التصميم الرقمي · الجبر البولياني وقوانين دي مورغان

#04 تبسيط دائرة ذات حدين إلى الدخل A مع حفظ جدول الحقيقة

طبق الهويات وقوانين دي مورغان، وبسط عبارة من حدين، وتحقق من تكافؤ الدائرة لكل تركيب من المداخل.

السؤال

إطار كامل من الفيديو العربي الأصلي يعرض الهويات البوليانية أو قوانين دي مورغان أو خطوات التبسيط أو الدائرتين وجدول الحقيقة. — في معادلات المنطق يعني الجمع OR الشامل، وتعني النقطة AND والشرطة العليا المتممة. نستخرج A عاملا، ثم نستعمل أن B مع متممتها يعطي واحدا بعملية OR، فنحصل على F يساوي A في الصفوف الأربعة.

اعمل في الجبر البولياني ذي القيمتين 0 و1. في معادلات المنطق تعني علامة الجمع OR الشامل، وتعني نقطة الضرب AND، وتعني الشرطة العليا المتممة المنطقية. الشرطة على قوس تكمل المجموعة كلها وليست مشتقة. الجمع البولياني 1+1 يساوي 1؛ لا تستخدم جمع الأعداد الحقيقية لتقييم هذه الهويات. أما معادلات عدد الصفوف فتستخدم الأس والحساب العددي العادي: لعدد n من المداخل الثنائية المستقلة يحتوي الجدول الكامل غير المضغوط على 2^n من تركيبات المداخل، أي أربعة لمدخلين واثنين وثلاثين لخمسة مداخل. يرمز N_2 وN_5 هنا إلى عددي الصفوف في هذين المثالين. اشرح A+0=A وA·1=A، وهويتي التكرار A+A=A وA·A=A، وهويتي المتممة A+A'=1 وA·A'=0. اشتق قانوني دي مورغان (A·B)'=A'+B' و(A+B)'=A'·B'. لنقل NOT عبر مجموعة، اعكس كلا المدخلين وبدل AND مع OR. افحص كل قانون على الصفوف الأربعة للمدخلين. تتساوى الدائرتان في جدول الخرج المنطقي المستقر. بسط F=A·B+A·B'. استخرج A لتحصل على F=A·(B+B')، ثم استعمل B+B'=1 لتحصل على F=A·1=A. في ترتيب (A,B)=00,01,10,11 يعطي الحد الأول 0,0,0,1، ويعطي الحد الثاني 0,0,1,0. يعطي OR الشامل لهما 0,0,1,1، وهو عمود A تماما. تعتمد النتيجة على وجود NOT B في الحد الثاني؛ حذف المتممة يغير المسألة. تحمل الدائرة الأصلية إشارتين منفصلتين A وB؛ جسور عبور الأسلاك لا تعني اتصالا، بينما النقاط المرسومة تعني اتصالا. تحتوي الدائرة على عاكس واحد وبوابتي AND وبوابة OR واحدة. يحمل التوصيل المبسط A إلى الخرج، فتستقل الدالة البوليانية عن B. ميز التكافؤ الوظيفي عن التوقيت الفيزيائي. تنطبق الهويات على القيم الثنائية المنطقية الصالحة. قد يقل عدد البوابات أو الأسلاك، لكن السرعة والمساحة والتحميل وقدرة القيادة والحاجة إلى مخازن عازلة تعتمد على التقنية والقيود الكهربائية. لا يثبت السلك المنطقي تأخيرا فيزيائيا صفريا، ولا يلغي شروط الواجهات. تساوي جداول الحقيقة المستقرة لا يثبت تساوي الموجات العابرة؛ قد يختلف مسارا B وNOT B مؤقتا أثناء الانتقال بسبب التأخير. لذلك لا نستنتج أفضل تأخير ممكن أو ضمان غياب الأخطار الزمنية من الهوية وحدها. هذه القيود تشرح نطاق الحديث عن التنفيذ ولا تغير العبارة أو برهانها. اربط العبارة البوليانية بدالة الدائرة، والهوية بإعادة كتابة تحفظ الدالة. احتفظ بجميع الرموز والأقواس والمتممات عند الانتقال بين الجبر والرسم. تقدم الخاتمة أسماء مجموع الجداءات SOP وحاصل ضرب المجاميع POS وminterm وmaxterm للدرس التالي؛ هذه إشارة تمهيدية وليست اشتقاقا كاملا لتلك الطرق.

الحل المكتوب ونص الشرح(يعرض الحل كاملًا)

تجد أدناه جميع الأسطر المكتوبة في الدفتر مع النص الكامل للشرح الصوتي.

1. لماذا نستخدم الجبر
في معادلات المنطق يعني الجمع OR الشامل، وتعني النقطة AND والشرطة العليا المتممة. نستخرج A عاملا، ثم نستعمل أن B مع متممتها يعطي واحدا بعملية OR، فنحصل على F يساوي A في الصفوف الأربعة.
عدد صفوف جدول الحقيقة الكامل لعدد n من المداخل الثنائية:
$\displaystyle N = 2^{n}$
مدخلان يعطيان أربعة صفوف وخمسة مداخل تعطي اثنين وثلاثين صفا:
$\displaystyle N_{2} = 2^{2} = 4; N_{5} = 2^{5} = 32$
يسمح الجبر البولياني بإعادة كتابة العبارة مع حفظ جدول الحقيقة.
يمكن للتبسيط تقليل البوابات والتوصيلات؛ أما التأخير الفعلي فيعتمد على التنفيذ.
حافظ على الخرج المنطقي نفسه لكل تركيب من المداخل.
نص الشرح الصوتي
يعطي جدول الحقيقة نتيجة دقيقة، لكن عدد صفوفه ينمو بسرعة وفق قاعدة اثنين أس n. يحتاج مدخلان إلى أربعة صفوف، بينما تحتاج خمسة مداخل إلى اثنين وثلاثين صفا. يسمح لنا جبر Boolean بإعادة كتابة العبارة مع الحفاظ على السلوك نفسه. الهدف ليس اختصار الرموز فقط؛ فالعبارة الأبسط تعني غالبا بوابات أقل، وأسلاكا أقصر، وتأخيرا أقل، ودائرة أسهل في الفحص. وهكذا يحافظ الجبر على عقد جدول الحقيقة ويبسّط التنفيذ.
2. الهويات الأساسية
في معادلات المنطق يعني الجمع OR الشامل، وتعني النقطة AND والشرطة العليا المتممة. نستخرج A عاملا، ثم نستعمل أن B مع متممتها يعطي واحدا بعملية OR، فنحصل على F يساوي A في الصفوف الأربعة.
في معادلات المنطق التالية، الجمع يعني OR الشامل والنقطة تعني AND والشرطة العليا تعني المتممة.
العنصر المحايد لعملية OR:
$\displaystyle A+0 = A$
العنصر المحايد لعملية AND:
$\displaystyle A\cdot 1 = A$
تكرار الإشارة لا يغير النتيجة:
$\displaystyle A+A = A\cdot A = A$
جمع الإشارة مع متممتها:
$\displaystyle A+A' = 1$
جداء الإشارة ومتممتها:
$\displaystyle A\cdot A' = 0$
نص الشرح الصوتي
نفهم الهويات الأساسية واحدة بعد أخرى. تساوي A OR صفر الإشارة A، لأن الصفر لا يضيف حالة تجعل الخرج واحدا. وتساوي A AND واحد الإشارة A، لأن الواحد لا يمنعها. كما تساوي A OR A و A AND A الإشارة A؛ فتكرار الشرط نفسه لا يغير النتيجة. وتساوي A OR NOT A واحدا دائما، لأن A إما صفر أو واحد. أما A AND NOT A فتساوي صفرا دائما، لأن البت لا يمكن أن يكون هو نفسه ومتممته في الوقت ذاته.
3. قوانين دي مورغان
في معادلات المنطق يعني الجمع OR الشامل، وتعني النقطة AND والشرطة العليا المتممة. نستخرج A عاملا، ثم نستعمل أن B مع متممتها يعطي واحدا بعملية OR، فنحصل على F يساوي A في الصفوف الأربعة.
انقل العكس عبر المجموعة باستعمال قوانين دي مورغان.
متممة AND:
$\displaystyle \left(A\cdot B\right)' = A'+B'$
متممة OR:
$\displaystyle \left(A+B\right)' = A'\cdot B'$
اعكس كل مدخل وبدل AND مع OR عند نقل NOT عبر القوس.
تعطي الدائرتان المكافئتان الخرج المستقر نفسه لكل صف من المداخل.
نص الشرح الصوتي
تشرح قوانين De Morgan ما يحدث عندما نعبر بعملية NOT إلى داخل القوس. تصبح متممة A AND B مساوية لـ NOT A OR NOT B. وتصبح متممة A OR B مساوية لـ NOT A AND NOT B. الخطوات واضحة: نوزع NOT الخارجية على كل مدخل، ثم نبدل AND و OR. ليست هذه حركة رمزية فقط؛ بل تعني أن مخططين مختلفين للبوابات يعطيان الخرج نفسه لكل صف من صفوف المداخل.
4. تبسيط مثال
في معادلات المنطق يعني الجمع OR الشامل، وتعني النقطة AND والشرطة العليا المتممة. نستخرج A عاملا، ثم نستعمل أن B مع متممتها يعطي واحدا بعملية OR، فنحصل على F يساوي A في الصفوف الأربعة.
العبارة الأصلية:
$\displaystyle F = A\cdot B+A\cdot B'$
استخراج العامل المشترك A:
$\displaystyle F = A\cdot \left(B+B'\right)$
يبقى داخل القوس OR شامل يجمع B مع متممتها.
هوية المتممة داخل القوس:
$\displaystyle B+B' = 1$
تطبيق هوية AND مع الواحد:
$\displaystyle F = A\cdot 1 = A$
النتيجة النهائية:
$\displaystyle F = A$
تسلسل البرهان هو استخراج العامل، ثم هوية المتممة، ثم هوية العنصر المحايد.
نص الشرح الصوتي
لنبسّط F تساوي A AND B، OR A AND NOT B. تحتوي العبارتان على العامل A، لذلك نخرجه عاملا مشتركا. يبقى داخل القوس B OR NOT B. وتساوي هذه العبارة واحدا دائما. فيصبح لدينا A AND واحد، وهي تساوي A. إذن F تساوي A. لم نقفز فوق أي خطوة: أخذنا العامل المشترك، ثم استخدمنا هوية المتممة، وأخيرا هوية الضرب في واحد.
5. قراءة الدائرة والجدول
في معادلات المنطق يعني الجمع OR الشامل، وتعني النقطة AND والشرطة العليا المتممة. نستخرج A عاملا، ثم نستعمل أن B مع متممتها يعطي واحدا بعملية OR، فنحصل على F يساوي A في الصفوف الأربعة.
اقرأ البرهان نفسه في شبكة البوابات.
تحتوي الدائرة الأصلية على عاكس واحد لـB وبوابتي AND وبوابة OR واحدة.
يحمل التوصيل المنطقي المبسط A إلى الخرج:
$\displaystyle F = A$
تحقق من كل تركيبات A وB الأربعة.
عندما تكون A صفرا يكون خرج الدائرة الأصلية صفرا.
عندما تكون A واحدا يعطي أحد حدي الجداء واحدا مهما كانت B، فيكون الخرج واحدا.
في ترتيب الصفوف 00 و01 و10 و11 يكون عمود الخرج 0 و0 و1 و1، وهو عمود A نفسه.
نص الشرح الصوتي
نقرأ النتيجة نفسها في الدائرة. يحتوي التصميم الأصلي على NOT لعكس B، وبوابتي AND، وبوابة OR تجمع النتيجتين. أما التصميم المبسط فيوصل A مباشرة بالخرج F. وللتأكد نفحص تركيبات A و B الأربعة. عندما تكون A صفرا يكون F الأصلي صفرا. وعندما تكون A واحدا، يكون أحد الحدين واحدا سواء كانت B صفرا أم واحدا، فيصبح F واحدا. لذلك يطابق عمود F الأصلي عمود A في كل صف.
6. مراجعة أسلوب التبسيط
في معادلات المنطق يعني الجمع OR الشامل، وتعني النقطة AND والشرطة العليا المتممة. نستخرج A عاملا، ثم نستعمل أن B مع متممتها يعطي واحدا بعملية OR، فنحصل على F يساوي A في الصفوف الأربعة.
تصف العبارة البوليانية دالة دائرة، وتحفظ الهوية الصحيحة هذه الدالة عند إعادة كتابتها.
يعكس تحويل دي مورغان كل مدخل ويبدل AND وOR عند نقل NOT عبر المجموعة.
ابحث عن العامل المشترك والمتممة والعنصر المحايد، ثم تحقق بجدول الحقيقة.
يمهد الدرس التالي لمجموع الجداءات وحاصل ضرب المجاميع وminterm وmaxterm.
نص الشرح الصوتي
طريقة العمل هي: عبارة Boolean وصف لدائرة، والهويات قواعد آمنة لإعادة الكتابة من دون تغيير السلوك. عندما تمر NOT عبر القوس، تعكس De Morgan كل متغير وتبدل AND مع OR. ابحث عن العامل المشترك وهوية المتممة وهوية العنصر المحايد قبل رسم الدائرة النهائية، ثم تحقق بجدول الحقيقة عند الحاجة. في الدرس التالي سنستخرج العبارات من الجداول بصورة منظمة باستخدام SOP و POS و minterm و maxterm.