Devre Teorisi 2 · Başlangıç koşullarıyla s-bölgesi RLC modelleri

#17 Tek taraflı Laplace dönüşümü, pasif kaynak işaretleri ve RC doğal cevabı

Direnç, bobin ve kondansatörün tam dal denklemlerini başlangıç durumlarıyla türet; kaynak içermeyen RC boşalmasını çöz.

Soru

Özgün Türkçe finalin RLC bağıntılarını, depolanmış durumu veya RC boşalmasını gösteren İngilizce etiketli referans karesi. — Türkçe videonun özgün görsel etiketleri İngilizcedir. Model karşılaştırmasında aynı videonun işaret kuralları kartı, özette depolanmış durum kartı kullanılır. Tam dal denklemleri ve kesirler defterde ayrıca yazılıdır.

Sabit ve pozitif R, L, C elemanlarının s-bölgesi dal modellerini, sıfır-eksi başlangıç durumlarını koruyarak çıkar. Pasif işaret kuralında dal akımı gerilimin pozitif ucundan girer. Küçük harf zaman işaretini, büyük harf onun Laplace dönüşümünü gösterir. Buradaki 0- anahtarlamadan hemen önce, 0+ hemen sonra demektir. Sıfır-eksi tek taraflı Laplace kabulünde başlangıç anındaki impulslar dönüşüme dahildir; türev kuralı sF(s)-f(0-) biçimindedir. İşaretlerin sonlu başlangıç değerlerine ve uygun sağ yarı düzlemde dönüşüme sahip olduğunu varsay. Dirençte v_R(t)=R i_R(t) doğrudan V_R(s)=R I_R(s) olur. Z_R=R ve depolanmış başlangıç durumu yoktur. Dirençte gerilim veya akımın ilk anda sıfır olması gerekmez; yalnız bağıntıda ek bir başlangıç kaynağı doğmaz. Bobinde v_L=L di_L/dt olduğundan V_L=L[sI_L-i_L(0-)]=sLI_L-Li_L(0-). Empedans sL, bu referanslara göre seri gerilim denklemindeki başlangıç terimi -Li_L(0-) olur. Kondansatörde i_C=C dv_C/dt; I_C=C[sV_C-v_C(0-)]. Gerilim için çözüldüğünde V_C=I_C/(sC)+v_C(0-)/s. Empedans 1/(sC), seri gerilim denklemindeki başlangıç terimi +v_C(0-)/s olur. Bobin ve kondansatörün seri kaynak işaretlerinin farklılığı aynı türev kuralından ve gerilim için yapılan cebirden gelir. Akım ve gerilim referanslarını birlikte ters çevirmek pasif kuralı korur; yalnız birini ters çevirmek kuralı değiştirir. Önce eleman denklemini yeni referanslarla yaz. Empedans ile kaynak terimi aynı büyüklük değildir. sL ve 1/(sC) ohm, Li_L(0-) ve v_C(0-)/s volt-saniye boyutundadır. Dönüşmüş akım amper-saniye, dönüşmüş gerilim volt-saniyedir. Tam gerilim denkleminde empedans dönüşmüş akımla çarpılır. sL ile i_L(0-) veya 1/(sC) ile v_C(0-) doğrudan toplanmaz. Başlangıç kaynakları yeni bir dış enerji kaynağı değil, mevcut depolanmış durumun cebirsel temsilidir. Aynı başlangıç durumunu hem kaynak terimi hem ikinci bir bağımsız başlangıç katkısı olarak sayma. Bobin akımı ancak bobin geriliminde anahtarlama impulsu yoksa süreklidir; kondansatör gerilimi ancak kondansatör akımında impuls yoksa süreklidir. Genel olarak 0- ile 0+ eşitliğini koşulsuz kullanma. İmpuls varsa sıçrama ve başlangıç terimleri aynı sıfır-eksi kabulüyle birlikte ele alınır. Örnekte başlangıç gerilimi sonlu V_0 olan kondansatör, anahtarlamadan sonra yalnız R üzerinden boşalır. Kondansatör akımında anahtarlama impulsu olmadığını varsay; böylece v(0+)=v(0-)=V_0. Düğümden aşağı, ortak pozitif gerilim ucundan giren iki pasif dal akımı seç: i_R=v/R, i_C=C dv/dt. Dış akım girişi olmadığından pozitif zamanda C dv/dt+v/R=0. V_0 pozitifken i_C negatiftir; bu, depolanan enerjinin dirençte harcanmasıyla uyumludur. Şekildeki mavi ok gerilim referansıdır, kondansatör dal akımı değildir. Dönüşüm C[sV-V_0]+V/R=0 ve (sC+1/R)V=CV_0 verir. Sonuç V(s)=V_0/[s+1/(RC)] ve t>=0 için v(t)=V_0 exp[-t/(RC)]. Doğal modun kutbu -1/(RC), pozitif sönme hızı α=1/(RC), zaman sabiti τ=RC olur. Bir zaman sabitinde gerilim başlangıcın 1/e katıdır. V_0 negatifse gerilim yine sıfıra yaklaşır; V_0=0 ise cevap sıfırdır. Sıfır cevabın dönüşümünde gerçek bir sinyal kutbu kalmaz, fakat devrenin doğal modu aynıdır. Pozitif-zaman fiziksel diferansiyel denklemi kullanıyoruz: cevabı nedensel uzatmanın türevindeki başlangıç delta terimini ayrıca ikinci bir kaynak gibi ekleme. Başlangıç enerjisini silmek, sıfır-giriş doğal cevabını siler. Bu, bütün geçici cevapların yalnız başlangıç enerjisinden geldiği anlamına gelmez. Sıfır başlangıç durumundan birim basamakla sürülen RC cevabı 1-exp[-t/(RC)] de geçici bir üstel terim içerir. Kaydın geçici kısmın kaybolması ifadesini, depolanmış durumun doğal katkısıyla sınırla. Aynı videonun durum kartı bu katkıyı natural response olarak adlandırır. RC karesinin altındaki decay rate ifadesi işaretli üstel katsayıyı anlatır; pozitif sönme hızı kutbun negatifi olan α'dır. Bellek ve direnç kartlarında alt indisler düz metinde alt çizgiyle gösterilmiştir; i_L ve v_C ilgili elemanın akım ve gerilimidir. Denklemlerin defterdeki alt indisli biçimleri bu gösterimi açıklar. Model karşılaştırmasının çakışan etiketleri ve özette farklı boyutları toplayan kısaltmalar yerine aynı finalin tam kural ve durum kartları kullanılır. Değişmeyen özgün bobin ve kondansatör türetme kareleri, tam kaynak terimlerini gösterir.

Yazılı çözüm ve anlatım dökümü(çözümün tamamını gösterir)

Aşağıda defterde yazılan bütün satırlar ve bunlara eşlik eden sesli anlatımın tam metni bulunur.

1. Laplace araçlarını devre modellerine bağla
Türkçe videonun özgün görsel etiketleri İngilizcedir. Model karşılaştırmasında aynı videonun işaret kuralları kartı, özette depolanmış durum kartı kullanılır. Tam dal denklemleri ve kesirler defterde ayrıca yazılıdır.
Laplace araçlarını hatırla: tanım, kaydırma, ters dönüşüm, kutup ve uç değerler.
Bu araçları gerçek devre elemanlarına uygula.
Zaman bölgesi bağıntısını cebirsel s-bölgesi denklemine dönüştür.
Direnç hafızasız bir elemandır.
Bobin akımı ve kondansatör gerilimi başlangıç kaynağı doğurur.
Aynı modelleri düğüm ve mesh denklemlerinde kullan.
Sesli anlatım metni
Laplace araç kutusunu kurduk: tanım, kaydırma kuralları, ters Laplace, kutuplar, sıfırlar ve uç değer kontrolleri. Şimdi bu araç kutusunu tekrar gerçek devrelere bağlıyoruz. Hedef basit: zaman bölgesindeki her elemanı alıp s bölgesinde cebirsel bir modele çevirmek. Direnç neredeyse değişmeden kalacak. Endüktans ve kapasitör ise hafıza taşıdığı için başlangıç akımı veya başlangıç gerilimi bir kaynak terimine dönüşecek. Bunu yapınca, sonraki derste düğüm ve mesh denklemlerini doğrudan s ile yazabileceğiz.
2. Sıfır-eksi anındaki depolanmış durumu koru
Türkçe videonun özgün görsel etiketleri İngilizcedir. Model karşılaştırmasında aynı videonun işaret kuralları kartı, özette depolanmış durum kartı kullanılır. Tam dal denklemleri ve kesirler defterde ayrıca yazılıdır.
Durum değişkenini enerji depolama belirler.
İdeal direnç başlangıç enerjisi saklamaz.
Bobinin başlangıç durumu: i_L(0-)
Kondansatörün başlangıç durumu: v_C(0-)
Sıfır-eksi, anahtarlamadan hemen önceki değerdir.
Başlangıç terimini silersen depolanmış enerjinin sıfır-giriş cevabını kaybedersin.
Sesli anlatım metni
Ayrım çizgisi enerji depolamadır. Direnç bir durum değişkeni olarak enerji saklamaz; bu yüzden başlangıç koşulu terimi yoktur. Endüktans manyetik enerji saklar ve durum değişkeni, sıfır eksi anındaki i L akımıdır. Kapasitör elektriksel enerji saklar ve durum değişkeni, sıfır eksi anındaki v C gerilimidir. Sıfır eksi gösterimi önemlidir: anahtarlamadan hemen önceki değeri anlatır. s bölgesi modeli bu depolanmış enerjiyi hatırlamazsa, cevabın geçici kısmı kaybolur.
3. Hafızasız direnci dönüştür
Türkçe videonun özgün görsel etiketleri İngilizcedir. Model karşılaştırmasında aynı videonun işaret kuralları kartı, özette depolanmış durum kartı kullanılır. Tam dal denklemleri ve kesirler defterde ayrıca yazılıdır.
Direnci referans durum olarak al.
Zaman bağıntısı:
$\displaystyle v_{R}\left(t\right) = R i_{R}\left(t\right)$
Dönüşmüş bağıntı:
$\displaystyle V_{R}\left(s\right) = R I_{R}\left(s\right)$
Türev olmadığı için başlangıç kaynağı oluşmaz.
Direnç empedansı:
$\displaystyle Z_{R}\left(s\right) = R$
Depolanmış durum, dirençten değil bobin ve kondansatörden gelir.
Sesli anlatım metni
Dirençle başlayalım, çünkü en temiz referans durum budur. Zaman bölgesinde v R t eşittir R çarpı i R t. Laplace dönüşümü doğrudan alınır: V R s eşittir R çarpı I R s. Türev yoktur, dolayısıyla başlangıç koşulu da yoktur. s bölgesi devresinde direnç yine sadece R'dir. Bu yüzden devrenin dirençli kısımları sıradan cebire dönüşür; hafıza terimlerini ise enerji depolayan elemanlar getirir.
4. Endüktansın kaynak işaretini türet
Türkçe videonun özgün görsel etiketleri İngilizcedir. Model karşılaştırmasında aynı videonun işaret kuralları kartı, özette depolanmış durum kartı kullanılır. Tam dal denklemleri ve kesirler defterde ayrıca yazılıdır.
Pasif işaret kuralı: akım pozitif gerilim ucundan girsin.
Bobin bağıntısı:
$\displaystyle v_{L}\left(t\right) =\frac{ L d i_{L}\left(t\right)}{\mathrm{d}t}$
Türev dönüşümü:
$\displaystyle V_{L}\left(s\right) = L \left(s I_{L}\left(s\right) - i_{L}\left(0-\right)\right)$
Dağıtılmış biçim:
$\displaystyle V_{L}\left(s\right) = s L I_{L}\left(s\right) - L i_{L}\left(0-\right)$
Empedans ve seri başlangıç kaynağı ayrı terimlerdir.
Bobin, anahtarlama öncesi akımını kaynak terimiyle taşır.
Sesli anlatım metni
Endüktans için pasif işaret kuralını kullanalım: akım pozitif gerilim ucundan girsin. Zaman bölgesi bağıntısı v L eşittir L çarpı d i L bölü d t. Laplace türev kuralı şunu verir: V L s eşittir L çarpı s I L s eksi i L sıfır eksi. Yani V L s eşittir s L I L s eksi L i L sıfır eksi. Bunu s L empedansı ve başlangıç akımından gelen bir seri kaynak terimi olarak oku. Endüktans sadece empedans değildir; anahtarlamadan önceki akımını da hatırlar.
5. Kapasitörün kaynak işaretini türet
Türkçe videonun özgün görsel etiketleri İngilizcedir. Model karşılaştırmasında aynı videonun işaret kuralları kartı, özette depolanmış durum kartı kullanılır. Tam dal denklemleri ve kesirler defterde ayrıca yazılıdır.
Kondansatörün depoladığı durum gerilimdir.
Kondansatör bağıntısı:
$\displaystyle i_{C}\left(t\right) =\frac{ C d v_{C}\left(t\right)}{\mathrm{d}t}$
Türev dönüşümü:
$\displaystyle I_{C}\left(s\right) = C \left(s V_{C}\left(s\right) - v_{C}\left(0-\right)\right)$
Gerilim biçimi:
$\displaystyle V_{C}\left(s\right) =\frac{ I_{C}\left(s\right)}{s C}+\frac{ v_{C}\left(0-\right)}{s}$
Empedans bir bölü sC; seri kaynak başlangıç geriliminin s ile bölümüdür.
Kondansatör gerilimi, bobin akımı hatırlar.
Sesli anlatım metni
Kapasitörde depolanan değişken gerilimdir. Pasif işaret kuralıyla i C eşittir C çarpı d v C bölü d t. Laplace dönüşümü alınca I C s eşittir C çarpı s V C s eksi v C sıfır eksi olur. Bunu gerilim için çözersek, V C s eşittir I C s bölü s C artı v C sıfır eksi bölü s. Yani empedans bir bölü s C'dir; başlangıç gerilimi ise seri gerilim kaynağı gibi görünür. Kapasitör gerilimi hatırlar; endüktans ise akımı.
6. Empedans ve kaynak terimlerini ayır
Türkçe videonun özgün görsel etiketleri İngilizcedir. Model karşılaştırmasında aynı videonun işaret kuralları kartı, özette depolanmış durum kartı kullanılır. Tam dal denklemleri ve kesirler defterde ayrıca yazılıdır.
Üç elemanın tam dal denklemlerini karşılaştır.
Direnç empedansı:
$\displaystyle Z_{R}\left(s\right) = R$
Bobin empedansı:
$\displaystyle Z_{L}\left(s\right) = s L$
Kondansatör empedansı:
$\displaystyle Z_{C}\left(s\right) =\frac{ 1}{s C}$
Başlangıç kaynaklarının işaretini türev kuralı belirler.
Referansları ters çevirirsen ilgili cebirsel işaretleri de dönüştür.
Önce zaman bağıntısını yaz, ardından Laplace dönüşümü al.
Sesli anlatım metni
Üç modeli yan yana koy. Direnç R'dir. Endüktans s L ve başlangıç akımından gelen L i sıfır eksi kaynak terimidir. Kapasitör bir bölü s C ve başlangıç geriliminden gelen v sıfır eksi bölü s kaynak terimidir. İşaretler keyfi değildir; türev kuralından ve seçilen referans yönlerinden gelir. Bir dal akımını veya gerilim referansını ters seçersen, cebirdeki işaret de onunla beraber değişir. Güvenli yol her zaman önce eleman bağıntısını yazmak, sonra dönüşüm almaktır.
7. RC doğal cevabını çöz
Türkçe videonun özgün görsel etiketleri İngilizcedir. Model karşılaştırmasında aynı videonun işaret kuralları kartı, özette depolanmış durum kartı kullanılır. Tam dal denklemleri ve kesirler defterde ayrıca yazılıdır.
Kaynak içermeyen bir RC boşalmasını çöz.
Başlangıç kondansatör gerilimi:
$\displaystyle v\left(0-\right) = V_{0}$
Pozitif zamanda KCL:
$\displaystyle \frac{C d v\left(t\right)}{\mathrm{d}t }+\frac{ v\left(t\right)}{R }= 0$
Sıfır-eksi dönüşümü:
$\displaystyle C \left(s V\left(s\right) - V_{0}\right) +\frac{ V\left(s\right)}{R }= 0$
Gerilimi yalnız bırak:
$\displaystyle V\left(s\right) =\frac{ V_{0}}{s +\frac{ 1}{R C}}$
Doğal cevap:
$\displaystyle v\left(t\right) = V_{0} e^{-t/(R C)}$
Devrenin doğal kutbu:
$\displaystyle s_{p} = -\frac{1}{R C}$
Sesli anlatım metni
Şimdi küçük bir örnek. Kapasitörün başlangıç gerilimi V sıfır olsun ve sonra R direnci üzerinden boşalsın. Kapasitör akımı ile direnç akımının toplamı sıfır olmalıdır; yani C d v bölü d t artı v bölü R eşittir sıfır. Laplace alınca C çarpı s V s eksi V sıfır artı V s bölü R eşittir sıfır olur. V s'i toplarsak, V s eşittir V sıfır bölü s artı bir bölü R C çıkar. Zaman bölgesinde bu, V sıfır e üstü eksi t bölü R C'dir. Kutup eksi bir bölü R C'dedir.
8. Anahtarlama değerleri ve kaynak polaritelerini kontrol et
Türkçe videonun özgün görsel etiketleri İngilizcedir. Model karşılaştırmasında aynı videonun işaret kuralları kartı, özette depolanmış durum kartı kullanılır. Tam dal denklemleri ve kesirler defterde ayrıca yazılıdır.
Dört başlangıç koşulu hatasını kontrol et.
Anahtarlama öncesini sıfır-eksi ile göster.
Dirence başlangıç kaynağı ekleme.
Kaynak polaritesini eleman denklemi ve referanslardan çıkar.
Dış kaynak olmasa da başlangıç enerjisi etkili olabilir.
Sıfır-giriş doğal cevabını depolanmış enerji sürer.
Sesli anlatım metni
Dört yaygın tuzak var. Birincisi: anahtarlamadan önce depolanan değer için sıfır artı değil, sıfır eksi kullan. İkincisi: direnç için başlangıç kaynağı uydurma. Üçüncüsü: kaynak polaritesini kör ezberleme; işareti referans yönlerinden türet. Dördüncüsü: dış kaynak yok diye başlangıç terimini silme. Doğal cevap zaten tam olarak depolanmış enerji tarafından sürülür.
9. Başlangıç durumunu düğüm ve mesh denklemlerine taşı
Türkçe videonun özgün görsel etiketleri İngilizcedir. Model karşılaştırmasında aynı videonun işaret kuralları kartı, özette depolanmış durum kartı kullanılır. Tam dal denklemleri ve kesirler defterde ayrıca yazılıdır.
Başlangıç koşullarını dal modellerine taşı.
Direnç, R empedansı olarak kalır.
Bobin sL empedansının yanında başlangıç akımı terimini taşır.
Kondansatör bir bölü sC empedansının yanında başlangıç gerilimi terimini taşır.
Kaynak terimleri, depolanmış enerji ile cebirsel denklemleri bağlar.
Bu modellerle düğüm ve mesh denklemlerine geç.
Sesli anlatım metni
Özet. Direnç s bölgesinde R olarak kalır. Endüktans s L olur ve başlangıç akımını hatırlar. Kapasitör bir bölü s C olur ve başlangıç gerilimini hatırlar. Bu kaynak terimleri, fiziksel depolanmış enerji ile cebirsel devre denklemleri arasındaki köprüdür. Sonraki derste bu modellerle düğüm ve mesh denklemlerini doğrudan s bölgesinde yazacağız ve geçici cevabı cebir gibi çözeceğiz.