Blok diyagram sadeleştirme — K₁, K₂, K₃ ve bozucu

Aşağıda defterde yazılan bütün satırlar ve bunlara eşlik eden sesli anlatımın tam metni bulunur.

1. 1. Problem

   Önce diyagramı soldan sağa okuyalım:

   u → Σ₁ → 1/s → x

   x → K₁ → Σ₁'in (−) girişi (negatif geri besleme)

   d → 1/s → Σ₂

   Σ₂ çıkışı → K₂ ∥ (K₃ → 1/s) → y

   İstenen eşdeğer biçim:

   u → G₁(s) → [Σ + d] → G₂(s) → y

   Aranan: G₁(s) = ? G₂(s) = ?

   Sesli anlatım metni

   İşte problemimiz. Elimizde üç kazanç bloğu K1, K2, K3 ve bir bozucu girişi d içeren bir blok diyagram var. u girişi, y ise çıkıştır. Diyagramı anlatayım. u girişi negatif geri beslemeli bir toplama noktasına giriyor. Oradan sinyal bir integratörden, bir bölü s'den geçiyor. Bu integratörün çıkışı, K1 kazancı üzerinden birinci toplama noktasına geri besleniyor. Bu bir negatif geri besleme döngüsü. İntegratörden sonra sinyal ikinci bir toplama noktasına ulaşıyor. Bozucu d, kendi ayrı integratörü bir bölü s üzerinden bu noktaya giriyor. İkinci toplama noktasından sonra sinyal iki paralel yola ayrılıyor. Üst yol doğrudan K2'den geçiyor. Alt yol K3'ten geçiyor, ardından bir bölü s integratöründen geçiyor. İki yol son toplama noktasında birleşerek çıkış y'yi oluşturuyor. Görevimiz: bunu u, G1, toplama noktası ve d, G2, y formuna sadeleştirmek. G1 ve G2'yi açıkça bulmamız gerekiyor.

2. 2. Üç kural

   Kullanacağımız üç blok diyagram kuralı:

   ① Seri: G_a → G_b ⇒ G_aG_b

   ② Paralel: G_a ∥ G_b ⇒ G_a + G_b

   ③ Negatif geri besleme: G / (1 + GH)

   Bu üç kural bize yeterli.

   Sesli anlatım metni

   Sadeleştirmeye başlamadan önce, kullanacağımız üç blok diyagram kuralını hızlıca hatırlayalım. Birinci kural: seri bağlantı. Art arda iki blok çarpılır. G1 ardından G2 gelirse sonuç G1 çarpı G2'dir. İkinci kural: paralel bağlantı. Aynı girişi paylaşan ve çıkışları toplanan iki blok G1 artı G2 verir. Üçüncü kural: negatif geri besleme döngüsü. İleri yol G ve geri besleme H ise sonuç G bölü bir artı G çarpı H'dir. Bu üç kural bize yeterli. Adım adım uygulayalım.

3. 3. Geri besleme

   1) K₁ geri besleme döngüsünü kapat:

   G = 1/s, H = K₁

   G_fb = (1/s) / [1 + (1/s)K₁]

   G_fb = (1/s) / [(s + K₁)/s]

   G_fb = 1/(s + K₁)

   Sesli anlatım metni

   Birinci adım: geri besleme döngüsünü çözme. Diyagramın sol tarafına bakalım. İleri yol bir integratör, bir bölü s. Geri besleme yolu K1 kazancı. Geri besleme kuralını kullanarak, kapalı çevrim transfer fonksiyonu ileri yolun bir artı ileri çarpı geri beslemeye bölümüdür. Bu bize bir bölü s'nin bir artı bir bölü s çarpı K1'e bölümünü verir. Paydayı sadeleştirelim: bir artı K1 bölü s eşittir s artı K1, tamamı bölü s. Dolayısıyla kesir bir bölü s'nin s artı K1 bölü s'ye bölümü olur. Pay ve paydadaki s'ler sadeleşir ve sonuç bir bölü s artı K1 olur. Bu adımdan sonra geri besleme döngüsü tek bir blokla değiştirildi: bir bölü s artı K1.

4. 4. Paralel yollar

   2) Çıkıştaki paralel yolları birleştir:

   üst yol: K₂

   alt yol: K₃ · 1/s = K₃/s

   P(s) = K₂ + K₃/s

   P(s) = (K₂s + K₃)/s

   Sesli anlatım metni

   İkinci adım: paralel yolları birleştirme. İkinci toplama noktasından sonra iki paralel yolumuz var. Üst yol tek başına K2. Alt yol K3'ün ardından bir integratör bir bölü s. Seri kuralını kullanarak K3 çarpı bir bölü s, K3 bölü s verir. Şimdi paralel kuralını uygulayarak birleştirilmiş blok K2 artı K3 bölü s olur. Bunu tek bir kesir olarak yazarsak: K2 çarpı s bölü s artı K3 bölü s eşittir K2 s artı K3, tamamı bölü s. Böylece iki paralel yol tek bir blok oldu: K2 s artı K3, bölü s.

5. 5. d bloğunu taşı

   

   3) d kolundaki 1/s bloğunu taşı:

   A(s) = 1/(s + K₁)

   P(s) = (K₂s + K₃)/s

   y = P(s) [A(s)u + d/s]

   y = [P(s)/s] [sA(s)u + d]

   G₁ = sA, G₂ = P/s

   Artık d, toplama noktasına doğrudan girer.

   Sesli anlatım metni

   Üçüncü adım: hedef forma yeniden düzenleme. Şu anda diyagramımız şöyle görünüyor: u, bir bölü s artı K1'den geçiyor, sonra bir toplama noktasına ulaşıyor. Buraya d, bir integratör bir bölü s üzerinden giriyor. Ardından birleşik sinyal K2 s artı K3 bölü s bloğundan geçerek y'yi üretiyor. Ancak hedef form, d'nin toplama noktasına doğrudan, integratörsüz girmesini gerektiriyor. Bu yüzden o bir bölü s bloğunu taşımamız gerekiyor. İşte yöntem: bir bölü s'yi d'nin yolundan kaldırırsak, telafi etmemiz gerekir. Toplama noktasından önceki yolu s ile çarparız, bu bir bölü s'nin tersidir. Ve toplama noktasından sonraki yolu bir bölü s ile çarparız. Önceki yol: bir bölü s artı K1, çarpı s, eşittir s bölü s artı K1. Sonraki yol: K2 s artı K3 bölü s, çarpı bir bölü s, eşittir K2 s artı K3, bölü s kare. Artık d toplama noktasına doğrudan giriyor ve hedef formumuz elde edildi.

6. 6. Sonuç ve sağlama

   Sonuç:

   G₁(s) = s/(s + K₁)

   G₂(s) = (K₂s + K₃)/s²

   Sağlama — u kanalı:

   Y/U = G₁G₂ = (K₂s + K₃) / [s(s + K₁)]

   Sağlama — d kanalı:

   Y/D = G₂ = (K₂s + K₃)/s²

   Üç kural, üç adım, tamam.

   Sesli anlatım metni

   Özetleyelim. Üç kazanç K1, K2, K3, üç integratör ve bir bozucu girişi d içeren bir blok diyagramla başladık. Üç adımda sadeleştirdik. Birinci adım: K1 geri besleme döngüsünü kapatarak bir bölü s artı K1 elde ettik. İkinci adım: K2 ve K3 paralel yollarını birleştirerek K2 s artı K3 bölü s elde ettik. Üçüncü adım: bozucu integratörünü taşıyarak ileri yolu s ile, bitki yolunu bir bölü s ile çarptık. Sonuç: G1 eşittir s bölü s artı K1. G2 eşittir K2 s artı K3 bölü s kare. Üç kural, üç adım, tamam.

Kaynak video: Kontrol Teorisi #26 — Blok Diyagram Sadeleştirme (Çözümlü Örnek 3) (6:14)