Kontrol Teorisi · Çalışma Noktası Doğrusallaştırma

#18 Denge koşulu, sapma değişkenleri, birinci derece Taylor açılımı, manyetik süspansiyon Jakobiyenleri ve yerel LTI modelin geçerlilik kapsamı

Doğrusal olmayan modeli bir çalışma noktası çevresinde Jakobiyenlerle yerel LTI sapma modeline dönüştürün.

Soru

Denge koşulu, Taylor açılımı, manyetik süspansiyon Jakobiyenleri ve yerel doğrusal yaklaşımın geçerlilik bölgesini gösteren ders karesi.
Denge çevresindeki sapmalar için birinci derece Taylor açılımı, doğrusal olmayan modeli δẋ=Aδx+Bδu yerel LTI biçimine yaklaştırır.

f(x₀,u₀)=0 denge koşulunu kurun; δx=x−x₀ ve δu=u−u₀ sapmalarıyla A=∂f/∂x ve B=∂f/∂u Jakobiyenlerini dengede hesaplayıp δẋ=Aδx+Bδu yerel modelini türetin. Manyetik süspansiyon örneğinde işaretleri ve geçerlilik bölgesini açıklayın.

Yazılı çözüm ve anlatım dökümü(çözümün tamamını gösterir)

Aşağıda defterde yazılan bütün satırlar ve bunlara eşlik eden sesli anlatımın tam metni bulunur.

  1. 1. Çalışma noktası doğrusallaştırma hedefini kur

    Denge koşulu, Taylor açılımı, manyetik süspansiyon Jakobiyenleri ve yerel doğrusal yaklaşımın geçerlilik bölgesini gösteren ders karesi.
    Denge çevresindeki sapmalar için birinci derece Taylor açılımı, doğrusal olmayan modeli δẋ=Aδx+Bδu yerel LTI biçimine yaklaştırır.
    Bir önceki derste, manyetik süspansiyon sistemi için doğrusal olmayan durum denklemlerini türettik.
    Model ẋ=f(x,u) biçimindeydi ve f, i²/x² gibi terimler içeriyordu.
    Klasik transfer fonksiyonu, Bode ve kök yer eğrisi araçları LTI model gerektirir.
    Peki bu boşluğu nasıl kapatırız?
    Cevap doğrusallaştırmadır.
    Doğrusal olmayan modeli, seçilen bir çalışma noktası civarında doğrusal zamanla değişmeyen bir sistem olarak yaklaşıklıyoruz.
    Bu tekniğe çalışma noktası doğrusallaştırma denir.

    Sesli anlatım metni

    Bir önceki derste, manyetik süspansiyon sistemi için doğrusal olmayan durum denklemlerini türettik. Model x nokta eşittir f x virgül u şeklindeydi ve f fonksiyonu i kare bölü x kare gibi terimler içeriyordu. Ancak öğrendiğimiz tüm güçlü araçlar, transfer fonksiyonları, Bode grafikleri, kök yer eğrisi, yalnızca doğrusal zamanla değişmeyen sistemler için çalışır. Peki bu boşluğu nasıl kapatırız? Cevap doğrusallaştırmadır. Doğrusal olmayan modeli, seçilen bir çalışma noktası civarında doğrusal zamanla değişmeyen bir sistem olarak yaklaşıklıyoruz. Bu tekniğe set noktası doğrusallaştırma denir.

  2. 2. Denge noktasını sabit durum olarak tanımla

    Denge koşulu, Taylor açılımı, manyetik süspansiyon Jakobiyenleri ve yerel doğrusal yaklaşımın geçerlilik bölgesini gösteren ders karesi.
    Denge çevresindeki sapmalar için birinci derece Taylor açılımı, doğrusal olmayan modeli δẋ=Aδx+Bδu yerel LTI biçimine yaklaştırır.
    İlk adım bir denge noktası, diğer adıyla çalışma noktası bulmaktır.
    Denge, sabit giriş altında durum koordinatlarının sabit kalabildiği çalışma noktasıdır.
    Matematiksel olarak dengede ẋ=0 olur; durumların kendisinin sıfır olması gerekmez.
    Yani f(x₀,u₀)=0 denklemini çözeriz.
    Burada x sıfır denge durumu ve u sıfır bu dengeyi sürdüren sabit giriştir.
    Manyetik süspansiyonumuz için denge, kürenin sabit akımla sabit bir konumda süzülmesi ve hızının sıfır olması demektir.

    Sesli anlatım metni

    İlk adım bir denge noktası, diğer adıyla çalışma noktası bulmaktır. Denge, sistemin süresiz olarak hareketsiz kalabileceği bir durumdur. Matematiksel olarak bu, tüm durum türevlerinin sıfır olması anlamına gelir. Yani x nokta eşittir sıfır deyip f x sıfır virgül u sıfır eşittir sıfır denklemini çözeriz. Burada x sıfır denge durumu ve u sıfır bu dengeyi sürdüren sabit giriştir. Manyetik süspansiyonumuz için denge, kürenin sabit akımla sabit bir konumda süzülmesi ve hızının sıfır olması demektir.

  3. 3. Manyetik süspansiyon dengesini çöz

    Denge koşulu, Taylor açılımı, manyetik süspansiyon Jakobiyenleri ve yerel doğrusal yaklaşımın geçerlilik bölgesini gösteren ders karesi.
    Denge çevresindeki sapmalar için birinci derece Taylor açılımı, doğrusal olmayan modeli δẋ=Aδx+Bδu yerel LTI biçimine yaklaştırır.
    Manyetik süspansiyon için denge noktasını bulalım.
    ẋ=0 koşulundan x₂₀=0 olur.
    Kuvvet dengesi g=cx₃₀²/(mx₁₀²) olur.
    Bu bize denge konumu ile akım arasındaki ilişkiyi verir.
    x₁₀>0 seçilince gerekli akım x₃₀=√(mgx₁₀²/c) olur.
    Sabit-L bobin yaklaşımında denge gerilimi u₀=Rx₃₀ olur.

    Sesli anlatım metni

    Manyetik süspansiyon için denge noktasını bulalım. x nokta eşittir sıfır koyarsak: x iki sıfır eşittir sıfır, çünkü hız sıfır olmalıdır. Kuvvet dengesinden: g eşittir c çarpı x üç sıfır kare bölü m çarpı x bir sıfır kare. Bu bize denge konumu ile akım arasındaki ilişkiyi verir. İstenen süzülme konumunu x bir sıfır olarak seçeriz, sonra gereken akımı hesaplarız: x üç sıfır eşittir m g x bir sıfır kare bölü c'nin karekökü. Son olarak denge gerilimi u sıfır eşittir R çarpı x üç sıfır olur.

  4. 4. Taylor yaklaşımı ve Jakobiyenleri kur

    Denge koşulu, Taylor açılımı, manyetik süspansiyon Jakobiyenleri ve yerel doğrusal yaklaşımın geçerlilik bölgesini gösteren ders karesi.
    Denge çevresindeki sapmalar için birinci derece Taylor açılımı, doğrusal olmayan modeli δẋ=Aδx+Bδu yerel LTI biçimine yaklaştırır.
    Şimdi denge civarında doğrusallaştırma yapıyoruz.
    Küçük sapmaları δx=x−x₀ ve δu=u−u₀ olarak tanımlayalım.
    Birinci dereceden Taylor açılımı f(x₀+δx,u₀+δu)≈f(x₀,u₀)+Aδx+Bδu verir.
    f(x₀,u₀)=0 olduğundan δẋ≈Aδx+Bδu elde edilir.
    A=∂f/∂x|(x₀,u₀) durum Jakobiyenidir.
    B=∂f/∂u|(x₀,u₀) giriş Jakobiyenidir.

    Sesli anlatım metni

    Şimdi denge civarında doğrusallaştırma yapıyoruz. Küçük sapmaları tanımlayalım: delta x eşittir x eksi x sıfır ve delta u eşittir u eksi u sıfır. Birinci dereceden Taylor açılımı kullanarak: f x sıfır artı delta x virgül u sıfır artı delta u yaklaşık olarak f x sıfır virgül u sıfır artı f'nin x'e göre kısmi türevi çarpı delta x artı f'nin u'ya göre kısmi türevi çarpı delta u'dur. Dengede f x sıfır virgül u sıfır eşittir sıfır olduğundan, delta x nokta yaklaşık olarak A çarpı delta x artı B çarpı delta u elde ederiz. A matrisi, f'nin x'e göre Jakobiyen matrisidir ve denge noktasında hesaplanır. Benzer şekilde B, f'nin u'ya göre Jakobiyenidir.

  5. 5. Manyetik süspansiyon Jakobiyenlerini hesapla

    Denge koşulu, Taylor açılımı, manyetik süspansiyon Jakobiyenleri ve yerel doğrusal yaklaşımın geçerlilik bölgesini gösteren ders karesi.
    Denge çevresindeki sapmalar için birinci derece Taylor açılımı, doğrusal olmayan modeli δẋ=Aδx+Bδu yerel LTI biçimine yaklaştırır.
    Manyetik süspansiyon için Jakobiyen matrislerini hesaplayalım.
    Durum fonksiyonları f₁=x₂, f₂=g−(c/m)x₃²/x₁² ve f₃=(u−Rx₃)/L'dir.
    A matrisi için her duruma göre kısmi türevleri alıyoruz.
    ∂f₂/∂x₁=2cx₃²/(mx₁³) olur.
    ∂f₂/∂x₃=−2cx₃/(mx₁²) olur.
    ∂f₃/∂x₃=−R/L olur.
    B=[0,0,1/L]ᵀ olur.
    y=x₁ olduğundan C=[1,0,0] ve D=0'dır.

    Sesli anlatım metni

    Manyetik süspansiyon için Jakobiyen matrislerini hesaplayalım. Durum denklemleri: f bir eşittir x iki, f iki eşittir g eksi c bölü m çarpı x üç kare bölü x bir kare, ve f üç eşittir bir bölü L çarpı u eksi R x üç. A matrisi için her duruma göre kısmi türevleri alıyoruz. f ikinin x bire göre kısmi türevi, iki c bölü m çarpı x üç kare bölü x bir küptür. f ikinin x üçe göre kısmi türevi, eksi iki c bölü m çarpı x üç bölü x bir karedir. f üçün x üçe göre kısmi türevi, eksi R bölü L'dir. B matrisi için tek sıfır olmayan giriş, f üçün u'ya göre kısmi türevidir ve bu da bir bölü L'dir. C eşittir bir sıfır sıfır çünkü çıkış x birdir ve D eşittir sıfırdır.

  6. 6. Sapma değişkenlerinde yerel LTI modeli yaz

    Denge koşulu, Taylor açılımı, manyetik süspansiyon Jakobiyenleri ve yerel doğrusal yaklaşımın geçerlilik bölgesini gösteren ders karesi.
    Denge çevresindeki sapmalar için birinci derece Taylor açılımı, doğrusal olmayan modeli δẋ=Aδx+Bδu yerel LTI biçimine yaklaştırır.
    İşte birinci dereceden doğrusallaştırılmış yerel model.
    Sapma modeli δẋ=Aδx+Bδu, δy=Cδx'tir.
    Bu artık sapma değişkenlerinde standart bir doğrusal zamanla değişmeyen sistemdir.
    Transfer fonksiyonunu hesaplayabilir, A'nın özdeğerleriyle kararlılığı analiz edebilir, kök yer eğrisi veya frekans cevabı yöntemleriyle kontrolcü tasarlayabiliriz.
    Unutmayın, delta x ve delta u çalışma noktasından küçük sapmaları temsil eder.
    Doğrusallaştırma yalnızca dengenin yakınında geçerlidir.

    Sesli anlatım metni

    İşte tam doğrusallaştırılmış model. Sapma durum denklemi delta x nokta eşittir A çarpı delta x artı B çarpı delta u, ve çıkış denklemi delta y eşittir C çarpı delta x'tir. Bu artık sapma değişkenlerinde standart bir doğrusal zamanla değişmeyen sistemdir. Transfer fonksiyonunu hesaplayabilir, A'nın özdeğerleriyle kararlılığı analiz edebilir, kök yer eğrisi veya frekans cevabı yöntemleriyle kontrolcü tasarlayabiliriz. Unutmayın, delta x ve delta u çalışma noktasından küçük sapmaları temsil eder. Doğrusallaştırma yalnızca dengenin yakınında geçerlidir.

  7. 7. Teğet yaklaşımının yerel kapsamını yorumla

    Denge koşulu, Taylor açılımı, manyetik süspansiyon Jakobiyenleri ve yerel doğrusal yaklaşımın geçerlilik bölgesini gösteren ders karesi.
    Denge çevresindeki sapmalar için birinci derece Taylor açılımı, doğrusal olmayan modeli δẋ=Aδx+Bδu yerel LTI biçimine yaklaştırır.
    Geometrik olarak düşünelim.
    Manyetik kuvvet c i kare bölü x kare şeklinde doğrusal olmayan bir eğridir.
    Denge noktasında bir teğet doğru çizeriz.
    Bu teğet bizim doğrusal yaklaşıklamamızdır.
    Dengenin yeterince yakınında teğet, seçilen hata toleransı içinde eğriyi iyi yaklaştırabilir.
    Ancak dengeden uzaklaştıkça teğet gerçek eğriden sapar.
    Geçerlilik aralığı çalışma noktası, model ve kabul edilen hataya bağlıdır.
    Yaklaşıklama, çalışma noktası civarındaki küçük sapmalar için en iyi sonucu verir.

    Sesli anlatım metni

    Geometrik olarak düşünelim. Manyetik kuvvet c i kare bölü x kare şeklinde doğrusal olmayan bir eğridir. Denge noktasında bir teğet doğru çizeriz. Bu teğet bizim doğrusal yaklaşıklamamızdır. Dengenin yakınında teğet eğriyle çok uyumludur, dolayısıyla doğrusal model doğrudur. Ancak dengeden uzaklaştıkça teğet gerçek eğriden sapar. Bu yüzden doğrusallaştırılmış modellerin geçerlilik aralığı sınırlıdır. Yaklaşıklama, çalışma noktası civarındaki küçük sapmalar için en iyi sonucu verir.

  8. 8. Küçük ve büyük sapma davranışını karşılaştır

    Denge koşulu, Taylor açılımı, manyetik süspansiyon Jakobiyenleri ve yerel doğrusal yaklaşımın geçerlilik bölgesini gösteren ders karesi.
    Denge çevresindeki sapmalar için birinci derece Taylor açılımı, doğrusal olmayan modeli δẋ=Aδx+Bδu yerel LTI biçimine yaklaştırır.
    Doğrusal olmayan ve doğrusallaştırılmış cevapları karşılaştıralım.
    Yeterince küçük bir sapmada yerel lineer ve doğrusal olmayan cevaplar birbirine yakın olabilir.
    Birinci derece model, doğrulanan yerel bölgede davranışı yaklaşık tahmin eder.
    Büyük sapmalarda ihmal edilen yüksek dereceli terimler büyür ve cevaplar önemli ölçüde ayrışabilir.
    Doğrusal model kürenin dengeye döndüğünü öngörebilirken, doğrusal olmayan model kürenin düştüğünü gösterebilir.
    Bu, doğrusallaştırmanın yalnızca çalışma noktası yakınında geçerli yerel bir yaklaşıklama olduğunu vurgular.

    Sesli anlatım metni

    Doğrusal olmayan ve doğrusallaştırılmış cevapları karşılaştıralım. Dengeden küçük bir sapma için iki cevap neredeyse aynıdır. Doğrusallaştırılmış model davranışı doğru şekilde tahmin eder. Ancak büyük bir bozulma için doğrusallaştırılmış model gerçek doğrusal olmayan cevaptan önemli ölçüde sapıyor. Doğrusal model kürenin dengeye döndüğünü öngörebilirken, doğrusal olmayan model kürenin düştüğünü gösterebilir. Bu, doğrusallaştırmanın yalnızca çalışma noktası yakınında geçerli yerel bir yaklaşıklama olduğunu vurgular.

  9. 9. Çalışma noktası doğrusallaştırma prosedürünü toparla

    Denge koşulu, Taylor açılımı, manyetik süspansiyon Jakobiyenleri ve yerel doğrusal yaklaşımın geçerlilik bölgesini gösteren ders karesi.
    Denge çevresindeki sapmalar için birinci derece Taylor açılımı, doğrusal olmayan modeli δẋ=Aδx+Bδu yerel LTI biçimine yaklaştırır.
    Çalışma noktası doğrusallaştırma prosedürünü özetleyelim.
    Birinci adım: f(x₀,u₀)=0 denklemini çözerek dengeyi bulun.
    İkinci adım: kısmi türevleri alarak ve dengede hesaplayarak A ve B Jakobiyen matrislerini hesaplayın.
    Üçüncü adım: sapma değişkenlerinde δẋ=Aδx+Bδu modelini yazın.
    Sonuç, çalışma noktası civarında doğrusal olmayan davranışı yaklaşıklayan bir doğrusal zamanla değişmeyen sistemdir.
    Bu, durum uzayı modelleri üzerine Ders üçü tamamlıyor.
    Doğrusal durum uzayı gösterimi ile başladık, durum uzayı ve transfer fonksiyonları arasında dönüşüm yaptık, doğrusal olmayan sistemleri modelledik ve şimdi onları doğrusallaştırmayı öğrendik.
    Bu araçlar modern kontrol sistemi tasarımının temelini oluşturur.

    Sesli anlatım metni

    Set noktası doğrusallaştırma prosedürünü özetleyelim. Birinci adım: f x sıfır virgül u sıfır eşittir sıfır çözerek dengeyi bulun. İkinci adım: kısmi türevleri alarak ve dengede hesaplayarak A ve B Jakobiyen matrislerini hesaplayın. Üçüncü adım: sapma değişkenlerinde doğrusallaştırılmış modeli yazın, delta x nokta eşittir A delta x artı B delta u. Sonuç, çalışma noktası civarında doğrusal olmayan davranışı yaklaşıklayan bir doğrusal zamanla değişmeyen sistemdir. Bu, durum uzayı modelleri üzerine Ders üçü tamamlıyor. Doğrusal durum uzayı gösterimi ile başladık, durum uzayı ve transfer fonksiyonları arasında dönüşüm yaptık, doğrusal olmayan sistemleri modelledik ve şimdi onları doğrusallaştırmayı öğrendik. Bu araçlar modern kontrol sistemi tasarımının temelini oluşturur.

Kaynak video: Kontrol Teorisi #18 — Calışma Noktası Doğrusallaştırma (6:35)