Kontrol Teorisi · BIBO Kararlılık

#19 BIBO tanımı, impuls yanıtının mutlak integrallenebilirliği, indirgenmiş transfer fonksiyonu kutupları, birinci ve ikinci derece örnekler ile sanal eksen kutuplarının doğru yorumu

BIBO kararlılığını impuls yanıtı ve kutuplarla sınayın; sanal-eksen kutuplarındaki marjinal/BIBO ayrımını doğru kurun.

Soru

BIBO kararlılık ölçütünü, impuls yanıtının mutlak integralini ve s-düzlemindeki kutup bölgelerini gösteren ders karesi. — Nedensel uygun rasyonel LTI sistemde BIBO kararlılık, indirgenmiş transfer fonksiyonunun bütün kutuplarının açık sol yarı düzlemde olmasını gerektirir.

Sıfır başlangıç koşulunda BIBO kararlılığını tanımlayın; sürekli-zaman LTI sistem için ∫₀∞|h(t)|dt<∞ ölçütünü kutup konumlarıyla ilişkilendirin. Basit sanal-eksen kutuplarında sıfır-giriş marjinal kararlılığı ile BIBO kararlılığını ayırın ve bir basamak cevabının neden tek başına BIBO kanıtı olmadığını açıklayın.

Yazılı çözüm ve anlatım dökümü(çözümün tamamını gösterir)

Aşağıda defterde yazılan bütün satırlar ve bunlara eşlik eden sesli anlatımın tam metni bulunur.

1. BIBO kararlılık sorusunu kur
Nedensel uygun rasyonel LTI sistemde BIBO kararlılık, indirgenmiş transfer fonksiyonunun bütün kutuplarının açık sol yarı düzlemde olmasını gerektirir.
Bu derste, kararlılık analizi ve kök yer eğrisi üzerine Ders dört'e başlıyoruz.
Kontrol mühendisliğindeki temel soru şudur: sistemim düzgün çalışacak mı?
Kötü tasarlanmış bir kontrolcü salınımlara, doygunluğa veya fiziksel hasara yol açabilir.
Kararlılık en temel gerekliliktir.
Bugün BIBO kararlılığını inceliyoruz.
BIBO, sınırlı giriş sınırlı çıkış anlamına gelir.
Sıfır başlangıç koşulunda her sınırlı giriş sınırlı çıkış üretiyorsa sistem BIBO kararlıdır.
Sesli anlatım metni
Bu derste, kararlılık analizi ve kök yer eğrisi üzerine Ders dört'e başlıyoruz. Kontrol mühendisliğindeki temel soru şudur: sistemim düzgün çalışacak mı? Kötü tasarlanmış bir kontrolcü salınımlara, doygunluğa veya fiziksel hasara yol açabilir. Kararlılık en temel gerekliliktir. Bugün BIBO kararlılığını inceliyoruz. BIBO, sınırlı giriş sınırlı çıkış anlamına gelir. Bir sistem, her sınırlı giriş için sınırlı bir çıkış üretiyorsa BIBO kararlıdır.
2. BIBO tanımını ve transfer-fonksiyonu kapsamını yaz
Nedensel uygun rasyonel LTI sistemde BIBO kararlılık, indirgenmiş transfer fonksiyonunun bütün kutuplarının açık sol yarı düzlemde olmasını gerektirir.
BIBO kararlılığını resmi olarak tanımlayalım.
H s eşittir N s bölü D s şeklindeki bir transfer fonksiyonunu düşünün.
Dış giriş-çıkış kararlılığında, ortak çarpanlar sadeleştirildikten sonraki H(s)'nin kutupları kullanılır.
Nedensel, sonlu boyutlu, uygun rasyonel LTI sistemde BIBO kararlılık indirgenmiş H(s)'nin kutuplarıyla belirlenir.
İndirgenmiş H(s)'nin bütün kutupları açık sol yarı düzlemdeyse sistem BIBO kararlıdır.
Herhangi bir kutup sağ yarı düzlemde veya sanal eksendeyse sistem BIBO kararsızdır.
Basit sanal-eksen kutupları sıfır-giriş anlamında marjinal denebilse de BIBO kararlı değildir.
Sesli anlatım metni
BIBO kararlılığını resmi olarak tanımlayalım. H s eşittir N s bölü D s şeklindeki bir transfer fonksiyonunu düşünün. Sistemin kutupları, payda D s'nin kökleridir. BIBO kararlılığı tamamen kutup konumlarına bağlıdır. Eğer tüm kutuplar negatif reel kısma sahipse, yani sol yarı düzlemde ise, sistem BIBO kararlıdır. Herhangi bir kutup pozitif reel kısma sahipse, sistem kararsızdır. Sanal eksen üzerindeki kutuplar özel dikkat gerektirir.
3. s-düzleminde BIBO bölgelerini ayır
Nedensel uygun rasyonel LTI sistemde BIBO kararlılık, indirgenmiş transfer fonksiyonunun bütün kutuplarının açık sol yarı düzlemde olmasını gerektirir.
S düzlemi, sanal eksen tarafından bölgelere ayrılır.
Açık sol yarı düzlem, BIBO-kararlı kutup bölgesidir.
Buradaki kutuplar zamanla sıfıra sönümlenen yanıtlar üretir.
Sağ yarı düzlem, reel kısmın pozitif olduğu yer, kararsız bölgedir.
Buradaki kutuplar sınırsız büyüyen yanıtlar üretir.
Sanal eksen, reel kısmın sıfır olduğu yer, sınırdır.
Basit sanal-eksen kutbu doğal cevabı sınırlı tutabilir; fakat rezonanslı sınırlı giriş çıkışı büyüttüğü için sistem BIBO kararsızdır.
Sesli anlatım metni
S düzlemi, sanal eksen tarafından bölgelere ayrılır. Sol yarı düzlem, s'nin reel kısmının negatif olduğu yer, kararlı bölgedir. Buradaki kutuplar zamanla sıfıra sönümlenen yanıtlar üretir. Sağ yarı düzlem, reel kısmın pozitif olduğu yer, kararsız bölgedir. Buradaki kutuplar sınırsız büyüyen yanıtlar üretir. Sanal eksen, reel kısmın sıfır olduğu yer, sınırdır. Sanal eksen üzerindeki basit kutuplar, ne büyüyen ne de sönümlenen sabit salınımlar üreterek marjinal kararlılık sağlar.
4. İmpuls yanıtının mutlak integral ölçütünü uygula
Nedensel uygun rasyonel LTI sistemde BIBO kararlılık, indirgenmiş transfer fonksiyonunun bütün kutuplarının açık sol yarı düzlemde olmasını gerektirir.
BIBO bağlantısı impuls yanıtının ∫₀∞|h(t)|dt<∞ mutlak-integral ölçütüyle netleşir.
Sigma artı j omega konumundaki her kutup, e üzeri sigma çarpı t ile orantılı bir terim katar.
Sigma negatif olduğunda, yani sol yarı düzlemde, üstel fonksiyon sıfıra sönümlenir.
Yanıt zamanla söner ve kararlılığı doğrular.
Sigma pozitif olduğunda, sağ yarı düzlemde, üstel fonksiyon sınırsız büyür.
Yanıt ıraksır ve kararsızlığı doğrular.
σ=0 olduğunda terim sönmez ve |h(t)| mutlak integrali ıraksar.
İmpuls yanıtı sınırlı görünse bile aynı frekanstaki sınırlı giriş rezonansla büyüyen çıkış üretir; sistem BIBO kararsızdır.
Sesli anlatım metni
Kutuplar ve kararlılık arasındaki bağlantı, impuls yanıtı üzerinden netleşir. Sigma artı j omega konumundaki her kutup, e üzeri sigma çarpı t ile orantılı bir terim katar. Sigma negatif olduğunda, yani sol yarı düzlemde, üstel fonksiyon sıfıra sönümlenir. Yanıt zamanla söner ve kararlılığı doğrular. Sigma pozitif olduğunda, sağ yarı düzlemde, üstel fonksiyon sınırsız büyür. Yanıt ıraksır ve kararsızlığı doğrular. Sigma sıfır olduğunda, sanal eksen üzerinde, üstel fonksiyon sabit genliğe sahiptir. Yanıt sabit genlikle süresiz salınır.
5. Birinci derece sistemi kutbuna göre sınıflandır
Nedensel uygun rasyonel LTI sistemde BIBO kararlılık, indirgenmiş transfer fonksiyonunun bütün kutuplarının açık sol yarı düzlemde olmasını gerektirir.
Birinci derece bir sistemi düşünelim.
Transfer fonksiyonu H s eşittir bir bölü s artı a'dır.
Bu sistemin tek bir kutbu s eşittir eksi a noktasındadır.
Eğer a pozitifse, kutup sol yarı düzlemdedir ve sistem kararlıdır.
Basamak yanıtı bir bölü a son değerine yükselir ve orada kalır.
Eğer a negatifse, kutup sağ yarı düzlemdedir ve sistem kararsızdır.
Basamak yanıtı sınırsız üstel büyür.
Eğer a sıfırsa, kutup orijindedir ve basamak yanıtı bir rampa olur ki bu sınırsızdır.
Dolayısıyla orijindeki basit bir kutup, basamak girişi için sistemi kararsız yapar.
Sesli anlatım metni
Birinci derece bir sistemi düşünelim. Transfer fonksiyonu H s eşittir bir bölü s artı a'dır. Bu sistemin tek bir kutbu s eşittir eksi a noktasındadır. Eğer a pozitifse, kutup sol yarı düzlemdedir ve sistem kararlıdır. Basamak yanıtı bir bölü a son değerine yükselir ve orada kalır. Eğer a negatifse, kutup sağ yarı düzlemdedir ve sistem kararsızdır. Basamak yanıtı sınırsız üstel büyür. Eğer a sıfırsa, kutup orijindedir ve basamak yanıtı bir rampa olur ki bu sınırsızdır. Dolayısıyla orijindeki basit bir kutup, basamak girişi için sistemi kararsız yapar.
6. İkinci derece sistemi sönüm oranına göre sınıflandır
Nedensel uygun rasyonel LTI sistemde BIBO kararlılık, indirgenmiş transfer fonksiyonunun bütün kutuplarının açık sol yarı düzlemde olmasını gerektirir.
İkinci derece bir sistem için transfer fonksiyonu omega n kare bölü s kare artı iki zeta omega n s artı omega n karedir.
Kutuplar s eşittir eksi zeta omega n artı eksi omega n çarpı zeta kare eksi birin kareköküdür.
Zeta sıfır ile bir arasında olduğunda, kutuplar sol yarı düzlemde kompleks eşlenik çifttir.
ωₙ>0 ve 0<ζ<1 için sistem salınımlı sönümle BIBO kararlıdır.
ζ→0⁺ iken sönüm yavaşlar; ζ=0 olduğunda basit ±jωₙ kutupları nedeniyle sistem BIBO kararsızdır.
Zeta negatif olduğunda kutuplar sağ yarı düzleme geçer ve sistem kararsız olur.
Sesli anlatım metni
İkinci derece bir sistem için transfer fonksiyonu omega n kare bölü s kare artı iki zeta omega n s artı omega n karedir. Kutuplar s eşittir eksi zeta omega n artı eksi omega n çarpı zeta kare eksi birin kareköküdür. Zeta sıfır ile bir arasında olduğunda, kutuplar sol yarı düzlemde kompleks eşlenik çifttir. Sistem salınımlı sönümle kararlıdır. Zeta sıfıra yaklaştıkça kutuplar sanal eksene doğru hareket eder ve salınımlar daha kalıcı hale gelir. Zeta negatif olduğunda kutuplar sağ yarı düzleme geçer ve sistem kararsız olur.
7. Tek basamak cevabı ile BIBO ölçütünü ayır
Nedensel uygun rasyonel LTI sistemde BIBO kararlılık, indirgenmiş transfer fonksiyonunun bütün kutuplarının açık sol yarı düzlemde olmasını gerektirir.
Üç farklı basamak yanıtını karşılaştıralım.
Soldaki kararlı sistem, son değerine oturan sönümlü bir salınım gösterir.
Bu, sol yarı düzlemdeki kutuplara karşılık gelir.
Ortadaki basit sanal-eksen kutuplu örneğin basamak cevabı sınırlı kalabilir.
Bu tek basamak deneyi BIBO kararlılığı kanıtlamaz; rezonans frekansındaki sınırlı sinüs girişi sınırsız çıkış üretebilir.
Sağdaki kararsız sistem, ıraksayan büyüyen salınımlar gösterir.
Bu, sağ yarı düzlemdeki kutuplara karşılık gelir.
BIBO kararlılık tek bir basamak cevabıyla değil, her sınırlı giriş koşuluyla sınanır.
Sesli anlatım metni
Üç farklı basamak yanıtını karşılaştıralım. Soldaki kararlı sistem, son değerine oturan sönümlü bir salınım gösterir. Bu, sol yarı düzlemdeki kutuplara karşılık gelir. Ortadaki marjinal kararlı sistem, asla yerleşmeyen sabit genlikli salınım gösterir. Bu, sanal eksen üzerindeki basit kutuplara karşılık gelir. Sağdaki kararsız sistem, ıraksayan büyüyen salınımlar gösterir. Bu, sağ yarı düzlemdeki kutuplara karşılık gelir. Yanıtın kararlılığı tamamen kutup konumları tarafından belirlenir.
8. Sanal-eksen kutuplarını ve katlılığı yorumla
Nedensel uygun rasyonel LTI sistemde BIBO kararlılık, indirgenmiş transfer fonksiyonunun bütün kutuplarının açık sol yarı düzlemde olmasını gerektirir.
Sanal eksen üzerindeki kutuplar için önemli bir ayrım vardır.
Basit sanal-eksen kutupları sıfır-giriş cevabında marjinal diye adlandırılabilir; BIBO ölçütünde ise kararsızdır.
Ancak sanal eksen üzerindeki tekrarlanan kutuplar, zamanla büyüyen yanıtlar üretir.
Örneğin orijinde çift kutup, basamak girişine rampa yanıtı verir.
Artı eksi j omega'da çift kutup, genliği doğrusal olarak artan salınımlar üretir, t çarpı sinüs omega t.
Tekrarlanan sanal-eksen kutupları da BIBO kararsızdır; katlılık büyümenin şiddetini artırır.
Sesli anlatım metni
Sanal eksen üzerindeki kutuplar için önemli bir ayrım vardır. Sanal eksen üzerindeki basit kutuplar sınırlı salınımlar üretir, bu nedenle sistem marjinal kararlıdır. Ancak sanal eksen üzerindeki tekrarlanan kutuplar, zamanla büyüyen yanıtlar üretir. Örneğin orijinde çift kutup, basamak girişine rampa yanıtı verir. Artı eksi j omega'da çift kutup, genliği doğrusal olarak artan salınımlar üretir, t çarpı sinüs omega t. Bu nedenle tekrarlanan sanal eksen kutupları sistemi BIBO kararsız yapar.
9. BIBO kararlılık kurallarını toparla
Nedensel uygun rasyonel LTI sistemde BIBO kararlılık, indirgenmiş transfer fonksiyonunun bütün kutuplarının açık sol yarı düzlemde olmasını gerektirir.
BIBO kararlılık kurallarını özetleyelim.
İndirgenmiş H(s)'nin tüm kutupları açık sol yarı düzlemdeyse sistem BIBO kararlıdır.
Herhangi bir kutup sağ yarı düzlemdeyse sistem BIBO kararsızdır.
Sanal eksende basit kutup varsa sistem BIBO kararsızdır; marjinal sözü yalnızca uygun sıfır-giriş/iç kararlılık bağlamına aittir.
Sanal eksende tekrarlanan kutup varsa sistem BIBO kararsızdır ve doğal cevap da büyüyebilir.
Bu kutup kuralı nedensel, sonlu boyutlu, uygun rasyonel LTI sistemin indirgenmiş transfer fonksiyonu içindir; gizli kararsız iç kipleri ayrıca denetlemek gerekir.
Bir sonraki derste Routh-Hurwitz kriterini inceleyeceğiz.
Bu, gerçek kutup konumlarını hesaplamadan kararlılığı kontrol eden cebirsel bir yöntemdir.
Bu, özellikle kök bulmanın zor olduğu yüksek dereceli sistemler için kullanışlıdır.
Sesli anlatım metni
BIBO kararlılık kurallarını özetleyelim. Tüm kutuplar sol yarı düzlemde ise sistem kararlıdır. Herhangi bir kutup sağ yarı düzlemde ise sistem kararsızdır. Sanal eksen üzerinde basit kutuplar varsa sistem marjinal kararlıdır. Sanal eksen üzerinde tekrarlanan kutuplar varsa sistem kararsızdır. Bu kurallar, transfer fonksiyonu ile tanımlanan her doğrusal zamanla değişmeyen sistem için geçerlidir. Bir sonraki derste, Raut Hurwitz kriterini inceleyeceğiz. Bu, gerçek kutup konumlarını hesaplamadan kararlılığı kontrol eden cebirsel bir yöntemdir. Bu, özellikle kök bulmanın zor olduğu yüksek dereceli sistemler için kullanışlıdır.