#46 Geçici Analiz #46 — Birinci derece problem çözümü

Aşağıda defterde yazılan bütün satırlar ve bunlara eşlik eden sesli anlatımın tam metni bulunur.

1. 1. Evrensel üç adımlı yöntem

   

   Her RC/RL problemini üç değerle düzenle

   1) x(0⁺): süreklilikten başlangıç

   2) x(∞): DC kararlı halden son değer

   3) τ: depolama elemanının gördüğü eşdeğer

   Kapasitör gerilimi anlık sıçramaz

   İndüktör akımı anlık sıçramaz

   DC'de C açık, L kısa devredir

   RC: τ=R_eqC · RL: τ=L/R_eq

   $\displaystyle x\left(t\right)=x\infty +\left(x0-x\infty \right)e^{(}-t/\tau )$

   Sesli anlatım metni

   Birinci derece problem çözüm oturumumuza hoş geldiniz. Önceki derslerde Ar Si ve Ar El devrelerinin basamak girişlerine nasıl cevap verdiğini öğrendik. Bugün artan zorlukta dört problem çözerek pratik yapacağız. Başlamadan önce evrensel üç adımlı yöntemi hatırlayalım. Adım bir: x of sıfır, yani başlangıç değerini bul. Bu, anahtarın çalışmasından hemen önceki devre koşullarından gelir. Adım iki: x of sonsuz, yani son değeri bul. Bu, anahtardan çok sonra kararlı hal değeridir. Kapasitör için akım akmaz, yani kapasitör açık devre gibi davranır. İndüktör için gerilim düşmez, yani kısa devre gibi davranır. Adım üç: tav, yani zaman sabitini bul. Ar Si devrelerinde tav eşittir Ar Si. Ar El devrelerinde tav eşittir El bölü Ar. Sonra tam çözüm şudur: x of t eşittir x of sonsuz artı x of sıfır eksi x of sonsuz, çarpı e üssü eksi t bölü tav.

2. 2. Problem 1: başlangıç gerilimli RC

   

   $\displaystyle V_{S}=20 V, R=5 k\Omega , C=2 \mu F, v_{C}\left(0⁻\right)=5 V$

   $\displaystyle v_{C}\left(0⁺\right)=5 V$

   Kararlı halde akım sıfırdır

   $\displaystyle v_{C}\left(\infty \right)=20 V$

   τ=RC=(5 kΩ)(2 μF)

   τ=10 ms

   Genel formüle yerleştir

   $\displaystyle v_{C}\left(t\right)=20-15e^{(}-100t) V$

   t=0 ve t→∞ kontrolleri geçer

   Sesli anlatım metni

   Problem bir. Basit bir Ar Si basamak cevabı. Bir gerilim kaynağımız var, V S eşittir yirmi volt, t eşittir sıfırda kapanan bir anahtarla seri bağlı. Direnç Ar eşittir beş kiloom, kapasitör Si eşittir iki mikrofarad. Başlangıç kapasitör gerilimi v Si of sıfır eksi eşittir beş volt. t büyük eşit sıfır için v Si of t yi bulun. Adım bir: başlangıç değeri. Süreklilik ilkesine göre kapasitör gerilimi anlık olarak değişemez. Yani v Si of sıfır artı eşittir v Si of sıfır eksi eşittir beş volt. Adım iki: son değer. t sonsuza giderken kapasitör kaynak gerilimine tamamen şarj olur. Akım akmaz, yani v Si of sonsuz eşittir yirmi volt. Adım üç: zaman sabiti. Tav eşittir Ar Si eşittir beş çarpı on üssü üç, çarpı iki çarpı on üssü eksi altı, bu da tav eşittir on milisaniye verir. Şimdi formüle yerleştirelim: v Si of t eşittir yirmi artı beş eksi yirmi çarpı e üssü eksi t bölü sıfır nokta sıfır bir. Bu da v Si of t eşittir yirmi eksi on beş e üssü eksi yüz t volt olarak sadeleşir. Doğrulayalım: t eşittir sıfırda, v Si eşittir yirmi eksi on beş eşittir beş volt. Doğru. t sonsuza giderken üstel terim kaybolur ve v Si eşittir yirmi volt. Bu da doğru.

3. 3. Problem 2: Thevenin eşdeğerli RL

   

   V_S=30 V, R₁=6 Ω, R₂=3 Ω, L=12 mH

   İndüktörü çıkarıp uçlarından Thevenin bul

   $\displaystyle V_{T}h=30\cdot \frac{3}{6+3}=10 V$

   $\displaystyle R_{T}h=6∥3=2 \Omega$

   $\displaystyle i_{L}\left(0⁺\right)=0 A$

   $\displaystyle i_{L}\left(\infty \right)=V_{T}h/R_{T}h=5 A$

   τ=L/R_Th=6 ms

   Üstel katsayı yaklaşık 166,67 s⁻¹

   i_L(t)=5(1−e⁽−t/6ms)) A

   Sesli anlatım metni

   Problem iki. Thevenin sadeleştirmesi gerektiren bir Ar El devresi. Otuz voltluk bir kaynağımız var, seri bağlı Ar bir eşittir altı oom. Sonra devre iki paralel kola ayrılıyor. Birinci kolda Ar iki eşittir üç oom var. İkinci kolda El eşittir on iki milihenri indüktör var. Anahtar t eşittir sıfırda kapanıyor ve başlangıç indüktör akımı sıfır. i El of t yi bulun. Üç adımlı yöntemi uygulamadan önce, indüktörün gördüğü Thevenin eşdeğerini bulmamız gerekiyor. Thevenin gerilimi: V Te Ha eşittir V S çarpı Ar iki bölü Ar bir artı Ar iki, eşittir otuz çarpı üç bölü dokuz, eşittir on volt. Thevenin direnci: Ar Te Ha eşittir Ar bir paralel Ar iki eşittir altı çarpı üç bölü altı artı üç, eşittir iki oom. Şimdi üç adım. Adım bir: i El of sıfır artı eşittir sıfır amper. Adım iki: i El of sonsuz eşittir V Te Ha bölü Ar Te Ha eşittir on bölü iki eşittir beş amper. Adım üç: tav eşittir El bölü Ar Te Ha eşittir sıfır nokta sıfır on iki bölü iki eşittir altı milisaniye. Çözüm: i El of t eşittir beş çarpı bir eksi e üssü eksi yüz altmış yedi t amper. Buradaki önemli ders şu: depolama elemanının gördüğü devrede birden fazla direnç ve kaynak varsa, her zaman önce Thevenin eşdeğerini bulun.

4. 4. Problem 3: ardışık anahtarlama

   

   $\displaystyle R₁=R₂=20 k\Omega , C=1 \mu F, V_{S}=10 V$

   Bölge 1: 0≤t<40 ms

   τ₁=20 ms; hedef 10 V

   v_C=10(1−e⁽−t/20ms))

   v_C(40 ms)=8,6466 V

   Bölge 2: t≥40 ms ve t′=t−40 ms

   R_Th=10 kΩ, τ₂=10 ms, hedef 5 V

   Başlangıç 8,6466 V olarak süreklidir

   v_C=5+3,6466e⁽−t′/10ms) V

   Sesli anlatım metni

   Problem üç. Ardışık anahtarlama. Bugünün en ilginç problemi bu. On voltluk bir kaynağımız var, Ar bir eşittir yirmi kiloom, Ar iki eşittir yirmi kiloom ve kapasitör Si eşittir bir mikrofarad. Anahtar bir, t eşittir sıfırda kapanarak kaynağı Ar bir üzerinden kapasitöre bağlıyor. Kapasitör sıfır volttan başlıyor. Anahtar iki, t eşittir kırk milisaniyede kapanarak Ar ikiyi kapasitöre paralel ekliyor. Bunu iki bölgede çözmemiz gerekiyor. Bölge bir: sıfırdan kırk milisaniyeye kadar. Devrede sadece Ar bir ve Si var. Tav bir eşittir Ar bir çarpı Si eşittir yirmi çarpı on üssü üç çarpı bir çarpı on üssü eksi altı, eşittir yirmi milisaniye. v Si of sıfır eşittir sıfır. v Si of sonsuz eşittir on volt. Yani v Si of t eşittir on çarpı bir eksi e üssü eksi t bölü sıfır nokta sıfır iki. t eşittir kırk milisaniyede: v Si eşittir on çarpı bir eksi e üssü eksi iki, eşittir sekiz nokta altmış beş volt. Bölge iki: t büyük eşit kırk milisaniye. Şimdi Ar iki, Si ye paralel. Thevenin direnci Ar bir paralel Ar iki eşittir on kiloom olur. Tav iki eşittir on kiloom çarpı bir mikrofarad eşittir on milisaniye. Thevenin gerilimi V S çarpı Ar iki bölü Ar bir artı Ar iki, eşittir on çarpı yirmi bölü kırk, eşittir beş volt. t üssül eşittir t eksi sıfır nokta sıfır kırk kullanarak: v Si eşittir beş artı üç nokta altmış beş çarpı e üssü eksi yüz t üssül volt. Kapasitör on volta doğru şarj oluyordu ama Ar iki devreye girdiğinde yeni hedef beş volta düşüyor ve zaman sabiti yarıya iniyor.

5. 5. Problem 4: hedefe ulaşma zamanı

   

   $\displaystyle V_{S}=10 V, R=2 k\Omega , C=50 \mu F, v_{C}\left(0\right)=0$

   τ=RC=100 ms

   $\displaystyle v_{C}\left(t\right)=10\left(1-e^{(}-10t)\right)$

   Hedef için v_C=8 V yaz

   $\displaystyle 0,8=1-e^{(}-10t)$

   $\displaystyle e^{(}-10t)=0,2$

   $\displaystyle -10t=\ln \left(0,2\right)=-1,609$

   t=0,16094 s≈161 ms

   $\displaystyle t\approx 1,61\tau$

   Sesli anlatım metni

   Problem dört. Bir sinyalin belirli bir değere ne zaman ulaştığını bulma. V S eşittir on volt, Ar eşittir iki kiloom, Si eşittir elli mikrofarad ve v Si of sıfır eşittir sıfır. Anahtar t eşittir sıfırda kapanıyor. Soru: kapasitörün sekiz volta ulaşması ne kadar sürer? Önce zaman sabiti: tav eşittir Ar Si eşittir iki bin çarpı elli çarpı on üssü eksi altı, eşittir yüz milisaniye. Cevap: v Si of t eşittir on çarpı bir eksi e üssü eksi on t. Bunu sekize eşitleriz: sekiz eşittir on çarpı bir eksi e üssü eksi on t. İki tarafı ona böleriz: sıfır nokta sekiz eşittir bir eksi e üssü eksi on t. Düzenlersek: e üssü eksi on t eşittir sıfır nokta iki. Doğal logaritma alırsak: eksi on t eşittir sıfır nokta ikinin doğal logaritması, bu da eksi bir nokta altı sıfır dokuz eder. Dolayısıyla t eşittir sıfır nokta yüz altmış bir saniye, yani yüz altmış bir milisaniye. Bu yaklaşık bir nokta altmış bir tav dır. Yani kapasitör son değerinin yüzde seksenine yaklaşık bir nokta altı zaman sabitinde ulaşır. Bu çok pratik bir sonuçtur. Örneğin dijital devrelerde, bu size bir sinyalin güvenilir şekilde okunması için gereken minimum süreyi söyler.

6. 6. Birinci derece problem çözme özeti

   

   Formülü ezberlemekten önce devreyi düzenle

   Başlangıç, son değer ve tau'yu ayrı bul

   Q1: süreklilikli RC basamak

   Q2: önce Thevenin, sonra RL cevabı

   Q3: her anahtarlamada yeni bölge

   Anahtarlama değeri sonraki başlangıçtır

   Q4: hedef değeri yazıp logaritma al

   Her sonuçta t=0, t→∞ ve birim kontrolü yap

   Sonraki konu: ikinci derece paralel RLC

   Sesli anlatım metni

   Özetleyelim. Dört birinci derece devre problemi çözdük. Problem bir, basit bir Ar Si basamak cevabıydı. Üç adımlı formülü doğrudan uyguladık: başlangıç değeri beş volt, son değer yirmi volt, tav on milisaniye. Problem iki, Thevenin sadeleştirmesini tanıttı. İndüktör birden fazla bileşen gördüğünde, önce V Te Ha ve Ar Te Ha yı bulun, sonra aynı formülü uygulayın. Problem üç, ardışık anahtarlamayı gösterdi. Devre t eşittir kırk milisaniyede değişiyor ve her biri kendi zaman sabiti ve son değerine sahip iki ayrı bölge oluşturuyor. Önemli nokta, anahtarlama anındaki gerilimi bir sonraki bölge için başlangıç koşulu olarak kullanmaktır. Problem dört, bir gerilimin hedef değere ne zaman ulaştığını bulmayı gösterdi. Formülü hedefe eşitleyip doğal logaritma kullanarak t yi çözün. Bir sonraki derste paralel Ar El Si yapılandırmasıyla ikinci derece devrelere başlıyoruz.