Kontrol Teorisi · Çalışma Noktası Doğrusallaştırma — Çözümlü Örnek 9

#32 Skaler doğrusal olmayan durum ve çıkış denklemlerinde denge çalışma noktası seçimi, Jacobian katsayıları ve sapma değişkenleriyle yerel model

Önce denge kapısını uygulayın, sonra Jacobian'ı değerlendirin; (1,1) çevresinde δẋ=5δx−4δu ve δy=3δx+3δu modelini kurun.

Soru

Doğrusal olmayan skaler sistemde üç çalışma noktası adayını, Jacobian türevlerini ve yerel sapma modelini gösteren Türkçe çözüm karesi.
Yalnız (x*,u*)=(1,1) denge koşulunu sağlar; y*=3 etrafında A=5, B=−4, C=3 ve D=3 katsayıları elde edilir.

ẋ=(x−1)u+2x²−2u² ve y=3xu sistemi için (1,2), (2,4) ve (1,1) aday çalışma noktalarını ẋ*=0 denge koşuluyla sınayın. Geçerli noktada durum ve çıkış fonksiyonlarının x ile u'ya göre Jacobian türevlerini hesaplayın; δx, δu ve δy sapma değişkenleriyle doğrusallaştırılmış durum-uzayı modelini yazın ve yerel kararlılık eğilimini yorumlayın.

Yazılı çözüm ve anlatım dökümü(çözümün tamamını gösterir)

Aşağıda defterde yazılan bütün satırlar ve bunlara eşlik eden sesli anlatımın tam metni bulunur.

  1. 1. Doğrusal olmayan sistemi ve üç adayı kur

    Doğrusal olmayan skaler sistemde üç çalışma noktası adayını, Jacobian türevlerini ve yerel sapma modelini gösteren Türkçe çözüm karesi.
    Yalnız (x*,u*)=(1,1) denge koşulunu sağlar; y*=3 etrafında A=5, B=−4, C=3 ve D=3 katsayıları elde edilir.
    İşte problemimiz.
    Doğrusal olmayan bir durum uzayı sistemimiz var.
    Durum denklemi:
    x˙=(x−1)u+2x2−2u2.\displaystyle ẋ=\left(x-1\right)u+2x²-2u².
    Çıkış denklemi: y=3xu.
    Her iki denklem de doğrusal değil.
    Durum denkleminde x u çarpımı, x kare ve u kare terimleri var.
    Çıkışta da x u çarpımı var.
    Bize üç aday çalışma noktası verilmiş ve hangilerinin doğrusallaştırma için uygun olduğunu belirlememiz gerekiyor.

    Sesli anlatım metni

    İşte problemimiz. Doğrusal olmayan bir durum uzayı sistemimiz var. Durum denklemi x nokta eşittir x eksi 1 çarpı u, artı 2 x kare, eksi 2 u kare. Çıkış denklemi y eşittir 3 x u. Her iki denklem de doğrusal değil. Durum denkleminde x u çarpımı, x kare ve u kare terimleri var. Çıkışta da x u çarpımı var. Bize üç aday çalışma noktası verilmiş ve hangilerinin doğrusallaştırma için uygun olduğunu belirlememiz gerekiyor.

  2. 2. Adayları ẋ*=0 denge koşuluyla denetle

    Doğrusal olmayan skaler sistemde üç çalışma noktası adayını, Jacobian türevlerini ve yerel sapma modelini gösteren Türkçe çözüm karesi.
    Yalnız (x*,u*)=(1,1) denge koşulunu sağlar; y*=3 etrafında A=5, B=−4, C=3 ve D=3 katsayıları elde edilir.
    Geçerli sabit çalışma noktası için denge koşulu ẋ*=f(x*,u*)=0'dır.
    Her adayı kontrol edelim.
    Aday 1:
    (x⋅,u⋅)=(1,2).\displaystyle \left(x\cdot ,u\cdot \right)=\left(1,2\right).
    f(1,2)=(1−1)2+2⋅12−2⋅22.\displaystyle f\left(1,2\right)=\left(1-1\right)2+2\cdot 1²-2\cdot 2².
    f(1,2)=0+2−8=−6≠0.\displaystyle f\left(1,2\right)=0+2-8=-6\ne 0.
    Sıfır değil, aday 1 geçersiz.
    Aday 2:
    (x⋅,u⋅)=(2,4).\displaystyle \left(x\cdot ,u\cdot \right)=\left(2,4\right).
    f(2,4)=(2−1)4+2⋅22−2⋅42.\displaystyle f\left(2,4\right)=\left(2-1\right)4+2\cdot 2²-2\cdot 4².
    f(2,4)=4+8−32=−20≠0.\displaystyle f\left(2,4\right)=4+8-32=-20\ne 0.
    Sıfır değil, geçersiz.
    Aday 3:
    (x⋅,u⋅)=(1,1).\displaystyle \left(x\cdot ,u\cdot \right)=\left(1,1\right).
    f(1,1)=(1−1)1+2⋅12−2⋅12.\displaystyle f\left(1,1\right)=\left(1-1\right)1+2\cdot 1²-2\cdot 1².
    f(1,1)=0+2−2=0.\displaystyle f\left(1,1\right)=0+2-2=0.
    Mükemmel.
    Geçerli nokta:
    (x⋅,u⋅,y⋅)=(1,1,3).\displaystyle \left(x\cdot ,u\cdot ,y\cdot \right)=\left(1,1,3\right).

    Sesli anlatım metni

    Bir çalışma noktasının geçerli olması için sistem dengede olmalı, yani x nokta eşittir sıfır olmalı. Her adayı kontrol edelim. Aday 1: x eşittir 1 ve u eşittir 2. x noktaya koyalım: 1 eksi 1 çarpı 2, artı 2 çarpı 1 kare, eksi 2 çarpı 2 kare. Bu 0 artı 2 eksi 8, eşittir eksi 6. Sıfır değil, aday 1 geçersiz. Aday 2: x eşittir 2 ve u eşittir 4. Koyalım: 2 eksi 1 çarpı 4, artı 2 çarpı 4, eksi 2 çarpı 16. Bu 4 artı 8 eksi 32, eşittir eksi 20. Sıfır değil, geçersiz. Aday 3: x eşittir 1 ve u eşittir 1. Koyalım: 1 eksi 1 çarpı 1, artı 2 çarpı 1, eksi 2 çarpı 1. Bu 0 artı 2 eksi 2, eşittir sıfır. Mükemmel. Aday 3 geçerli çalışma noktamız.

  3. 3. Durum ve çıkış Jacobian türevlerini hesapla

    Doğrusal olmayan skaler sistemde üç çalışma noktası adayını, Jacobian türevlerini ve yerel sapma modelini gösteren Türkçe çözüm karesi.
    Yalnız (x*,u*)=(1,1) denge koşulunu sağlar; y*=3 etrafında A=5, B=−4, C=3 ve D=3 katsayıları elde edilir.
    Doğrusallaştırma noktası:
    (x⋅,u⋅)=(1,1).\displaystyle \left(x\cdot ,u\cdot \right)=\left(1,1\right).
    Jacobian'a ihtiyacımız var, f ve g'nin kısmi türevleri.
    f(x,u)=(x−1)u+2x2−2u2.\displaystyle f\left(x,u\right)=\left(x-1\right)u+2x²-2u².
    ∂f∂x=u+4x.\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}=u+4x.
    A=(∂f∂x)⋅=1+4=5.\displaystyle A=\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)\cdot =1+4=5.
    ∂f∂u=x−1−4u.\displaystyle \frac{\partial f}{\partial u}=x-1-4u.
    B=(∂f∂u)⋅=0−4=−4.\displaystyle B=\left(\frac{\partial f}{\partial u}\right)\cdot =0-4=-4.
    Çıkış fonksiyonu: g(x,u)=3xu.
    ∂g∂x=3u⇒C=3.\displaystyle \frac{\partial g}{\partial x}=3u \Rightarrow C=3.
    Çalışma noktasında: 3.
    ∂g∂u=3x⇒D=3.\displaystyle \frac{\partial g}{\partial u}=3x \Rightarrow D=3.
    Çalışma noktasında: 3.

    Sesli anlatım metni

    Şimdi x çalışma noktası eşittir 1, u çalışma noktası eşittir 1'de doğrusallaştırıyoruz. Jacobian'a ihtiyacımız var, f ve g'nin kısmi türevleri. Durum fonksiyonu f x, u eşittir x eksi 1 çarpı u, artı 2 x kare, eksi 2 u kare. f'nin x'e göre kısmi türevi eşittir u artı 4 x. Çalışma noktasında: 1 artı 4 eşittir 5. f'nin u'ya göre kısmi türevi eşittir x eksi 1, eksi 4 u. Çalışma noktasında: 0 eksi 4 eşittir eksi 4. Çıkış fonksiyonu g x, u eşittir 3 x u için. g'nin x'e göre kısmi türevi eşittir 3 u. Çalışma noktasında: 3. g'nin u'ya göre kısmi türevi eşittir 3 x. Çalışma noktasında: 3.

  4. 4. Sapma değişkenleriyle yerel modeli yaz

    Doğrusal olmayan skaler sistemde üç çalışma noktası adayını, Jacobian türevlerini ve yerel sapma modelini gösteren Türkçe çözüm karesi.
    Yalnız (x*,u*)=(1,1) denge koşulunu sağlar; y*=3 etrafında A=5, B=−4, C=3 ve D=3 katsayıları elde edilir.
    Sapmalar δx=x−1 ve δu=u−1 için δẋ=5δx−4δu.
    δy=y−3 için δy=3δx+3δu.
    Yerel katsayılar:
    A=5,B=−4,C=3,D=3.\displaystyle A=5, B=-4, C=3, D=3.
    Bu sayıların çalışma noktası yakınındaki yerel davranış hakkında ne söylediğine dikkat edin.
    δu=0 iken δẋ=5δx ⇒ δx(t)=δx(0)e5t; açık-çevrim yerel dinamik kararsızdır.
    B=−4, kontrol girişinin durum türevine ters işaretli etki verdiğini gösterir.
    C=3 ve D=3: çıkışta hem durum katkısı hem doğrudan giriş geçişi vardır.
    Bu tam doğrusallaştırılmış modelimiz.

    Sesli anlatım metni

    Hepsini bir araya koyarsak, doğrusallaştırılmış durum uzayı modeli şöyle: delta x nokta eşittir 5 delta x eksi 4 delta u. delta y eşittir 3 delta x artı 3 delta u. Matris gösteriminde: a katsayısı 5, b katsayısı eksi 4, c katsayısı 3 ve d katsayısı 3. Bu sayıların çalışma noktası yakınındaki yerel davranış hakkında ne söylediğine dikkat edin. x'teki küçük bir sapma x noktayı 5 katı büyütür, kararsız bir eğilim. u'daki küçük bir sapma x noktayı 4 azaltır, kontrol yeteneği sağlar. Çıkışta hem durum hem giriş sapmaları eşit şekilde 3 katsayısıyla katkıda bulunur. Bu tam doğrusallaştırılmış modelimiz.

  5. 5. Denge seçimini ve doğrusallaştırmayı toparla

    Doğrusal olmayan skaler sistemde üç çalışma noktası adayını, Jacobian türevlerini ve yerel sapma modelini gösteren Türkçe çözüm karesi.
    Yalnız (x*,u*)=(1,1) denge koşulunu sağlar; y*=3 etrafında A=5, B=−4, C=3 ve D=3 katsayıları elde edilir.
    Özetleyelim.
    x nokta eşittir x eksi 1 çarpı u artı 2 x kare eksi 2 u kare ve y eşittir 3 x u olan doğrusal olmayan bir sistemimiz vardı.
    Kısım a'da üç aday çalışma noktasını x noktaya koyup sıfıra eşit olmasını isteyerek kontrol ettik.
    Yalnız aday 3, (x*,u*,y*)=(1,1,3), denge koşulunu sağlar.
    Kısım b'de f ve g'nin dört kısmi türevini hesapladık, çalışma noktasında değerlendirdik ve doğrusallaştırılmış modeli yazdık.
    Sonuç: δẋ=5δx−4δu ve δy=3δx+3δu.
    Yerel model yalnız (1,1) çalışma noktası çevresindeki küçük sapmalar için geçerlidir.

    Sesli anlatım metni

    Özetleyelim. x nokta eşittir x eksi 1 çarpı u artı 2 x kare eksi 2 u kare ve y eşittir 3 x u olan doğrusal olmayan bir sistemimiz vardı. Kısım a'da üç aday çalışma noktasını x noktaya koyup sıfıra eşit olmasını isteyerek kontrol ettik. Sadece aday 3, x eşittir 1 ve u eşittir 1, denge koşulunu sağladı. Kısım b'de f ve g'nin dört kısmi türevini hesapladık, çalışma noktasında değerlendirdik ve doğrusallaştırılmış modeli yazdık. Sonuç: delta x nokta eşittir 5 delta x eksi 4 delta u, ve delta y eşittir 3 delta x artı 3 delta u. İki kısım, temiz Jacobian doğrusallaştırma, tamam.

Kaynak video: Kontrol Teorisi #32 — Çalışma Noktası Doğrusallaştırma (Çözümlü Örnek 9) (4:18)