşık %63,2'sine ulaşır.
Bu, birinci derece sistemlerin temel özelliğidir.
Sesli anlatım metni
Zaman sabiti T'nin yanıtı nasıl etkilediğini görelim. Küçük T değerlerinde, örneğin sıfır nokta beş, sistem hızlı yanıt verir ve kararlı duruma çabuk ulaşır. Büyük T değerlerinde, örneğin üç veya on, yanıt daha yavaştır. Her durumda, çıkış t eşittir T anında son değerin yüzde altmış üçüne ulaşır. Bu, birinci derece sistemlerin temel özelliğidir.
8. Negatif T ve sağ yarı düzlem kutbunu yorumla
Sıfır başlangıç koşullarında birim basamak için Y(s)=G(s)/s; yanıt biçimi transfer bloğuna ve zaman sabitine bağlıdır.
Zaman sabiti T negatif olursa ne olur?
G(s)=K/(1+sT) modelinde T<0 ise kutup s=−1/T sağ yarı düzlemdedir.
Yanıt yerleşmek yerine sonsuza ıraksır.
Negatif zaman sabiti, sistemin kararsız olduğu anlamına gelir.
Kararlılık için T'nin sıfırdan büyük olması gerekir.
Sesli anlatım metni
Zaman sabiti T negatif olursa ne olur? Transfer fonksiyonu aynı görünür, K bölü bir artı s T, ancak şimdi kutup s düzleminin sağ yarısındadır. Yanıt yerleşmek yerine sonsuza ıraksır. Negatif zaman sabiti, sistemin kararsız olduğu anlamına gelir. Kararlılık için T'nin sıfırdan büyük olması gerekir.
9. Saf zaman gecikmesi yanıtını kur
Sıfır başlangıç koşullarında birim basamak için Y(s)=G(s)/s; yanıt biçimi transfer bloğuna ve zaman sabitine bağlıdır.
Zaman gecikmesi özel bir transfer bloğudur.
Çıkış, girişin delta kadar kaydırılmışıdır.
$\displaystyle y\left(t\right)=u\left(t-\Delta \right).$
$\displaystyle G\left(s\right)=e^{(}-\Delta s).$
Basamak girişi uygulandığında, basamak yanıtı basitçe t eşittir delta anında sıfırdan bire atlayan gecikmiş bir basamaktır.
Sesli anlatım metni
Zaman gecikmesi özel bir transfer bloğudur. Çıkış, girişin delta kadar kaydırılmışıdır. y t, u parantez t eksi delta'ya eşittir. Transfer fonksiyonu G s eşittir e üssü eksi delta s'dir. Basamak girişi uygulandığında, basamak yanıtı basitçe t eşittir delta anında sıfırdan bire atlayan gecikmiş bir basamaktır.
10. Yaygın transfer bloklarını karşılaştır
Sıfır başlangıç koşullarında birim basamak için Y(s)=G(s)/s; yanıt biçimi transfer bloğuna ve zaman sabitine bağlıdır.
Dört standart transfer bloğunu özetleyelim.
G(s)=K için basamak yanıtı K·σ(t)'dir.
G(s)=K/s için basamak yanıtı K·t·σ(t), yani rampadır.
G(s)=K/(1+sT) için yanıt K·σ(t)·[1−e⁽−t/T)]'dir.
G(s)=e⁽−Δs) zaman gecikmesinin basamak yanıtı σ(t−Δ)'dır.
Bunlar LTI sistem modellemesinde sık kullanılan transfer bloklarıdır.
Sesli anlatım metni
Dört standart transfer bloğunu özetleyelim. K oransal kazanç, basamak yanıtı K sigma t. K bölü s integratör, basamak yanıtı K t sigma t, yani rampa. K bölü bir artı s T birinci derece gecikme, basamak yanıtı K çarpı bir eksi e üssü eksi t bölü T. Ve e üssü eksi delta s zaman gecikmesi, basamak yanıtı sigma parantez t eksi delta. Bunlar herhangi bir doğrusal sistemi modellemek için yapı taşlarıdır.
11. Basamak yanıtı akışını toparla
Sıfır başlangıç koşullarında birim basamak için Y(s)=G(s)/s; yanıt biçimi transfer bloğuna ve zaman sabitine bağlıdır.
Harika iş.
Bu derste basamak yanıtının y(t)=L⁻¹{G(s)/s} ile hesaplandığını öğrendik.
İntegratör rampa verir, birinci derece gecikme K'ya üstel yükseliş verir, zaman sabiti T hızı belirler.
Negatif T kararsızlık demektir.
Ve zaman gecikmesi basamağı delta kadar kaydırır.
Bir sonraki derste ikinci derece basamak yanıtlarını inceleyeceğiz.
Sesli anlatım metni
Harika iş. Bu derste basamak yanıtının G s çarpı bir bölü s'nin ters Laplas dönüşümüyle hesaplandığını öğrendik. İntegratör rampa verir, birinci derece gecikme K'ya üstel yükseliş verir, zaman sabiti T hızı belirler. Negatif T kararsızlık demektir. Ve zaman gecikmesi basamağı delta kadar kaydırır. Bir sonraki derste ikinci derece basamak yanıtlarını inceleyeceğiz.