#04 Davranışı koruyan özdeşlikler, De Morgan dönüşümü ve kapı sadeleştirme

Aşağıda defterde yazılan bütün satırlar ve bunlara eşlik eden sesli anlatımın tam metni bulunur.

1. 1. Boolean cebirinin eşdeğerlik hedefini kur

   

   n girişli tam truth table: 2ⁿ satır

   n=2 → 4; n=5 → 32 satır

   Hedef: F_büyük(x)=F_sade(x), her x∈{0,1}ⁿ için

   Özdeşlik, truth table sözleşmesini değiştirmeyen adımdır

   Daha az terim → genellikle daha az kapı

   Daha az mantık seviyesi → daha kısa yayılma gecikmesi

   Ayrıca daha az kablo, güç ve doğrulama yükü

   Yaygın hata: ifadeyi kısaltırken davranış eşdeğerliğini kanıtlamamak

   Sesli anlatım metni

   Truth table kesin sonuç verir, fakat input sayısı arttıkça satır sayısı iki üzeri n kuralıyla hızla büyür. İki input dört, beş input otuz iki satır gerektirir. Boolean cebiri aynı davranışı koruyarak bir ifadeyi başka bir biçime yazmamızı sağlar. Buradaki amaç yalnız daha kısa bir matematik değildir. Daha sade ifade genellikle daha az kapı, daha kısa kablo, daha az gecikme ve kontrol edilmesi daha kolay bir devre demektir. Yani cebir, truth-table sözleşmesini değiştirmeden uygulamayı sadeleştirir.

2. 2. Temel Boolean özdeşliklerini davranışlarıyla kur

   

   Identity:

   $\displaystyle A+0=A$

   Identity:

   $\displaystyle A\cdot 1=A$

   Null/dominance:

   $\displaystyle A+1=1$

   Null/dominance:

   $\displaystyle A\cdot 0=0$

   Idempotent:

   $\displaystyle A+A=A$

   Idempotent:

   $\displaystyle A\cdot A=A$

   Complement:

   $\displaystyle A+¬A=1$

   Complement:

   $\displaystyle A\cdot ¬A=0$

   Çift tersleme:

   $\displaystyle ¬\left(¬A\right)=A$

   Boolean + ve · işlemleri aritmetik toplama/çarpma değildir

   Sesli anlatım metni

   Temel özdeşlikleri tek tek anlayalım. A OR sıfır, A'dır; çünkü sıfır output'u bir yapacak yeni bir durum eklemez. A AND bir, A'dır; çünkü bir değeri A sinyalini engellemez. A OR A ve A AND A yine A'dır; aynı koşulu iki kez yazmak sonucu değiştirmez. A OR NOT A her zaman birdir, çünkü A ya sıfırdır ya birdir ve bu iki durumdan biri mutlaka doğrudur. A AND NOT A ise her zaman sıfırdır; bir bit aynı anda hem kendisi hem tersi olamaz.

3. 3. NOT işlemini De Morgan ile parantezin içinden geçir

   

   Birinci De Morgan:

   $\displaystyle ¬\left(A\cdot B\right)=¬A+¬B$

   İkinci De Morgan:

   $\displaystyle ¬\left(A+B\right)=¬A\cdot ¬B$

   Adım 1: dış NOT’u her girişe dağıt

   Adım 2: AND↔OR operatörünü değiştir

   ¬(A·B) çıkışları 00,01,10,11 için 1,1,1,0

   ¬A+¬B de aynı 1,1,1,0 sütununu verir

   Devreler farklı çizilebilir; truth table eşitse davranış aynıdır

   Yaygın hata: NOT’u yalnız bir değişkene uygulamak

   Yaygın hata: AND/OR değişimini unutmak

   Sesli anlatım metni

   De Morgan kuralları, bir NOT işlemini parantezin içinden geçirirken ne olacağını söyler. NOT A AND B, yani A ile B çarpımının tümünün tersi, NOT A OR NOT B olur. NOT A OR B ise NOT A AND NOT B olur. Uygulama sırası nettir: dıştaki NOT her input'a dağıtılır ve AND ile OR birbirine dönüşür. Bu sadece sembol değişikliği değildir; iki farklı kapı çiziminin bütün input satırlarında aynı output'u verdiğini ifade eder.

4. 4. F=AB+A¬B ifadesini üç özdeşlikle sadeleştir

   

   Başlangıç:

   $\displaystyle F=A\cdot B+A\cdot ¬B$

   Dağılmanın tersiyle A ortak çarpanını al

   $\displaystyle F=A\cdot \left(B+¬B\right)$

   Complement:

   $\displaystyle B+¬B=1$

   $\displaystyle F=A\cdot 1$

   Identity:

   $\displaystyle A\cdot 1=A$

   Sonuç:

   $\displaystyle F=A$

   Kapı sayısı: NOT + 2 AND + OR = 4 → 0 mantık kapısı

   Sağlama: B sonucu etkilemiyorsa sade ifadede B bulunmamalı

   Sesli anlatım metni

   Şimdi F eşittir A AND B, OR A AND NOT B ifadesini sadeleştirelim. İki terimde de A ortak olduğu için A'yı parantez dışına alırız. Parantez içinde B OR NOT B kalır. Bir bit ile tersinin OR sonucu her zaman birdir. Böylece ifade A AND bir olur. A AND bir de A'ya eşittir. Sonuç F eşittir A'dır. Hiçbir satırı atlamadık: önce ortak çarpanı aldık, sonra complement özdeşliğini, son olarak identity kuralını kullandık.

5. 5. Özgün ve sade devreyi truth table ile doğrula

   

   Özgün ağ: B→NOT, iki AND ve bir OR

   AB: 00 01 10 11

   F_özgün: 0 0 1 1

   A sütunu: 0 0 1 1

   Her satır eşleşir → F_özgün≡A

   Özgün kritik yol en çok NOT→AND→OR: 3 kapı gecikmesi

   Sade yol: A doğrudan F’ye; mantık kapısı yok

   Fiziksel kazanım: daha az alan, güç ve gecikme

   Sesli anlatım metni

   Aynı sonucu devre üzerinde okuyalım. İlk devrede B sinyalini tersleyen bir NOT, iki AND ve sonuçları birleştiren bir OR kapısı vardır. Sadeleştirilmiş devrede ise A doğrudan F output'una gider. Bu büyük farkın doğru olduğundan emin olmak için dört A B kombinasyonunu kontrol ederiz. A sıfırken özgün ifade de F'yi sıfır yapar. A birken B sıfır veya bir olsa da iki terimden biri bir olur ve F birdir. Dolayısıyla özgün F sütunu her satırda A sütunuyla aynıdır.

6. 6. Boolean sadeleştirme ve doğrulama akışını toparla

   

   Boolean ifade fiziksel devrenin davranış tarifidir

   Özdeşlikler güvenli ve tersinir yeniden yazma adımlarıdır

   De Morgan: NOT’u dağıt ve AND↔OR değiştir

   Önce ortak terim, complement ve identity ara

   Sonra truth table ile tüm girişleri karşılaştır

   Bu örnekte F=A; dört kapı ve üç seviyelik yol kalktı

   Sonraki ders: SOP, POS, minterm ve maxterm

   Sesli anlatım metni

   Bu dersin çalışma yöntemi şöyledir. Boolean ifade bir devre tarifidir. Özdeşlikler davranışı koruyan güvenli yeniden yazma kurallarıdır. De Morgan, NOT parantezi geçtiğinde her değişkeni tersler ve AND ile OR'u değiştirir. Son devreyi çizmeden önce ortak terim, complement ve identity kurallarını ara. Ardından gerekirse truth table ile doğrula. Sonraki derste ifadeleri SOP, POS, minterm ve maxterm kavramlarıyla sistematik olarak truth table'dan çıkaracağız.

Kaynak video: Dijital Tasarim #04 | Boolean Cebiri ve De Morgan Kurallari (3:37)