#43 Geçici Analiz #43 — Basamak cevabı ve RC şarj

Aşağıda defterde yazılan bütün satırlar ve bunlara eşlik eden sesli anlatımın tam metni bulunur.

1. 1. Doğal, zorlanmış ve tam cevap

   

   t=0 anında sabit bir kaynak uygulansın

   Doğal cevap başlangıçta depolanan enerjiden gelir

   Zorlanmış cevap kaynağın sürüklediği kararlı haldir

   Tam cevap = doğal cevap + zorlanmış cevap

   Doğal bileşen üstel olarak söner

   Zorlanmış bileşen son değeri belirler

   Birinci derece devrede tek zaman sabiti vardır

   Anahtarlama öncesi koşul başlangıcı belirler

   Uzun zaman analizi son değeri verir

   Sesli anlatım metni

   Şimdiye kadar doğal cevabı inceledik; devre, dış kaynak olmadan depolanmış enerjisini serbest bırakıyordu. Şimdi basamak cevabını tanıtıyoruz. t eşittir sıfırda devreye aniden sabit bir gerilim veya akım kaynağı uyguladığımızda ne olur? Tam cevabın iki bileşeni var. Doğal cevap, başlangıç enerjisinin sürdürdüğü bildiğimiz üstel azalmadır. Zorlanmış cevap ise kaynağın devreyi sürüklediği kararlı hal durumudur. Tam cevap, doğal cevap artı zorlanmış cevaba eşittir. Bu, birinci derece devre analizindeki en önemli kavramdır.

2. 2. Genel formül ve üç adımlı yöntem

   

   $\displaystyle x\left(t\right)=x\left(\infty \right)+\left[x\left(0⁺\right)-x\left(\infty \right)\right]e^{(}-t/\tau )$

   x(0⁺): anahtarlamadan hemen sonraki değer

   x(∞): uzun zamandaki kararlı değer

   τ: geçici rejimin hızını belirleyen zaman sabiti

   1) x(0⁺) değerini bul

   2) x(∞) değerini bul

   3) τ değerini bul

   RC için τ=R_eq C

   RL için τ=L/R_eq

   Sesli anlatım metni

   İşte basamak girişli herhangi bir birinci derece devre için genel formül. x of t eşittir x sonsuz artı x sıfır eksi x sonsuz çarpı e üssü eksi t bölü tau. Her terimi açıklayalım. x sonsuz, son kararlı hal değeridir; devrenin uzun süre sonra yerleştiği değer. x sıfır, anahtarlama anındaki başlangıç değeridir. Ve tau, zaman sabitidir; kapasitör devreleri için Ar Si, indüktör devreleri için L bölü R. Herhangi bir birinci derece basamak cevabını çözmek için üç adımlı yöntem şudur: birinci adım, başlangıç koşullarından x sıfırı bul. İkinci adım, devreyi kararlı halde analiz ederek x sonsuzu bul; kapasitörler açık devre, indüktörler kısa devredir. Üçüncü adım, depolama elemanının gördüğü eşdeğer direnci hesaplayarak tau yu bul. Sonra üç değeri genel formüle yerleştir. Bu kadar.

3. 3. RC şarj devresinin üç değeri

   

   Anahtar t=0 anında kapanıyor

   Kapasitör başlangıçta yüksüz

   $\displaystyle v_{C}\left(0⁺\right)=0 V$

   Uzun zamanda kapasitör açık devredir

   Akım sıfıra iner

   $\displaystyle v_{C}\left(\infty \right)=V_{S}$

   Kapasitörün gördüğü direnç R

   τ=RC

   Artık genel formül için üç değer hazır

   Sesli anlatım metni

   Bu formülü bir Ar Si şarj devresine uygulayalım. Bir gerilim kaynağı V S, bir anahtar aracılığıyla seri bağlı direnç R ve kapasitör Si ye bağlı. Anahtar t eşittir sıfırda kapanır. Anahtarlamadan önce kapasitör yüksüzdür, yani V Si sıfır eşittir sıfır. Uzun süre sonra kapasitör kaynak gerilimine tamamen şarj olur, yani V Si sonsuz eşittir V S. Zaman sabiti tau eşittir R çarpı Si dir. Üç değerimiz: başlangıç sıfır, son değer V S ve tau eşittir R Si.

4. 4. RC şarj gerilimi ve akımı

   

   Genel formülde x=v_C seç

   v_C(t)=V_S+[0−V_S]e⁽−t/RC)

   v_C(t)=V_S(1−e⁽−t/RC))

   Gerilim sıfırdan V_S'ye yükselir

   i(t)=(V_S/R)e⁽−t/RC)

   Akım V_S/R değerinden sıfıra iner

   t=τ: v_C son değerin yüzde 63,2'sidir

   t=5τ: v_C yüzde 99,3'e ulaşır

   Gerilim yükselirken akım azalır

   Sesli anlatım metni

   Genel formüle yerleştirelim: V Si of t eşittir V S artı sıfır eksi V S çarpı e üssü eksi t bölü R Si. Sadeleştirirsek, V Si of t eşittir V S çarpı bir eksi e üssü eksi t bölü R Si. Bu, Ar Si şarj denklemidir. Gerilim sıfırdan başlar ve üstel olarak V S ye yükselir. t eşittir tau da, V Si, V S nin yüzde altmış üç nokta ikisine ulaşır. Beş tau da yüzde doksan dokuz nokta üçe ulaşır, yani temelde tam şarj olmuştur. Akım ise: i of t eşittir V S bölü R çarpı e üssü eksi t bölü R Si. Akım V S bölü R maksimumundan başlar ve üstel olarak sıfıra azalır. Dikkat edin: gerilim yükselirken akım düşer. Enerji kaynaktan direnç üzerinden kapasitöre akar.

5. 5. 12 V RC şarj sayısal örneği

   

   $\displaystyle R=10 k\Omega , C=100 \mu F, V_{S}=12 V$

   R=10 000 Ω ve C=100×10⁻⁶ F

   τ=RC=1 s

   $\displaystyle v_{C}\left(t\right)=12\left(1-e^{(}-t)\right) V$

   $\displaystyle i\left(t\right)=12/10 000\cdot e^{(}-t) A$

   i(t)=1,2e⁽−t) mA

   $\displaystyle v_{C}\left(1 s\right)=7,59 V$

   $\displaystyle v_{C}\left(3 s\right)=11,40 V$

   $\displaystyle v_{C}\left(5 s\right)=11,92 V$

   Sesli anlatım metni

   Sayısal bir örnek çözelim. Verilen: R eşittir on kiloom, Si eşittir yüz mikrofarad ve V S eşittir on iki volt. Birinci adım: başlangıç koşulu V Si sıfır eşittir sıfır volt, kapasitör yüksüz başlıyor. İkinci adım: son değer V Si sonsuz eşittir on iki volt. Üçüncü adım: zaman sabiti tau eşittir R çarpı Si eşittir on bin çarpı yüz çarpı on üssü eksi altı, bu da bir saniye eder. Şimdi formülü uygulayalım: V Si of t eşittir on iki çarpı bir eksi e üssü eksi t. t eşittir bir saniyede, V Si eşittir on iki çarpı bir eksi e üssü eksi bir, yani on iki çarpı sıfır nokta altı üç iki, bu da yedi nokta elli dokuz volt verir. t eşittir üç saniyede, V Si eşittir on iki çarpı bir eksi e üssü eksi üç, bu da on bir nokta dört volta eşittir. t eşittir beş saniyede, V Si eşittir on bir nokta doksan iki volt, temelde on iki. Akım: i of t eşittir on iki bölü on bin çarpı e üssü eksi t, yani bir nokta iki miliamper çarpı e üssü eksi t.

6. 6. Basamak cevabı çözüm kontrolü

   

   Önce başlangıç ve son devreleri çiz

   Enerji depolayan değişken süreklidir

   $\displaystyle v_{C}\left(0⁺\right)=v_{C}\left(0⁻\right)$

   Kararlı halde kapasitör açık devredir

   x(0⁺), x(∞), τ üçlüsünü doğrula

   Sonucu t=0 ve t→∞ sınırlarında test et

   Üstel terimin boyutsuz olduğuna bak

   Bir tau yüzde 63,2; beş tau yüzde 99,3

   Sonraki adım: aynı yöntemle RL basamak cevabı

   Sesli anlatım metni

   Özetleyelim. Genel birinci derece basamak cevabı formülü: x of t eşittir x sonsuz artı x sıfır eksi x sonsuz çarpı e üssü eksi t bölü tau. Üç adımlı yöntem: x sıfırı bul, x sonsuzu bul, tau yu bul, sonra yerine koy. Ar Si şarj için: V Si of t eşittir V S çarpı bir eksi e üssü eksi t bölü R Si. Gerilim sıfırdan V S ye yükselir. Akım V S bölü R dan sıfıra azalır. Bir tau da yüzde altmış üç tamamlanmıştır. Beş tau da yüzde doksan dokuz tamamlanmıştır. Bir sonraki derste aynı formülü Ar El basamak cevabına uygulayacağız.