Kontrol Teorisi · Bode Faz Diyagramı — Ders 5, Bölüm 3

#46 Pay/payda faz toplamı, LHP ve RHP çarpanları, iki-dekat faz yaklaşımı, unwrap faz ve kapsamlı faz payı yorumu

Çarpan fazlarını doğru işaretle toplayın, iki-dekat yaklaşımını exact atan2 hesabıyla denetleyin ve faz payını Nyquist koşullarıyla birlikte yorumlayın.

Soru

Bode faz atomlarını, dekat yaklaşımını, unwrap fazı ve faz payı kapsamını gösteren Türkçe çözüm karesi. — G(s)=10/[s(s+1)(s+10)] için exact faz −90°−atan(ω)−atan(ω/10); asimptotik faz −90°'den −270°'ye iner.

Bode faz diyagramını temel çarpan katkılarıyla kurun. G(s)=10/[s(s+1)(s+10)] örneğinin exact ve asimptotik fazını bulun; RHP sıfırı normalizasyonunu, unwrap gösterimi ve faz payı koşullarını açıklayın.

Yazılı çözüm ve anlatım dökümü(çözümün tamamını gösterir)

Aşağıda defterde yazılan bütün satırlar ve bunlara eşlik eden sesli anlatımın tam metni bulunur.

1. Bode faz toplam fikrini kur
G(s)=10/[s(s+1)(s+10)] için exact faz −90°−atan(ω)−atan(ω/10); asimptotik faz −90°'den −270°'ye iner.
Geçen ders Bode genliğini çizdik — çarpanlara ayırma, dB asimptotlarının toplamı, üç çizgi ve bittin.
Bugün Bode diyagramının ikinci yarısı.
Faz.
Aynı çarpan triki.
Farklı kurallar.
Aynı hız.
Sesli anlatım metni
Geçen ders Bode genliğini çizdik — çarpanlara ayırma, dB asimptotlarının toplamı, üç çizgi ve bittin. Bugün Bode diyagramının ikinci yarısı. Faz. Aynı çarpan triki. Farklı kurallar. Aynı hız.
2. Pay/payda faz işaret kuralını açıkla
G(s)=10/[s(s+1)(s+10)] için exact faz −90°−atan(ω)−atan(ω/10); asimptotik faz −90°'den −270°'ye iner.
Fazlar neden toplanır.
Bir çarpımın açısı, açıların toplamına eşittir.
∠(GH)=∠G+∠H (mod 360°); sürekli Bode fazı gerektiğinde unwrap edilir.
Yani transfer fonksiyonunu atomlara çarpanlarına ayırdığımızda, toplam faz, her atomun faz katkısının toplamıdır.
$\displaystyle ∠\left(\frac{N}{D}\right)=∠N-∠D.$
Paydaki (s+a) sıfırı kendi fazını ekler; paydadaki (s+a) kutbu fazı çıkarır, yani 1/(s+a) negatif faz katkısı verir.
Ayna görüntüleri.
Genlikteki gibi, asimptotların toplamını alıyoruz — sadece bu sefer asimptotlar derece cinsinden bir faz ekseninde yaşıyor.
Sesli anlatım metni
Fazlar neden toplanır. Bir çarpımın açısı, açıların toplamına eşittir. G çarpı H'nin açısı, G'nin açısı artı H'nin açısıdır. Yani transfer fonksiyonunu atomlara çarpanlarına ayırdığımızda, toplam faz, her atomun faz katkısının toplamıdır. Ve bölme işareti çevirir — bir bölü G'nin açısı, eksi G'nin açısıdır. Yani paydaki bir bölü s artı a gibi bir çarpan, eksi fazını katkı verir, payda gibi s artı a ise artı fazını katkı verir. Ayna görüntüleri. Genlikteki gibi, asimptotların toplamını alıyoruz — sadece bu sefer asimptotlar derece cinsinden bir faz ekseninde yaşıyor.
3. LHP ve RHP faz atom kurallarını ayır
G(s)=10/[s(s+1)(s+10)] için exact faz −90°−atan(ω)−atan(ω/10); asimptotik faz −90°'den −270°'ye iner.
Atom başına faz kuralları.
Sabit K≠0.
K>0 için faz 0°; K<0 için seçilen dala göre +180° veya −180°'dir.
Düz yatay bir çizgi.
İntegratör bir bölü s.
Faz her frekansta sabit eksi doksan derece.
Türevleyici s — artı doksan derece.
n katlı integratör, bir bölü s üzeri n, eksi doksan n derece katkı verir.
Saf sabit kaymalar.
a>0 için normalize basit LHP kutup 1/(1+s/a)'dır.
Exact faz −atan(ω/a)'dır; ω→0'da 0°'ye, ω→∞'de −90°'ye yaklaşır.
Geçiş pürüzsüz, köşede merkezlenmiş.
Basit sıfır, s artı a.
Ayna görüntüsü.
Normalize LHP sıfır 1+s/a için exact faz +atan(ω/a), limitler 0° ve +90°'dir.
a>0 için normalize RHP sıfırı 1−s/a'dır; ham (s−a)=−a(1−s/a) ayrıca ±180° sabit taşır.
1−s/a, LHP sıfırıyla aynı genliğe fakat −atan(ω/a) fazına sahiptir; 0°'den −90°'ye yaklaşır.
Bu minimum-olmayan-faz imzası uygun sistem yapısında ters başlangıç eğilimi doğurabilir; her RHP sıfırı tek başına sıçrama garantilemez.
Kompensatör tasarımında buna geri döneceğiz.
Karmaşık eşlenik çift.
Faz iki kat hızlı döner — doğal frekansın altında sıfır, üstünde eksi yüz seksen, sönüm oranı tarafından kontrol edilen dik bir geçişle.
Sesli anlatım metni
Atom başına faz kuralları. Sabit Ka. Faz, Ka pozitifse sıfır derece, Ka negatifse artı veya eksi yüz seksen derece. Düz yatay bir çizgi. İntegratör bir bölü s. Faz her frekansta sabit eksi doksan derece. Türevleyici s — artı doksan derece. n katlı integratör, bir bölü s üzeri n, eksi doksan n derece katkı verir. Saf sabit kaymalar. Basit kutup, bir bölü s artı a. Faz, köşenin altında sıfır, köşenin üstünde eksi doksan. Geçiş pürüzsüz, köşede merkezlenmiş. Basit sıfır, s artı a. Ayna görüntüsü. Köşenin altında sıfır, üstünde artı doksan. Sağ yarı düzlem sıfırı, s eksi a, pozitif a ile. Sol yarı düzlem sıfırıyla aynı genlik davranışı, ama faz artı doksan yerine eksi doksana gider. Bu, minimum olmayan faz imzasıdır — fiziksel olarak basamak cevabında ters sıçrama üretir. Kompensatör tasarımında buna geri döneceğiz. Karmaşık eşlenik çift. Faz iki kat hızlı döner — doğal frekansın altında sıfır, üstünde eksi yüz seksen, sönüm oranı tarafından kontrol edilen dik bir geçişle.
4. Basit çarpan dekat faz yaklaşımını kur
G(s)=10/[s(s+1)(s+10)] için exact faz −90°−atan(ω)−atan(ω/10); asimptotik faz −90°'den −270°'ye iner.
Dekat kuralı.
Köşesi omega eşittir a olan basit bir kutup veya sıfır için, asimptotik faz geçişi üç çizgi parçası olarak çizilebilir.
Bir — sıfırda düz asimptot, omega a bölü ondan küçük olduğu sürece.
İki — sıfırdan artı veya eksi doksan dereceye düz bir rampa, omega eşittir a bölü on ile omega eşittir on çarpı a arasında.
Bu rampanın eğimi artı veya eksi kırk beş derece bölü dekattır.
Üç — limit değerde düz asimptot, artı veya eksi doksan derece, omega on çarpı a'dan büyük olduğunda.
Tam köşede omega eşittir a — faz artı veya eksi kırk beş derece — rampanın yarısı.
Faydalı kontrol noktaları.
ω=a/10'da exact faz büyüklüğü atan(0,1)=5,71° olup 90° limitinin yaklaşık %6,35'idir.
ω=10a'da exact faz büyüklüğü atan(10)=84,29° olup 90° limitinin yaklaşık %93,65'idir.
Arada rampa asimptottur.
Sesli anlatım metni
Dekat kuralı. Köşesi omega eşittir a olan basit bir kutup veya sıfır için, asimptotik faz geçişi üç çizgi parçası olarak çizilebilir. Bir — sıfırda düz asimptot, omega a bölü ondan küçük olduğu sürece. İki — sıfırdan artı veya eksi doksan dereceye düz bir rampa, omega eşittir a bölü on ile omega eşittir on çarpı a arasında. Bu rampanın eğimi artı veya eksi kırk beş derece bölü dekattır. Üç — limit değerde düz asimptot, artı veya eksi doksan derece, omega on çarpı a'dan büyük olduğunda. Tam köşede omega eşittir a — faz artı veya eksi kırk beş derece — rampanın yarısı. Faydalı kontrol noktaları. Köşeden bir dekat aşağıda — faz limitin kabaca yüzde beşi. Bir dekat yukarıda — kabaca yüzde doksan beşi. Arada rampa asimptottur.
5. Üç çarpanlı Bode faz örneğini çöz
G(s)=10/[s(s+1)(s+10)] için exact faz −90°−atan(ω)−atan(ω/10); asimptotik faz −90°'den −270°'ye iner.
Çözümlü örnek.
Geçen dersteki aynı transfer fonksiyonu.
$\displaystyle G\left(s\right)=10/\left[s\left(s+1\right)\left(s+10\right)\right].$
Atomlar.
Sabit on — pozitif, sıfır derece katkı verir.
İntegratör bir bölü s — eksi doksan derece katkı verir, tüm frekanslarda düz.
İki basit kutup — köşeleri bir ve on, her biri sıfırdan eksi doksan dereceye geçiş katkı verir, dekat kuralı kendi köşesi etrafında.
Exact unwrapped toplam faz φ(ω)=−90°−atan(ω)−atan(ω/10)'dur.
Omega eşittir sıfır nokta birin altında, faz sadece integratörün katkısı, eksi doksan derece.
Sıfır nokta bir ile bir arasında, ilk kutbun geçişi başlar.
ω=1'de asimptot −135°, exact faz −90°−45°−atan(0,1)=−140,71°'dir.
Bir ile on arasında, ilk kutup düşüşünü tamamlar ve ikinci kutbun geçişi başlar.
Exact faz ω=√10≈3,162'de −180° olur; ω=10'da −219,29°, asimptot −225°'dir.
Omega eşittir yüzün üstünde, her iki kutup da derin asimptotik rejimde.
ω→∞ iken unwrapped faz −270°'ye yaklaşır; principal gösterim aynı açıyı +90° olarak sarabilir.
Sesli anlatım metni
Çözümlü örnek. Geçen dersteki aynı transfer fonksiyonu. G ès eşittir on bölü s çarpı s artı bir çarpı s artı on. Atomlar. Sabit on — pozitif, sıfır derece katkı verir. İntegratör bir bölü s — eksi doksan derece katkı verir, tüm frekanslarda düz. İki basit kutup — köşeleri bir ve on, her biri sıfırdan eksi doksan dereceye geçiş katkı verir, dekat kuralı kendi köşesi etrafında. Toplam. Omega eşittir sıfır nokta birin altında, faz sadece integratörün katkısı, eksi doksan derece. Sıfır nokta bir ile bir arasında, ilk kutbun geçişi başlar. Faz omega eşittir bire kadar eksi doksandan eksi yüz otuz beş dereceye iner. Bir ile on arasında, ilk kutup düşüşünü tamamlar ve ikinci kutbun geçişi başlar. Toplam faz omega eşittir üç civarında eksi yüz seksene ulaşır, sonra omega eşittir ona kadar eksi iki yüz yirmi beş dereceye doğru devam eder. Omega eşittir yüzün üstünde, her iki kutup da derin asimptotik rejimde. Faz eksi iki yüz yetmiş derecede yerleşir — integratörden eksi doksan, her kutuptan eksi doksan, toplam eksi iki yüz yetmiş.
6. Exact ve asimptotik fazı karşılaştır
G(s)=10/[s(s+1)(s+10)] için exact faz −90°−atan(ω)−atan(ω/10); asimptotik faz −90°'den −270°'ye iner.
Asimptotik faz ne kadar doğru?
Oldukça doğru — ama genlikten biraz daha gevşek.
Basit LHP kutupta a/10 ve 10a uçlarında exact–asimptot farkının büyüklüğü atan(0,1)=5,71°'dir.
Düşük sönümlü karmaşık eşlenik çiftler için sapma, doğal frekans etrafında çok daha büyük olabilir — faz dar bir bantta yüz seksen derece içinden hızla salınır.
Asimptotik faz hızlı taslak verir; küçük pay, yakın köşe ve karmaşık çiftlerde exact atan2 hesabı gerekir.
Sesli anlatım metni
Asimptotik faz ne kadar doğru? Oldukça doğru — ama genlikten biraz daha gevşek. Gerçek faz eğrisi pürüzsüzdür — ve doğru rampalardan sapma, kıvrım noktalarında, rampa düz asimptotla buluştuğunda yaklaşık altı dereceye ulaşabilir. Düşük sönümlü karmaşık eşlenik çiftler için sapma, doğal frekans etrafında çok daha büyük olabilir — faz dar bir bantta yüz seksen derece içinden hızla salınır. Çoğu mühendislik işi için — bir denetleyici seçmek, kazanç geçiş frekansını bulmak, faz payını okumak — asimptotik faz diyagramı fazlasıyla yeterlidir.
7. Kazanç geçişinde faz payını kapsamıyla oku
G(s)=10/[s(s+1)(s+10)] için exact faz −90°−atan(ω)−atan(ω/10); asimptotik faz −90°'den −270°'ye iner.
Önizlemeye değer bir uygulama.
Kazanç geçiş frekansında — genlik eğrisinin sıfır desibeli kestiği yer — faz kapalı döngünün kararsızlığa ne kadar yakın olduğunu söyler.
Standart negatif geri beslemede |L(jω_gc)|=1 ve unwrap∠L=−150° ise PM=180°−150°=30°'dir.
Küçük faz payı, birçok iyi huylu minimum-faz sistemde düşük sönüm ve aşma eğilimi gösterir; evrensel garanti değildir.
PM'nin kararlılık yorumu için açık-döngü RHP kutupları, Nyquist çevrelemeleri ve varsa çoklu kazanç geçişleri de denetlenmelidir.
İki ders sonra kazanç ve faz paylarına derinlemesine gireceğiz.
Şimdilik şunu hatırla — Bode faz diyagramı sadece dekoratif değildir.
Kapalı-döngü sağlamlık yorumu yalnız fazdan değil, açık-döngü |L| ve ∠L eğrileri ile Nyquist koşullarından birlikte çıkar.
Sesli anlatım metni
Önizlemeye değer bir uygulama. Kazanç geçiş frekansında — genlik eğrisinin sıfır desibeli kestiği yer — faz kapalı döngünün kararsızlığa ne kadar yakın olduğunu söyler. Diyelim ki kazanç geçişinde faz eksi yüz elli derece, faz payı yüz seksen eksi yüz elli eşittir otuz derece. Küçük bir pay — sistem az sönümlü, aşmaya yatkın. Eğer kazanç geçişinde faz eksi yüz seksene daha yakınsa, pay sıfıra doğru daralır — ve kapalı döngü kararsızlığın kıyısında sallanır. İki ders sonra kazanç ve faz paylarına derinlemesine gireceğiz. Şimdilik şunu hatırla — Bode faz diyagramı sadece dekoratif değildir. Sana her frekansta, o döngü kazancı etrafında tasarlanan kapalı döngü sistemin ne kadar kararlı olacağını söyler.
8. Bode faz sonuçlarını toparla
G(s)=10/[s(s+1)(s+10)] için exact faz −90°−atan(ω)−atan(ω/10); asimptotik faz −90°'den −270°'ye iner.
Özet.
Bode faz diyagramı — log frekansa karşı derece cinsinden faz.
Toplam faz, çarpan fazlarının toplamıdır.
Genlikteki aynı atom ayrışımını kullan.
Her atomun bilinen asimptotik fazı vardır: sabitler için sıfır veya yüz seksen, integratör ve türevleyiciler için artı veya eksi doksan, basit kutup veya sıfır başına sıfır ile artı eksi doksan arasında pürüzsüz geçiş, karmaşık çiftler için iki katı.
Dekat kuralı — basit kutup veya sıfır iki dekat üzerinde rampa yapar, köşe orta noktada.
Katkıları topla, eğriyi çiz, sistemi oku.
Genlik ve faz ile Bode diyagramı tamamlandı.
Sıradaki ders birkaç tam Bode örneği yapacağız — genlik ve faz birlikte — ve kararlılık ile bant genişliği hakkında bize ne söylediklerini okumaya başlayacağız.
Sesli anlatım metni
Özet. Bode faz diyagramı — log frekansa karşı derece cinsinden faz. Toplam faz, çarpan fazlarının toplamıdır. Genlikteki aynı atom ayrışımını kullan. Her atomun bilinen asimptotik fazı vardır: sabitler için sıfır veya yüz seksen, integratör ve türevleyiciler için artı veya eksi doksan, basit kutup veya sıfır başına sıfır ile artı eksi doksan arasında pürüzsüz geçiş, karmaşık çiftler için iki katı. Dekat kuralı — basit kutup veya sıfır iki dekat üzerinde rampa yapar, köşe orta noktada. Katkıları topla, eğriyi çiz, sistemi oku. Genlik ve faz ile Bode diyagramı tamamlandı. Sıradaki ders birkaç tam Bode örneği yapacağız — genlik ve faz birlikte — ve kararlılık ile bant genişliği hakkında bize ne söylediklerini okumaya başlayacağız.