Sinyaller ve Sistemler · Birleşik ayrık zaman dönüşümleri ve periyodik diziler

#06 Tam sayı indeks eşlemesi, önce kaydır sonra ölçekle ve periyodik uzantı

Kaydırma ile tam sayı ölçeklemeyi birleştirin; orijin işaretçisini izleyin ve gösterilen beş periyotlu dizinin sıfır aralıklarını genel ayrık zaman tanımından ayırın.

Soru

Mevcut Türkçe ayrık zaman dönüşümleri dersinden tam referans karesi — Aynı kaynaktan referans. Aynı kaydırma ve ölçeklemenin sırasını ters çevirmek genel olarak sonucu değiştirir. Her periyottaki iki sıfır örnek, gösterilen üç değerli ve beş periyotlu desene aittir; ayrık zaman tanımının gereği değildir.

Dizileri bütün tam sayı indekslerde tanımlayın. Tam sayı olmayan bir zaman, kendiliğinden sıfır değil tanım kümesinin dışındadır. Sonlu bir vektör diziyi belirtiyorsa ilk indeksini ve listelenen desteğin dışındaki sıfır değerini açıklayın. Örnek indeksi n, sıfır olmayan tam sayı ölçekleme M, tam sayı kaydırma n0 ve pozitif tam sayı periyot N birbirinden ayrılmalıdır. y[n]=x[M*n+n0] için önce v[n]=x[n+n0], sonra y[n]=v[M*n] tanımlayın. M birden büyükse seyreltme yapılır; negatif M ayrıca sıralamayı ters çevirir. Çalışılan örnek M=2 ve n0=1 kullanır. Aynı işlemleri değiştirmeden ters sırada uygulamak genel olarak x[M*n+M*n0] verir. Sıfır kaydırma, birim ölçekleme, sıfır dizi veya özel sinyal simetrilerinde sonuçlar eşit olabilir. Önce ölçekleyerek aynı hedefe ulaşmak, n0/M tam sayı olduğunda uygun telafi kaydırmasıyla mümkündür; olağan bir dizide kesirli kaydırmanın tanımlı olduğunu varsaymayın. Kaynağın sıralama uyarısı işlem sırasına bağlılığa ilişkin genel bir uyarıdır, her özel durumda sonuçların farklı olduğu iddiası değildir. Enterpolasyon veya yeniden oluşturma örtük olarak yapılmaz. Mevcut örnek grafiğinde x[-3..3]=[1,-1,2,0.5,-0.5,1.5,1] ve diğer indekslerde sıfırdır. v[n]=x[n+1] altında değer sırası korunur, indeksler -4 ile 2 arasına geçer. Sabit değer listesindeki orijin işaretçisi 0.5 değerinden bir sonraki -0.5 değerine, yani bir konum sağa gider; n ekseninde sinyal bir örnek sola kayar. Bu iki anlatım uyumludur. y[n]=v[2*n] için v dizisinin -4,-2,0,2 indekslerini tutup indeksleri ikiye bölün. Sonuç -2,-1,0,1 indekslerinde [1,2,-0.5,1], başka yerde sıfırdır. Eşdeğer olarak özgün x dizisinin -3,-1,1,3 indekslerini seçin. Atılan değerler sonuç içine enterpole edilmez. Bir pozitif tam sayı N için bütün tam sayı n değerlerinde y[n+N]=y[n] ise dizi periyodiktir. Bu N temel periyot olmak zorunda değildir; temel periyot en küçük pozitif tam sayı periyottur. Sonlu destekli x için bütün tam sayı k değerleri üzerinde y[n]=sum x[n-k*N] iyi tanımlıdır; her n için yalnız sonlu sayıda terim katkı verir. k indeksini yeniden adlandırmak N periyodikliğini kanıtlar. Destek kopya aralığından genişse kopyalar örtüşür ve toplanır. Genel oluşturma için sıfır aralığı veya örtüşmeme şartı koymayın. Periyodik örnekteki belirli temel dizi x[0]=1, x[1]=2, x[2]=-1, başka yerde sıfırdır. N=5 ile periyodik uzantının beşe göre 0,1,2,3,4 kalanlarındaki değerleri [1,2,-1,0,0] olur. k=-1,0,1 kopyaları sırasıyla [-5,-4,-3], [0,1,2] ve [5,6,7] indekslerini doldurur. Aradaki iki tam sayı örneği, üç örneklik destek beş örneklik aralıktan kısa olduğu için sıfırdır. Sabit olmayan bu desende temel periyot da beştir. Karşılaştırma grafiğinin alt bölümünde aynı desen vardır. Anlatımdaki sıfır aralığı ifadesini açıkça bu gösterilen örnekle sınırlandırın; bunu genel bir ayrık zaman/sürekli zaman ayrımı saymayın. İki periyotla tekrarlanan [1,2] temel dizisinde hiçbir sıfır örnek yoktur. Sürekli zamanlı periyodik darbe dizilerinde ise sıfır değerli aralıklar bulunabilir. Tam sayı olmayan argümanlar ayrık dizinin tanım kümesinin dışındadır. Sürekli zaman periyodikliği bütün gerçel t için x(t+T)=x(t) ve pozitif gerçel T kullanır. Ayrık zamanda pozitif tam sayı örnek sayısı N kullanılır. Karşılaştırmanın sürekli zaman grafiği sin(pi*t) olup temel periyodu ikidir; alt grafik yukarıdaki beş örnekli dizidir. Belirli bir sinyale keyfi periyot atanamaz: pozitif gerçel ile pozitif tam sayı karşılaştırması farklı sinyallerde izin verilen periyot türlerini anlatır. Sabit sürekli zamanlı sinyalin bütün pozitif süreleri periyottur, en küçük pozitif periyodu yoktur. Örneği kaynak özetindeki örnekleme, tersine çevirme, seyreltme, üst örnekleme ve temel diziler kavramlarıyla ilişkilendirin.

Yazılı çözüm ve anlatım dökümü(çözümün tamamını gösterir)

Aşağıda defterde yazılan bütün satırlar ve bunlara eşlik eden sesli anlatımın tam metni bulunur.

1. Kaydırma ve tam sayı ölçeklemeyi birleştirin
Aynı kaynaktan referans. Aynı kaydırma ve ölçeklemenin sırasını ters çevirmek genel olarak sonucu değiştirir. Her periyottaki iki sıfır örnek, gösterilen üç değerli ve beş periyotlu desene aittir; ayrık zaman tanımının gereği değildir.
Tam sayı indeksli dizilerle çalışın; önceki kaydırma, ölçekleme ve tersine çevirme işlemlerini birleştirin.
Her işlem indekse etki eder; işlem sırasını ve tam sayı tanım kümesini açık tutun.
M sıfır olmayan tam sayı, n₀ tam sayı olsun; hedef şöyledir:
$\displaystyle y\left[n\right]=x\left[M n+n_{0}\right]$
Bu hedef için geçerli bir ayrıştırma, önce kaydırmak ve sonra tam sayı ölçeklemeyi uygulamaktır.
Kaydırılmış ara diziyi tanımlayın:
$\displaystyle v\left[n\right]=x\left[n+n_{0}\right]$
Ara diziyi ölçeklenmiş indekste değerlendirin:
$\displaystyle y\left[n\right]=v\left[M n\right]=x\left[M n+n_{0}\right]$
Bu iki işlemin sırası genel olarak değiştirilemez.
Aynı işlemleri değiştirmeden ters sırada uygulamak genel olarak başka bir argüman verir:
$\displaystyle z\left[n\right]=x\left[M n+M n_{0}\right]$
Belirtilen ayrıştırmayı kullanın; sıfır kaydırma, birim ölçekleme veya özel sinyal simetrileri iki sıranın aynı sonucu vermesine yol açabilir.
Sesli anlatım metni
Önceki iki derste ayrık zamanlı sinyaller için kaydırma, ölçekleme ve tersine çevirmeyi ayrı ayrı öğrendik. Şimdi bunları birleştiriyoruz. y n eşittir x M n artı n sıfır verildiğinde, bunu nasıl çizeriz? Temel kural şudur: önce kaydır, sonra ölçekle. Adım bir: y bir n eşittir x n artı n sıfır hesaplayın, bu sinyali kaydırır. Adım iki: y n eşittir y bir M n hesaplayın, bu sonucu ölçekler. Bu sıralama önemlidir. Önce ölçekleyip sonra kaydırırsanız farklı bir sonuç elde edersiniz. Her zaman önce kaydırın, sonra ölçekleme işlemini uygulayın.
2. Orijini ve seçilen örnekleri izleyin
Aynı kaynaktan referans. Aynı kaydırma ve ölçeklemenin sırasını ters çevirmek genel olarak sonucu değiştirir. Her periyottaki iki sıfır örnek, gösterilen üç değerli ve beş periyotlu desene aittir; ayrık zaman tanımının gereği değildir.
Kaynak örnekte −3 ile 3 indekslerinde yedi değer, başka yerde sıfır kullanılır:
$\displaystyle \left(x\left[-3\right],x\left[-2\right],x\left[-1\right],x\left[0\right],x\left[1\right],x\left[2\right],x\left[3\right]\right)=\left(1,-1,2,0.5,-0.5,1.5,1\right)$
İstenen dönüşüm şöyledir:
$\displaystyle y\left[n\right]=x\left[2n+1\right]$
Önce bir örnek öne kaydırmayı uygulayın.
Ara dizi şöyledir:
$\displaystyle v\left[n\right]=x\left[n+1\right]$
Sabit değer listesinin sırası korunur; orijin işaretçisi bir konum sağa giderken indeks eksenindeki sinyal bir örnek sola kayar.
Ardından iki katsayısıyla seyreltmeyi uygulayın.
Ara diziyi yalnız çift indekslerde değerlendirin:
$\displaystyle y\left[n\right]=v\left[2n\right]$
−4 ile 2 arasında olan ara indekslere böl ve kontrol et kuralını uygulayın.
Aday çıkış indeksini bulmak için her m ara indeksini ikiye bölün:
$\displaystyle n=\frac{m}{2}$
Yalnız tam sayı sonuçları tutun: −4, −2, 0 ve 2 ara indeksleri −2, −1, 0 ve 1 çıkış indekslerine dönüşür.
Tek ara indeksleri atın; bu seyreltmenin parçası olarak enterpolasyon yapılmaz.
Kalan değerler çıkışı oluşturur; diğer indekslerde değer sıfırdır:
$\displaystyle \left(y\left[-2\right],y\left[-1\right],y\left[0\right],y\left[1\right]\right)=\left(1,2,-0.5,1\right)$
Sesli anlatım metni
Somut bir örnek üzerinde çalışalım. x n verildiğinde, y n eşittir x iki n artı bir bulun. Adım bir: kaydırma. y bir n eşittir x n artı bir hesaplayın. Bu, vektör notasyonunda n eşittir sıfır işaretçisini bir pozisyon sağa kaydırır. Adım iki: ölçekleme. y n eşittir y bir iki n hesaplayın. y bir n'ye böl ve kontrol et yöntemini uygulayın. y bir'deki her indeks için ikiye bölün. Sonuç tam sayı ise o değeri tutun. Aksi takdirde atın. Kalan değerler bize y n eşittir x iki n artı bir verir.
3. Periyodik uzantıyı tanımlayın
Aynı kaynaktan referans. Aynı kaydırma ve ölçeklemenin sırasını ters çevirmek genel olarak sonucu değiştirir. Her periyottaki iki sıfır örnek, gösterilen üç değerli ve beş periyotlu desene aittir; ayrık zaman tanımının gereği değildir.
Periyodik ayrık zamanlı sinyal, tam sayı indeks kümesinde tekrar eder.
Bir pozitif tam sayı N için her tam sayı indekste şu eşitliği isteyin:
$\displaystyle y\left[n+N\right]=y\left[n\right]$
Sonlu destekli temel diziyi her N örnekte tekrarlayın. N bir periyottur; mümkün olan en küçük periyot olmak zorunda değildir.
Periyodik uzantı bütün tam sayı kaydırmalı kopyaları toplar; sonlu destek her noktadaki toplamı sonlu yapar:
$\displaystyle y\left[n\right]=\sum _{k=-\infty }^{\infty }x\left[n-k N\right]$
Her kopya N değerinin bir katı kadar kayar. Örtüşen kopyalar toplanır; genel oluşturma sıfır aralığı gerektirmez.
Sesli anlatım metni
Şimdi periyodik ayrık zamanlı sinyalleri tartışalım. Bir ayrık zamanlı sinyal y n, N pozitif bir tam sayı olmak üzere, tüm n için y n eşittir y n artı N ise N periyotlu periyodiktir. Sonlu uzunluklu bir aperiyodik sinyal x n'den her N örnekte tekrarlayarak periyodik bir sinyal oluşturabiliriz. Matematiksel olarak, y n eşittir tüm tam sayı k için x n eksi k N toplamıdır. x n'nin her kopyası N'nin bir katı kadar kaydırılır.
4. Beş periyotlu üç örnekli desen
Aynı kaynaktan referans. Aynı kaydırma ve ölçeklemenin sırasını ters çevirmek genel olarak sonucu değiştirir. Her periyottaki iki sıfır örnek, gösterilen üç değerli ve beş periyotlu desene aittir; ayrık zaman tanımının gereği değildir.
0, 1 ve 2 indeksleri dışında sıfır olan belirli üç örnekli temel diziyi ele alın.
Sıfır olmayan değerleri şöyledir:
$\displaystyle \left(x\left[0\right],x\left[1\right],x\left[2\right]\right)=\left(1,2,-1\right)$
Bu deseni beşin her katına yerleştirin:
$\displaystyle y\left[n\right]=\sum _{k=-\infty }^{\infty }x\left[n-5k\right]$
Özgün kopya 0, 1 ve 2 indekslerini doldurur.
Sonraki kopya 5, 6 ve 7 indekslerini doldurur.
Bir periyot soldaki kopya −5, −4 ve −3 indekslerini doldurur.
Aralığı beş olan bu üç örnekli desende aradaki iki tam sayı örneği sıfırdır:
$\displaystyle y\left[5k+3\right]=y\left[5k+4\right]=0$
Bir periyot aşağıdaki beş değerden oluşur; bu desenin temel periyodu da beştir:
$\displaystyle \left(y\left[0\right],y\left[1\right],y\left[2\right],y\left[3\right],y\left[4\right]\right)=\left(1,2,-1,0,0\right)$
Sesli anlatım metni
Bunu bir örnekle görelim. n eşittir sıfırda bir, n eşittir birde iki ve n eşittir ikide eksi bir olmak üzere üç değerli x n'yi alalım. N eşittir beş periyotlu periyodik bir sinyal oluşturmak için x n'nin kopyalarını beşin her katına yerleştiririz. İlk kopya n eşittir sıfır, bir, iki'de oturur. Sonraki kopya n eşittir beş, altı, yedi'de. Bir diğeri n eşittir eksi beş, eksi dört, eksi üçte. Kopyalar arasında sinyal sıfırdır. Sonuç her beş örnekte tekrar eder ve beş periyotlu periyodik olur.
5. Tanım kümesi ve örneğe özgü sıfır aralıkları
Aynı kaynaktan referans. Aynı kaydırma ve ölçeklemenin sırasını ters çevirmek genel olarak sonucu değiştirir. Her periyottaki iki sıfır örnek, gösterilen üç değerli ve beş periyotlu desene aittir; ayrık zaman tanımının gereği değildir.
Gösterilen sürekli ve ayrık zaman örnekleri üzerinden tanım kümelerini ve izin verilen periyot türlerini karşılaştırın.
Sürekli zaman periyodu, o sinyalin periyodiklik koşulunu sağlayan pozitif gerçel süredir.
Ayrık zaman periyodu, o dizinin periyodiklik koşulunu sağlayan pozitif tam sayı örnek sayısıdır.
Sürekli zaman periyodikliği her gerçel zamanda sağlanır:
$\displaystyle x\left(t+T\right)=x\left(t\right)$
Ayrık zaman periyodikliği her tam sayı indekste sağlanır:
$\displaystyle x\left[n+N\right]=x\left[n\right]$
Her iki oluşturma bir deseni düzenli aralıklarla tekrarlar; örtüşen kopyalar toplanmalıdır.
Karşılaştırmadaki sıfır aralıkları, her beş örnekte tekrarlanan bu üç değerli desene aittir. Başka periyodik dizilerde hiç sıfır bulunmayabilir; tam sayı olmayan zamanlar dizinin tanım kümesi dışında kalır, kendiliğinden sıfır sayılmaz.
Sesli anlatım metni
Periyodik ayrık zamanlı sinyaller, periyodik sürekli zamanlı sinyallerle nasıl karşılaştırılır? Sürekli zamanda periyot T herhangi bir pozitif gerçel sayı olabilir. Ayrık zamanda periyot N pozitif bir tam sayı olmalıdır. Sürekli zamanda x t eşittir x t artı T kullandık. Ayrık zamanda x n eşittir x n artı N kullanırız. Oluşturma yöntemi aynıdır: temel bir desen alıp düzenli aralıklarla tekrarlayın. Ancak ayrık zamanda, sıfır olmayan değerler arasında sinyal tam olarak sıfırdır ve kopyalar arasında net bir ayrım oluşturur.
6. Özet
Aynı kaynaktan referans. Aynı kaydırma ve ölçeklemenin sırasını ters çevirmek genel olarak sonucu değiştirir. Her periyottaki iki sıfır örnek, gösterilen üç değerli ve beş periyotlu desene aittir; ayrık zaman tanımının gereği değildir.
İkinci dersteki ayrık zaman işlemlerini gözden geçirin.
Tam sayı tanım kümesini, vektör orijinini, örnekleme tanımını ve kaydırma yönünü izleyin.
Tersine çevirme, seyreltme ve açıkça tanımlanmış üst örneklemeyi ayırın.
Kaydırma ve ölçeklemeyi belirtilen sırada birleştirin; periyodik uzantı sonlu deseni tekrar edip toplar ve genel olarak sıfır aralığı gerektirmez.
Sonraki ders birim dürtü, birim basamak ve üstel dizileri tanıtır.
Sesli anlatım metni
Ders İki'den her şeyi gözden geçirelim. Dördüncü derste ayrık zamanlı sinyalleri tanımladık, vektör notasyonunu, sürekli zamandan örneklemeyi ve zaman kaydırmayı öğrendik. Beşinci derste zaman tersine çevirme ve zaman ölçeklemeyi, seyreltme ve üst örnekleme dahil olmak üzere ele aldık. Bu derste kaydırma ve ölçeklemeyi önce kaydır sonra ölçekle kuralını kullanarak birleştirdik ve aperiyodik desenleri tekrarlayarak periyodik ayrık zamanlı sinyaller oluşturduk. Bir sonraki derste birim dürtü, birim basamak ve üstel diziler gibi temel ayrık zamanlı sinyalleri inceleyeceğiz.