Kontrol Teorisi · Baskın Kutup, Aşma ve Ters Yanıt — Çözümlü Örnek 17

#40 Asimptotik ve pratik baskın mod ayrımı, yakın kutup-sıfır bastırması, sağ yarı düzlem kutup ve sıfırları, karmaşık kutuplar ve aşmalı basamak yanıtı

Yakın kutup-sıfır çiftinin yalnız yaklaşık bastırma yaptığını görün; G₃'ün doğru ters-yanıt yönünü ve G₄'ün tepesini hesapla doğrulayın.

Soru

Dört transfer fonksiyonunun kutup-sıfır haritasını, baskın mod ayrımını, ters yanıtı ve aşmayı gösteren Türkçe çözüm karesi. — G₁'in asimptotik baskın kutbu −3, erken-geçiş modu −10; G₂ kararsız; G₃ doğru yönde ters yanıtlı ve salınımlı; G₄ aşmalıdır.

G₁=(s+3,5)(s+4)/[(s+3)(s+10)], G₂=(s+8)/[(s−3)(s+200)], G₃=(s−4)/[(s+4)(s²+3s+3)] ve G₄=(s+2)/[(s+10)(s+20)] için kutupları ve sıfırları bulun. Asimptotik baskın kutup ile sonlu-zamanlı pratik baskın modu ayırın; ters yanıt ve aşma üreten sistemleri tam yön ve kısmi-kesir kontrolleriyle belirleyin.

Yazılı çözüm ve anlatım dökümü(çözümün tamamını gösterir)

Aşağıda defterde yazılan bütün satırlar ve bunlara eşlik eden sesli anlatımın tam metni bulunur.

1. Dört transfer fonksiyonu ve üç soruyu kur
G₁'in asimptotik baskın kutbu −3, erken-geçiş modu −10; G₂ kararsız; G₃ doğru yönde ters yanıtlı ve salınımlı; G₄ aşmalıdır.
İşte problem.
Bize dört transfer fonksiyonu veriliyor.
$\displaystyle G₁\left(s\right)=\left(s+3,5\right)\left(s+4\right)/\left[\left(s+3\right)\left(s+10\right)\right].$
$\displaystyle G₂\left(s\right)=\left(s+8\right)/\left[\left(s-3\right)\left(s+200\right)\right].$
$\displaystyle G₃\left(s\right)=\left(s-4\right)/\left[\left(s+4\right)\left(s²+3s+3\right)\right].$
$\displaystyle G₄\left(s\right)=\left(s+2\right)/\left[\left(s+10\right)\left(s+20\right)\right].$
Üç soru.
a şıkkı — her transfer fonksiyonu için baskın kutbu belirle ve seçimi gerekçelendir.
b şıkkı — hangi transfer fonksiyonu basamak yanıtında ters sıçramaya yol açar?
c şıkkı — hangi transfer fonksiyonu aşmaya yol açar?
Hedefe dikkat et — biz tam basamak yanıtını hesaplamıyoruz.
Sadece kutup ve sıfırların s düzleminde nerede oturduğuna bakıp cevabı okuyoruz.
Bütün problem bir sıfır kutup haritası alıştırması.
Sesli anlatım metni
İşte problem. Bize dört transfer fonksiyonu veriliyor. G bir s, eşittir s artı 3.5 çarpı s artı 4, bölü s artı 3 çarpı s artı 10. G iki s, eşittir s artı 8, bölü s eksi 3 çarpı s artı 200. G üç s, eşittir s eksi 4, bölü s artı 4 çarpı şu ikinci dereceden ifade: s kare artı 3 s artı 3. G dört s, eşittir s artı 2, bölü s artı 10 çarpı s artı 20. Üç soru. a şıkkı — her transfer fonksiyonu için baskın kutbu belirle ve seçimi gerekçelendir. b şıkkı — hangi transfer fonksiyonu basamak yanıtında ters sıçramaya yol açar? c şıkkı — hangi transfer fonksiyonu aşmaya yol açar? Hedefe dikkat et — biz tam basamak yanıtını hesaplamıyoruz. Sadece kutup ve sıfırların s düzleminde nerede oturduğuna bakıp cevabı okuyoruz. Bütün problem bir sıfır kutup haritası alıştırması.
2. Baskın kutup, sıfır ve yanıt kurallarını sınırla
G₁'in asimptotik baskın kutbu −3, erken-geçiş modu −10; G₂ kararsız; G₃ doğru yönde ters yanıtlı ve salınımlı; G₄ aşmalıdır.
Hızlı strateji.
Beş kural ile her üç şıkkı tek bir zaman tanım kümesi hesabı yapmadan cevaplayabiliriz.
Asimptotik baskın kutup, sadeleşmemiş ve artık katsayısı sıfır olmayan kutuplar içinde gerçek kısmı imajiner eksene en yakın olandır.
Bu en yavaş moddur, yani uzun vadeli sönümü o belirler.
İkinci kural — eğer herhangi bir kutup sağ yarı düzlemde oturuyorsa, sistem kararsızdır.
O sağ yarı düzlem kutbu otomatik olarak baskındır, çünkü cevap üstel olarak büyür ve tüm kararlı modları bastırır.
Üçüncü kural — bir karmaşık eşlenik kutup çifti, gerçel kısmı negatif ama büyüklüğü küçük olduğunda, daha uzaktaki bir gerçel kutbun önüne geçebilir.
Büyüklükleri değil, gerçel kısımları karşılaştırın.
Dördüncü kural: tam ve yaklaşık kutup-sıfır sadeleşmesini ayırın.
Yakın sıfır kutbun artık katsayısını küçültür; tam çakışma yoksa kutup asimptotik olarak kalır, ancak sonlu gözlem penceresinde başka bir mod pratikte baskın görünebilir.
Beşinci kural — aşma ve ters sıçrama kuralları.
RHP sıfırı bu G₃ örneğinde ilk hareketi negatif son değerin tersine, yani pozitif yöne çevirir; ters yanıt yönü son değerin işaretiyle birlikte okunmalıdır.
Bu G₄ örneğinde orijine yakın LHP sıfırı artık katsayılarıyla birlikte aşma üretir; konum tek başına evrensel yeter koşul değildir.
Beş kural, dört transfer fonksiyonu.
Şimdi her birini sırayla okuyalım.
Sesli anlatım metni
Hızlı strateji. Beş kural ile her üç şıkkı tek bir zaman tanım kümesi hesabı yapmadan cevaplayabiliriz. Birinci kural — baskın kutup, gerçel kısmının mutlak değeri en küçük olan, yani imajiner eksene en yakın olan kutuptur. Bu en yavaş moddur, yani uzun vadeli sönümü o belirler. İkinci kural — eğer herhangi bir kutup sağ yarı düzlemde oturuyorsa, sistem kararsızdır. O sağ yarı düzlem kutbu otomatik olarak baskındır, çünkü cevap üstel olarak büyür ve tüm kararlı modları bastırır. Üçüncü kural — bir karmaşık eşlenik kutup çifti, gerçel kısmı negatif ama büyüklüğü küçük olduğunda, daha uzaktaki bir gerçel kutbun önüne geçebilir. Büyüklükleri değil, gerçel kısımları karşılaştırın. Dördüncü kural — sıfır kutup sadeleşmesi. Eğer bir sıfır, kararlı bir kutba çok yakın oturuyorsa, o kutup bastırılır ve baskın kutup bir sonraki en yavaş kutup olur. Beşinci kural — aşma ve ters sıçrama kuralları. Sağ yarı düzlemdeki bir sıfır, basamak yanıtını tırmanmadan önce sıfırın altına dalmaya zorlar; bu ters sıçramadır. Sol yarı düzlemde, baskın kutuptan imajiner eksene daha yakın oturan bir sıfır geçici cevabı büyütür ve aşma üretir. Beş kural, dört transfer fonksiyonu. Şimdi her birini sırayla okuyalım.
3. G₁ asimptotik ve pratik baskın modlarını ayır
G₁'in asimptotik baskın kutbu −3, erken-geçiş modu −10; G₂ kararsız; G₃ doğru yönde ters yanıtlı ve salınımlı; G₄ aşmalıdır.
$\displaystyle G₁\left(s\right)=\left(s+3,5\right)\left(s+4\right)/\left[\left(s+3\right)\left(s+10\right)\right].$
G₁ kutupları p={−3,−10}; sıfırları z={−3,5,−4}'tür.
Sıfırlar eksi 3.5 ve eksi 4'te.
Hepsi sol yarı düzlemde, yani sistem kararlı.
Saf cevap — mutlak değeri en küçük kutup eksi 3'te.
Yani eksi 3 baskın olmalı.
Ama bir parmak soluna bak.
Eksi 3.5'teki sıfır, eksi 3'teki kutuptan yalnızca 0.5 birim uzakta oturuyor.
z=−3,5 ile p=−3 yakın ama tam çakışmış değildir.
Kısmi kesirlerde −3 modunun artığı −1/42, −10 modunun artığı 39/70'tir.
−10 modu erken geçişte büyük genliği nedeniyle pratikte baskın görünür.
Ancak −3 modu yok olmamıştır; t→∞ iken daha yavaş e⁽−3t) terimi asimptotik baskınlığı geri alır.
Düzeltilmiş sonuç: G₁'in matematiksel asimptotik baskın kutbu −3, sonlu-zamanlı pratik baskın modu −10'dur.
Sesli anlatım metni
G bir s, eşittir s artı 3.5 çarpı s artı 4, bölü s artı 3 çarpı s artı 10. Kutuplar eksi 3 ve eksi 10'da. Sıfırlar eksi 3.5 ve eksi 4'te. Hepsi sol yarı düzlemde, yani sistem kararlı. Saf cevap — mutlak değeri en küçük kutup eksi 3'te. Yani eksi 3 baskın olmalı. Ama bir parmak soluna bak. Eksi 3.5'teki sıfır, eksi 3'teki kutuptan yalnızca 0.5 birim uzakta oturuyor. Bu, neredeyse tam sadeleşme. İki çarpan birbirini hemen hemen yok ediyor ve eksi 3 modunun basamak yanıtına katkısı bastırılıyor. Bir sonraki en yavaş kutup eksi 10'da. Eksi 3 modu yakındaki sıfır tarafından öldürüldüğü için, sahneyi eksi 10 devralıyor. G bir için cevap — baskın kutup s eşittir eksi 10.
4. G₂ kararsız baskın kutbunu bul
G₁'in asimptotik baskın kutbu −3, erken-geçiş modu −10; G₂ kararsız; G₃ doğru yönde ters yanıtlı ve salınımlı; G₄ aşmalıdır.
$\displaystyle G₂\left(s\right)=\left(s+8\right)/\left[\left(s-3\right)\left(s+200\right)\right].$
Paydaya bak.
G₂ kutupları p={+3,−200}; sıfırı z=−8'dir.
Bu sağ yarı düzlemde bir kutup.
Sağ yarı düzlem kutbu, sistemin kararsız olduğu anlamına gelir.
e üzeri artı 3 t modu üstel olarak büyür, eksi 200'deki diğer mod ise neredeyse anında söner.
Kararsız mod ezici bir farkla kazanır.
Asimetriye dikkat et — eksi 200, imajiner eksenden artı 3'ten çok daha uzakta, yani imajiner eksene en yakın olan kuralıyla zaten baskınlıktan uzak.
Ama büyüklükler birbirine yakın olsa bile, kararsız bir kutup yine de baskın olurdu, çünkü üstel büyüme her zaman üstel sönümü geçer.
G₂ için p=+3 kararsız ve baskın kutuptur.
Sesli anlatım metni
G iki s, eşittir s artı 8, bölü s eksi 3 çarpı s artı 200. Paydaya bak. s eksi 3 çarpanı, s eşittir artı 3'te bir köke sahip. Bu sağ yarı düzlemde bir kutup. Sağ yarı düzlem kutbu, sistemin kararsız olduğu anlamına gelir. e üzeri artı 3 t modu üstel olarak büyür, eksi 200'deki diğer mod ise neredeyse anında söner. Kararsız mod ezici bir farkla kazanır. Asimetriye dikkat et — eksi 200, imajiner eksenden artı 3'ten çok daha uzakta, yani imajiner eksene en yakın olan kuralıyla zaten baskınlıktan uzak. Ama büyüklükler birbirine yakın olsa bile, kararsız bir kutup yine de baskın olurdu, çünkü üstel büyüme her zaman üstel sönümü geçer. G iki için cevap — baskın kutup s eşittir artı 3 ve sistem kararsız.
5. G₃ karmaşık kutupları ve ters yanıt yönünü doğrula
G₁'in asimptotik baskın kutbu −3, erken-geçiş modu −10; G₂ kararsız; G₃ doğru yönde ters yanıtlı ve salınımlı; G₄ aşmalıdır.
$\displaystyle G₃\left(s\right)=\left(s-4\right)/\left[\left(s+4\right)\left(s²+3s+3\right)\right].$
İki şeye dikkat.
Birincisi, ikinci dereceden çarpan s kare artı 3 s artı 3.
s²+3s+3 için Δ=9−12=−3.
Negatif ayırt edici, karmaşık kökler demek.
Kutuplar p=−3/2±j√3/2≈−1,5±j0,866'dır.
Gerçel kısımları karşılaştır.
Gerçel kutup eksi 4'te.
Karmaşık çift ise eksi 1.5 gerçel kısımlı.
1.5, 4'ten küçük olduğu için, karmaşık çift imajiner eksene daha yakın oturuyor.
Karmaşık çift baskın.
İkincisi, pay.
G₃ sıfırı z=+4 RHP'dedir.
Beşinci kurala göre, sağ yarı düzlem sıfırı basamak yanıtını ters sıçramaya zorlar.
Kaynak sesindeki yön tarifi hatalıdır: y₃(∞)=−1/3 iken y₃″(0⁺)=1 olduğundan yanıt önce pozitif yöne gider, sonra sıfırı kesip negatif son değere döner.
G₃ baskın kutupları −3/2±j√3/2'dir; z=+4 nedeniyle pozitif başlayan, sonra negatif y(∞)=−1/3 çevresine dönen ters ve salınımlı yanıt üretir.
Sesli anlatım metni
G üç s, eşittir s eksi 4, bölü s artı 4 çarpı şu ikinci dereceden ifade: s kare artı 3 s artı 3. İki şeye dikkat. Birincisi, ikinci dereceden çarpan s kare artı 3 s artı 3. Ayırt edicisi 9 eksi 12, eşittir eksi 3. Negatif ayırt edici, karmaşık kökler demek. Çözünce kutuplar eksi 1.5 artı eksi karekök 3 bölü 2 çarpı j, yaklaşık eksi 1.5 artı eksi 0.87 j. Gerçel kısımları karşılaştır. Gerçel kutup eksi 4'te. Karmaşık çift ise eksi 1.5 gerçel kısımlı. 1.5, 4'ten küçük olduğu için, karmaşık çift imajiner eksene daha yakın oturuyor. Karmaşık çift baskın. İkincisi, pay. s eksi 4, s eşittir artı 4'te sıfırlanır — bu sağ yarı düzlemde bir sıfır. Beşinci kurala göre, sağ yarı düzlem sıfırı basamak yanıtını ters sıçramaya zorlar. Çıkış, geri tırmanmadan önce sıfırın altına dalar. G üç için cevap — baskın kutuplar eksi 1.5 artı eksi 0.87 j karmaşık çiftidir ve G üç, artı 4'teki sağ yarı düzlem sıfırı yüzünden ters sıçrama gösterir.
6. G₄ baskın kutup ve aşmayı kısmi kesirlerle doğrula
G₁'in asimptotik baskın kutbu −3, erken-geçiş modu −10; G₂ kararsız; G₃ doğru yönde ters yanıtlı ve salınımlı; G₄ aşmalıdır.
$\displaystyle G₄\left(s\right)=\left(s+2\right)/\left[\left(s+10\right)\left(s+20\right)\right].$
G₄ kutupları p={−10,−20}; baskın kutup −10'dur.
İmajiner eksene daha yakın olan eksi 10, yani baskın kutup eksi 10'da.
Şimdi sıfırı kontrol et.
G₄ sıfırı z=−2'dedir.
Mutlak değerleri karşılaştır.
Baskın kutup eksi 10, mutlak değeri on.
Sıfır eksi 2, mutlak değeri iki.
Sıfır, baskın kutbun beşte bir uzaklığında oturuyor — imajiner eksene beş kat daha yakın.
Beşinci kurala göre, kararlı bir sıfır, baskın kutuptan imajiner eksene daha yakın oturduğunda, geçici cevabı büyütür ve aşma üretir.
G dört'ün basamak yanıtı, son değerine yerleşmeden önce onun üzerine fırlar.
G₄ için y₄(t)=1/100+(2/25)e⁽−10t)−(9/100)e⁽−20t); tₚ=ln(9/4)/10, tepe 1/36 ve son değer 1/100'dür.
Sesli anlatım metni
G dört s, eşittir s artı 2, bölü s artı 10 çarpı s artı 20. İki gerçel kutup, ikisi de kararlı, eksi 10 ve eksi 20'de. İmajiner eksene daha yakın olan eksi 10, yani baskın kutup eksi 10'da. Şimdi sıfırı kontrol et. s eşittir eksi 2'de. Mutlak değerleri karşılaştır. Baskın kutup eksi 10, mutlak değeri on. Sıfır eksi 2, mutlak değeri iki. Sıfır, baskın kutbun beşte bir uzaklığında oturuyor — imajiner eksene beş kat daha yakın. Beşinci kurala göre, kararlı bir sıfır, baskın kutuptan imajiner eksene daha yakın oturduğunda, geçici cevabı büyütür ve aşma üretir. G dört'ün basamak yanıtı, son değerine yerleşmeden önce onun üzerine fırlar. G dört için cevap — baskın kutup s eşittir eksi 10 ve G dört, eksi 2'deki yavaş sol yarı düzlem sıfırı yüzünden aşma gösterir.
7. Dört basamak yanıtını düzeltilmiş yönlerle doğrula
G₁'in asimptotik baskın kutbu −3, erken-geçiş modu −10; G₂ kararsız; G₃ doğru yönde ters yanıtlı ve salınımlı; G₄ aşmalıdır.
Şimdi gerçek transfer fonksiyonlarından hesaplanmış dört basamak yanıtını çizip doğrulayalım.
G bir — sol üst.
Kararlı, monoton, hızlıca yerleşiyor.
G₁'de −10 modu erken geçişi sürükler; küçük −1/42 artıklı −3 modu ise tam silinmez ve asimptotik kuyruğu belirler.
Son değer, G bir sıfır eşittir on dört bölü otuz, yaklaşık 0.467, ile uyuşuyor.
G iki — sağ üst.
Dikey ölçeğe dikkat et.
Cevap, artı 3'teki kararsız kutup devraldıkça sonsuza kaçıyor.
Eğri sayfayı terk etmesin diye grafiği kesmek zorundayız.
Kararsızlığı doğruluyor.
G üç — sol alt.
Kaynak ses düzeltmesi: G₃ çıkışı önce pozitife gider; negatif son değere yönelirken sıfırı kesmesi ters yanıttır.
Sonra tırmanıyor ve eksi 1.5 artı eksi 0.87 j karmaşık kutup çifti yüzünden son değeri etrafında salınıyor.
Kararlı G₃ için y₃(∞)=G₃(0)=−4/12=−1/3.
G dört — sağ alt.
Düzgün yükseliş, son değerin üzerinde tepe ve sonra geri iniş.
Bu, eksi 2'deki yavaş sıfırın yarattığı aşma.
G₄ son değeri 1/100, tepe değeri 1/36'dır.
Dört transfer fonksiyonu, dört imza, dört basamak yanıtı.
Sesli anlatım metni
Şimdi gerçek transfer fonksiyonlarından hesaplanmış dört basamak yanıtını çizip doğrulayalım. G bir — sol üst. Kararlı, monoton, hızlıca yerleşiyor. Eksi 10 modu erken geçişi sürüklüyor; eksi 3 modu sürüklenseydi gecikmiş olacaktı ama eksi 3.5'teki yakın sıfır onun katkısını siliyor. Son değer, G bir sıfır eşittir on dört bölü otuz, yaklaşık 0.467, ile uyuşuyor. G iki — sağ üst. Dikey ölçeğe dikkat et. Cevap, artı 3'teki kararsız kutup devraldıkça sonsuza kaçıyor. Eğri sayfayı terk etmesin diye grafiği kesmek zorundayız. Kararsızlığı doğruluyor. G üç — sol alt. Çıkış ilk saniyede sıfırın altına dalıyor — bu, artı 4'teki sağ yarı düzlem sıfırının yarattığı ters sıçrama. Sonra tırmanıyor ve eksi 1.5 artı eksi 0.87 j karmaşık kutup çifti yüzünden son değeri etrafında salınıyor. Son değer, G üç sıfır eşittir eksi 4 bölü 12, yaklaşık eksi 0.333, ile uyuşuyor. G dört — sağ alt. Düzgün yükseliş, son değerin üzerinde tepe ve sonra geri iniş. Bu, eksi 2'deki yavaş sıfırın yarattığı aşma. Son değer G dört sıfır eşittir 2 bölü 200, eşittir 0.01. Dört transfer fonksiyonu, dört imza, dört basamak yanıtı.
8. Baskınlık, ters yanıt ve aşma sonuçlarını toparla
G₁'in asimptotik baskın kutbu −3, erken-geçiş modu −10; G₂ kararsız; G₃ doğru yönde ters yanıtlı ve salınımlı; G₄ aşmalıdır.
Özet.
Baskın kutuplar.
G₁: asimptotik baskın kutup −3; yaklaşık bastırma nedeniyle pratik erken-geçiş modu −10.
G₂: baskın ve kararsız kutup +3.
G₃: baskın çift −3/2±j√3/2; RHP sıfırı ters yanıt üretir.
G₄: baskın kutup −10; z=−2 ile aşmalı yanıt.
Ters yanıt yalnız G₃'tedir; doğru ilk hareket pozitif, son değer negatiftir.
Aşma yalnız G₄'tedir; kısmi kesir hesabı tepeyi 1/36 olarak doğrular.
Büyük resim.
s düzlemi geometrisi her şeyi söylüyor.
İmajiner eksene en yakın kutup sönüm hızını belirler.
Sağ yarı düzlem kutbu kararlılığı yıkar.
Sağ yarı düzlem sıfırı sıfırın altına dalmaya zorlar.
Yavaş bir sol yarı düzlem sıfırı geçici cevabı büyütür.
Yakın sıfır yalnız artık katsayısını küçültür; tam çakışma olmadıkça asimptotik kutbu ortadan kaldırmaz.
Beş kural, sınırsız sayıda sistem, simülatör gerekmez.
Sesli anlatım metni
Özet. Baskın kutuplar. G bir — eksi 10, çünkü yakın sıfır eksi 3 kutbunu bastırıyor. G iki — artı 3, kararsız kutup. G üç — eksi 1.5 artı eksi 0.87 j karmaşık çift. G dört — eksi 10, eksi 20 kutbu iki kat daha uzakta. Ters sıçrama — sadece G üç, artı 4'teki sağ yarı düzlem sıfırı yüzünden. Aşma — sadece G dört, çünkü eksi 2'deki sıfır, baskın kutbundan imajiner eksene beş kat daha yakın oturuyor. Büyük resim. s düzlemi geometrisi her şeyi söylüyor. İmajiner eksene en yakın kutup sönüm hızını belirler. Sağ yarı düzlem kutbu kararlılığı yıkar. Sağ yarı düzlem sıfırı sıfırın altına dalmaya zorlar. Yavaş bir sol yarı düzlem sıfırı geçici cevabı büyütür. Ve kutba yakın bir sıfır onu sadeleştirir, baskınlığı bir sonraki kutba kaydırır. Beş kural, sınırsız sayıda sistem, simülatör gerekmez.