Kontrol Teorisi · Kontrol Sistemleri

Blok diyagram dönüşümü — F₁, F₂, F₃, F₄ ve bozucu

Seri blokları birleştirip sistem denklemlerini yazarak G₁(s) ve G₂(s)’yi bulma.

Soru

u girişi pozitif işaretle birinci toplama noktasına girer; sinyal sırasıyla F₁, d bozucusunun artı işaretle katıldığı ikinci toplama noktası, F₂ ve F₃ bloklarından geçerek y çıkışını üretir. y çıkışı F₄ üzerinden birinci toplama noktasının eksi girişine geri beslenir.
Özgün blok diyagram — doğrulanmış AcEdumy Manim renderından

Şekil 1'de u girişi F₁, F₂ ve F₃ ileri yolundan geçerek y çıkışını üretmektedir. y çıkışı F₄ üzerinden birinci toplama noktasının eksi girişine geri beslenmekte, d bozucusu ise F₁ ile F₂ arasındaki ikinci toplama noktasına artı işaretle girmektedir. Bu sistemi u → G₁(s) → [Σ + d] → G₂(s) → y biçimine dönüştürerek G₁(s) ve G₂(s)'yi bulun.

Yazılı çözüm ve anlatım dökümü(çözümün tamamını gösterir)

Aşağıda defterde yazılan bütün satırlar ve bunlara eşlik eden sesli anlatımın tam metni bulunur.

  1. 1. Problem

    Özgün diyagramı soldan sağa okuyalım:

    u → Σ1(+) → F1 → Σ2(+) → F2 → F3 → y

    y → F4 → Σ1'in (−) girişi (negatif geri besleme)

    d → Σ2'nin (+) girişi

    İstenen eşdeğer biçim:

    u → G1(s) → [Σ + d] → G2(s) → y

    Aranan: G1(s) = ? G2(s) = ?

    Sesli anlatım metni

    İşte problemimiz. Elimizde dört transfer fonksiyonu F1, F2, F3 ve F4 içeren bir blok diyagram var. Diyagramı anlatayım. u girişi negatif geri beslemeli bir toplama noktasına giriyor. Oradan sinyal F1'den geçiyor. F1'den sonra ikinci bir toplama noktası var. Buraya bozucu d yukarıdan giriyor. Bu noktadan sonra sinyal F2'den, ardından F3'ten geçiyor ve çıkış y oluyor. Geri besleme yolu y'yi alıp F4'ten geçirerek birinci toplama noktasına eksi işaretle gönderiyor. Görevimiz: bunu Şekil 2'deki daha basit forma dönüştürmek. O formda u, G1'den geçiyor, sonra d'nin girdiği bir toplama noktası, ardından G2'den geçerek y'yi üretiyor. Hedef formda geri besleme döngüsü yok. G1 ve G2'yi bulmamız gerekiyor.

  2. 2. Kurallar

    Kullanacağımız kurallar:

    ① Seri: Ga → Gb ⇒ GaGb

    ② Negatif geri besleme: G / (1 + GH)

    ③ İç sinyalleri yazıp Y için doğrudan çöz

    Bu araçlar çözüm için yeterli.

    Sesli anlatım metni

    Başlamadan önce kullanacağımız blok diyagram kurallarını hatırlayalım. Birinci kural: seri bağlantı. Art arda iki blok çarpılır. G1 ardından G2 gelirse sonuç G1 çarpı G2'dir. İkinci kural: negatif geri besleme. İleri yol G ve geri besleme H ise sonuç G bölü bir artı G çarpı H'dir. Ayrıca üçüncü bir teknik kullanacağız: sistem denklemlerini doğrudan yazıp çıkışı çözmek. Bu araçlar bize yeterli.

  3. 3. Seri birleştirme

    1) F2 ve F3'ü seri birleştir:

    P(s) = F2(s) · F3(s)

    Yeni ileri yol:

    u → Σ1 → F1 → [Σ2 + d] → F2F3 → y

    F4 geri besleme yolu değişmeden kalır.

    Sesli anlatım metni

    Birinci adım: F2 ve F3'ü seri birleştirme. Diyagrama baktığımızda F2 ve F3 doğrudan birbirine bağlı, art arda. Seri kuralını kullanarak bunları F2 çarpı F3'e eşit tek bir blokla değiştirebiliriz. Şimdi diyagramımız daha basit görünüyor: u negatif geri beslemeli toplama noktasından geçiyor, sonra F1'den, sonra d'nin girdiği toplama noktasından, ardından birleştirilmiş F2 F3 bloğundan geçerek y çıkışını veriyor. y'den geri besleme hâlâ F4 üzerinden birinci toplama noktasına gidiyor.

  4. 4. Sistem denklemleri

    2) İç sinyalleri tanımlayalım:

    E = U − F4Y

    F1 çıkışı = F1E

    Y = F2F3(F1E + D)

    E'yi yerine koy:

    Y = F2F3[F1(U − F4Y) + D]

    Y = F1F2F3U − F1F2F3F4Y + F2F3D

    Y(1 + F1F2F3F4) = F1F2F3U + F2F3D

    Sesli anlatım metni

    İkinci adım: sistem denklemlerini yazma. Sinyalleri etiketleyelim. Birinci toplama noktasında hata sinyali E eşittir U eksi F4 çarpı Y. F1'den sonra sinyal F1 çarpı E. İkinci toplama noktasında bozucuyu ekliyoruz, dolayısıyla F2 F3'e giren sinyal F1 çarpı E artı D. Çıkış Y eşittir F2 F3 çarpı F1 E artı D. Şimdi E eşittir U eksi F4 Y'yi yerine koyalım. Y eşittir F2 F3 çarpı F1 çarpı U eksi F1 F4 Y artı D. Açalım: Y eşittir F1 F2 F3 U eksi F1 F2 F3 F4 Y artı F2 F3 D. F1 F2 F3 F4 Y terimini sol tarafa taşıyalım. Y çarpı bir artı F1 F2 F3 F4 eşittir F1 F2 F3 U artı F2 F3 D.

  5. 5. G₁ ve G₂

    3) Sağ tarafı çarpanlara ayır:

    Y(1 + F1F2F3F4) = F2F3(F1U + D)

    Y = [F2F3 / (1 + F1F2F3F4)] · (F1U + D)

    Hedef: Y = G2(G1U + D)

    G1(s) = F1(s)

    G2(s) = F2(s)F3(s) / [1 + F1(s)F2(s)F3(s)F4(s)]

    Sesli anlatım metni

    Üçüncü adım: çarpanlara ayırma ve G1, G2'yi belirleme. Denklemimizden, Y çarpı bir artı F1 F2 F3 F4 eşittir F1 F2 F3 U artı F2 F3 D. Sağ tarafta F2 F3'ün ortak çarpan olduğuna dikkat edin. Paranteze alalım: Y çarpı bir artı F1 F2 F3 F4 eşittir F2 F3 çarpı F1 U artı D. Her iki tarafı bir artı F1 F2 F3 F4'e bölelim. Y eşittir F2 F3 bölü bir artı F1 F2 F3 F4, çarpı F1 U artı D. Şimdi bunu hedef formla karşılaştıralım: Y eşittir G2 çarpı G1 U artı D. Terimleri eşleştirerek: G1 eşittir F1. G2 eşittir F2 F3 bölü bir artı F1 F2 F3 F4. İşte cevabımız.

  6. 6. Özet ve sağlama

    Sonuç:

    G1(s) = F1(s)

    G2(s) = F2F3 / (1 + F1F2F3F4)

    u kanalı — D = 0:

    Y/U = G1G2 = F1F2F3 / (1 + F1F2F3F4)

    bozucu kanalı — U = 0:

    Y/D = G2 = F2F3 / (1 + F1F2F3F4)

    İki kanal da özgün diyagramla eşleşir ✓

    Sesli anlatım metni

    Özetleyelim. İleri yolda F1, F2, F3, geri besleme yolunda F4 ve F1 ile F2 arasına giren bozucu d içeren bir blok diyagramla başladık. Üç adımda G1 ve G2'yi bulduk. Birinci adım: F2 ve F3'ü seri birleştirerek F2 F3 elde ettik. İkinci adım: sistem denklemlerini yazıp Y için çözdük. Üçüncü adım: sonucu çarpanlara ayırıp hedef formla eşleştirdik. Sonuç: G1 eşittir F1. G2 eşittir F2 çarpı F3 bölü bir artı F1 F2 F3 F4. İki kural, üç adım, tamam.

Kaynak video: Kontrol Teorisi #27 — Blok Diyagram Dönüşümü (Çözümlü Örnek 4) (4:58)