Dijital Tasarım · SOP, POS ve Kanonik Biçimler

#05 Truth table’dan minterm, maxterm, kanonik SOP ve kanonik POS çıkarımı

Truth table satırlarını minterm ve maxtermlere dönüştürerek kanonik SOP ve POS ifadelerini sistematik biçimde kur; iki gösterimi aynı F sütunuyla doğrula.

Soru

F yalnız C birken bir olan sekiz satırlı truth table ile yanında m1, m3, m5, m7 SOP ve M0, M2, M4, M6 POS gösterimlerini karşılaştıran görsel. — Aynı F sütunu, bir satırlarından `Σm(1,3,5,7)` veya sıfır satırlarından `ΠM(0,2,4,6)` olarak eksiksiz kurulabilir.

Üç girişli bir truth table’dan kanonik SOP ve kanonik POS ifadelerinin nasıl kurulduğunu açıklayın. Minterm ve maxterm işaret kurallarını tek satırlık örneklerle gösterin. F çıkışının yalnız C=1 iken 1 olduğu sekiz satırlı tablo için Σm ve ΠM gösterimlerini, açık Boolean ifadelerini ve F=C sağlamasını çıkarın; biçim seçimini terim sayısıyla karşılaştırın.

Yazılı çözüm ve anlatım dökümü(çözümün tamamını gösterir)

Aşağıda defterde yazılan bütün satırlar ve bunlara eşlik eden sesli anlatımın tam metni bulunur.

1. Truth table’dan SOP ve POS yollarını ayır
İki yol farklı satır kümelerini kullanır, fakat aynı sekiz çıkış değerini tarif eder.
n giriş → 2ⁿ truth table satırı
SOP = sum of products = çarpımların toplamı
SOP kaynağı: F=1 olan satırlar
Her seçili 1 satırı → bir minterm
POS = product of sums = toplamların çarpımı
POS kaynağı: F=0 olan satırlar
Her seçili 0 satırı → bir maxterm
Farklı tarif, aynı truth-table sözleşmesi
Sesli anlatım metni
Bir truth table'dan sistematik olarak Boolean ifade çıkarmak için iki standart yol kullanırız. SOP, yani sum of products, output'un bir olduğu satırlardan kurulur. POS, yani product of sums, output'un sıfır olduğu satırlardan kurulur. İki yöntem zıt satır gruplarına bakar, fakat aynı output sütununu tarif eder. Önemli avantaj şudur: ifadeyi tahmin etmeyiz; tablodaki her gerekli satırı belirli bir kuralla ifadeye dönüştürürüz.
2. F=1 satırlarını minterm ve kanonik SOP’ye dönüştür
Minterm seçilen satırda 1 olmalıdır: 1 biti doğrudan, 0 biti tümleyenli yazılır.
SOP: AND terimlerini OR ile birleştir
Kanonik minterm bütün n girişleri bir kez içerir
Minterm yalnız hedef satırda 1 olur
Minterm kuralı: satır biti 1 → değişken
Minterm kuralı: satır biti 0 → tümleyen
Örnek satır: ABC=101
$\displaystyle m₅=A\cdot ¬B\cdot C$
101’de:
$\displaystyle 1\cdot 1\cdot 1=1$
Başka her satırda en az bir literal 0 olur
Kanonik SOP = F=1 satırlarının mintermlerini OR’la
Sesli anlatım metni
SOP, birden fazla AND terimini OR ile toplamaktır. Canonical biçimde her AND terimi bütün input'ları tam bir kez içerir ve tek bir satırda bir olacak şekilde yazılır; bu terime minterm denir. Örneğin A bir, B sıfır, C bir satırında A doğrudan, B terslenmiş, C doğrudan yazılır: A AND NOT B AND C. Bu terim yalnız bir sıfır bir satırında birdir. Output'u bir olan her satır için bir minterm yazıp hepsini OR ile birleştirirsek canonical SOP elde ederiz.
3. F=0 satırlarını maxterm ve kanonik POS’a dönüştür
Maxterm seçilen satırda 0 olmalıdır: 1 biti tümleyenli, 0 biti doğrudan yazılır.
POS: OR terimlerini AND ile birleştir
Kanonik maxterm bütün n girişleri bir kez içerir
Maxterm yalnız hedef satırda 0 olur
Maxterm kuralı: satır biti 1 → tümleyen
Maxterm kuralı: satır biti 0 → değişken
Örnek sıfır satırı: ABC=100
$\displaystyle M₄=\left(¬A+B+C\right)$
100’de:
$\displaystyle 0+0+0=0$
Başka her satırda en az bir literal 1 olur
Kanonik POS = F=0 satırlarının maxtermlerini AND’le
Sesli anlatım metni
POS, birden fazla OR terimini AND ile çarpmaktır. Canonical biçimde her OR terimi bütün input'ları bir kez içerir ve seçilen tek satırda sıfır olacak şekilde yazılır; buna maxterm denir. İşaret seçimi minterm'in tersidir. A bir, B sıfır, C sıfır satırını sıfır yapmak için NOT A, B ve C kullanılır. Bu üçlü OR yalnız o satırda sıfırdır. Output'u sıfır olan her satırın maxterm'ini yazıp AND ile birleştirince canonical POS oluşur.
4. F=C tablosu için iki kanonik biçimi eksiksiz kur
Bir ve sıfır satırları ayrı biçimler üretse de her ikisi sekiz satırın tamamında `F=C` sonucunu verir.
ABC sırası: 000 001 010 011 100 101 110 111
F sütunu: 0 1 0 1 0 1 0 1
Bir satırları: 001, 011, 101, 111
Kanonik SOP:
$\displaystyle F=Σm\left(1,3,5,7\right)$
$\displaystyle F=¬A\cdot ¬B\cdot C+¬A\cdot B\cdot C+A\cdot ¬B\cdot C+A\cdot B\cdot C$
Sıfır satırları: 000, 010, 100, 110
Kanonik POS:
$\displaystyle F=ΠM\left(0,2,4,6\right)$
$\displaystyle F=\left(A+B+C\right)\left(A+¬B+C\right)\left(¬A+B+C\right)\left(¬A+¬B+C\right)$
SOP’de dört terimin ortak literali C’dir
C=0 → bütün mintermler 0; F=0
C=1 → dört AB durumundan tam biri seçilir; F=1
İki kanonik ifade de F=C’ye sadeleşir
Sağlama: 4 bir + 4 sıfır = 8=2³ satır
Sesli anlatım metni
Şimdi F output'unun C bir olduğunda bir olduğu üç input'lu tabloyu kullanalım. Bir satırları sıfır sıfır bir, sıfır bir bir, bir sıfır bir ve bir bir birdir. SOP için bu dört satırın minterm'lerini yazıp OR ile toplarız. Sıfır satırları sıfır sıfır sıfır, sıfır bir sıfır, bir sıfır sıfır ve bir bir sıfırdır. POS için bu dört satırın maxterm'lerini yazıp AND ile çarparız. İfadeler uzun ve farklı görünse de ikisi de aynı F sütununu üretir; sadeleştirildiğinde sonuç yalnız C'dir.
5. SOP veya POS’u satır ve terim sayısıyla seç
Kanonik biçim kesin başlangıçtır; hangi çıkış değeri daha seyrekse onun satırlarını kullanan biçim genellikle daha kısa olur.
Kanonik = sistematik ve kesin; minimal demek değildir
n girişli her kanonik terim n literal içerir
k adet bir satırı → SOP’de k minterm
2ⁿ−k adet sıfır satırı → POS’ta 2ⁿ−k maxterm
Az bir satırı → çoğu kez SOP daha kısa
Az sıfır satırı → çoğu kez POS daha kısa
Eşitlikte literal, kapı ve mantık seviyesi sayısını karşılaştır
Sonra Boolean cebiri veya K-map ile sadeleştir
Sesli anlatım metni
Canonical, kesin ve sistematik demektir; mutlaka en kısa ifade demek değildir. Tabloda bir olan satır sayısı azsa SOP daha az terim kullanabilir. Sıfır olan satır sayısı azsa POS daha kısa olabilir. Önce hangi output değerinin daha az satırda bulunduğuna bakmak iyi bir başlangıçtır. Standart biçimi kurduktan sonra Boolean cebiri veya Karnaugh haritası gereksiz değişkenleri ve terimleri kaldırabilir.
6. Truth table’dan kanonik ifadeye geçiş akışını toparla
Önce hedef satırları eksiksiz yakala; ardından kanonik ifadeyi cebir veya Karnaugh haritasıyla küçült.
Minterm: tek bir F=1 satırını yakalayan AND terimi
SOP: seçili mintermlerin OR birleşimi
Maxterm: tek bir F=0 satırında sıfır olan OR terimi
POS: seçili maxtermlerin AND birleşimi
Her kanonik terim bütün girişleri tam bir kez içerir
Satır indeksi: ABC ikili sayısının onluk değeri
Örnek:
$\displaystyle F=Σm\left(1,3,5,7\right)=ΠM\left(0,2,4,6\right)=C$
Sonraki ders: Karnaugh haritasında komşu satırları grupla
Sesli anlatım metni
Dersin özeti şöyledir. Minterm, output'un bir olduğu tek bir input satırını yakalar; SOP bu minterm'leri OR ile toplar. Maxterm, output'un sıfır olduğu tek bir satırı dışlar; POS bu maxterm'leri AND ile çarpar. Her canonical terim bütün input'ları tam bir kez içerir. Bu yöntem truth table ile devre ifadesi arasında hatasız bir köprü kurar. Sonraki derste Karnaugh haritasıyla komşu satırları gruplayıp ifadeyi görsel olarak sadeleştireceğiz.