#19 نظرية الدوائر 2 #19 - دالة الانتقال والاستجابة النبضية

تجد أدناه جميع الأسطر المكتوبة في الدفتر مع النص الكامل للشرح الصوتي.

1. 1. من الاستجابة الكاملة إلى دالة الانتقال

   ملاحظات الحل المصححة. الصوت هو التسجيل الأصلي وقد يحتوي على أخطاء أو عبارات ناقصة. عند الاختلاف، يُعتمد الحل المكتوب المصحح.

   نفصل أثر الدخل عن الطاقة المخزنة ابتدائيا.

   دالة الانتقال تصف خريطة الدخل والخرج في الحالة الصفرية لنظام خطي ثابت مع الزمن.

   نص الشرح الصوتي

   في الدرس السابق كتبنا معادلات العقد والحلقات مباشرة في مجال إس. هذا يعطينا الاستجابة الكاملة، بما فيها حدود المصادر الناتجة من الطاقة المخزنة ابتدائيا. اليوم نسأل سؤالا مختلفا: إذا كان هذا هو الدخل، وهذا هو الخرج، فما الخريطة القابلة لإعادة الاستخدام التي تربطهما؟ هذه الخريطة تسمى دالة الانتقال. وثمن الحصول على خريطة نظيفة بسيط لكنه مهم: كل طاقة مخزنة ابتدائية نضعها صفرا.

2. 2. تعريف المتغيرات

   نختار X للدخل وY للخرج ثم نعرف H(s)=Y(s)/X(s) مع شروط ابتدائية صفرية.

   قد تكون الوحدات نسبة جهد إلى جهد أو تيار إلى جهد بحسب الاختيار؛ تحديد الأطراف جزء من التعريف.

   نص الشرح الصوتي

   دالة الانتقال هي H في إس تساوي Y في إس مقسوما على X في إس، مع شروط ابتدائية صفرية. X هو الدخل المختار، و Y هو الخرج المختار. إذا كان الخرج جهد مكثف، فالدالة نسبة جهود. وإذا كان الخرج تيارا، فقد تكون النسبة تيارا على جهد. لذلك لا نسمّي كل كسر دالة انتقال. يجب أن تكون النسبة بين دخل وخرج، وفي حالة صفرية ابتدائية.

3. 3. معادلة مرشح RC

   المصدر Vin يقود مقاومة R، والمكثف C بين عقدة الخرج والأرضي. الخرج Vout هو جهد المكثف.

   قانون العقدة: (Vin−Vout)/R=C dVout/dt.

   إذن RC dVout/dt+Vout=Vin؛ الجهد في طرف المشتقة هو جهد الخرج.

   نص الشرح الصوتي

   نستخدم دائرة R C المرشح المنخفض الكلاسيكية. المصدر يقود مقاومة على التوالي، ثم مكثفا إلى الأرضي. الخرج هو جهد المكثف. عند عقدة الخرج، تيار المقاومة يساوي تيار المكثف: جهد الدخل ناقص جهد الخرج، مقسوما على R، يساوي C مضروبة في مشتقة جهد الخرج. وبعد جمع الحدود نحصل على R C مضروبة في مشتقة جهد الخرج، زائد جهد الخرج، يساوي جهد الدخل.

4. 4. استخراج الدالة

   مع جهد مكثف ابتدائي صفري نحصل على (RCs+1)Vout=Vin.

   لذلك H(s)=1/(RCs+1). إذا كانت τ=RC فإن القطب عند −1/τ، مع R وC موجبتين.

   نص الشرح الصوتي

   الآن نأخذ تحويل لابلاس مع جهد ابتدائي صفري على المكثف. المشتقة تصبح s مضروبة في V output في إس، من دون حد شرط ابتدائي إضافي. إذن R C s زائد واحد، مضروبة في V output، تساوي V input. لذلك H في إس يساوي V output على V input، ويساوي واحدا على R C s زائد واحد. إذا سمينا tau تساوي R C، فإن H في إس تصبح واحدا على tau s زائد واحد، والقطب عند ناقص واحد على tau.

5. 5. الاستجابة النبضية

   تحويل نبضة الوحدة هو واحد، لذلك خرج الحالة الصفرية في مجال s يساوي H(s).

   الاستجابة الزمنية هي h(t)=(1/τ)exp(−t/τ)u(t).

   نص الشرح الصوتي

   الاستجابة النبضية تسأل: ماذا يخرج من النظام عندما يكون الدخل نبضة مثالية delta of t؟ لأن تحويل لابلاس للنبضة يساوي واحدا، فإن الخرج في مجال إس يكون ببساطة H في إس. إذن الاستجابة النبضية h of t هي التحويل العكسي لدالة الانتقال. للمرشح R C المنخفض: h of t تساوي واحدا على tau مضروبة في e أس ناقص t على tau، مضروبة في u of t. هذه هي بصمة الدائرة في الحالة الصفرية.

6. 6. الالتفاف

   لأي دخل مناسب، خرج الحالة الصفرية هو التفاف x مع h.

   في مجال لابلاس يصبح Y=XH ضمن مجال تقارب مشترك. أثر الشروط الابتدائية يضاف منفصلا عند وجوده.

   نص الشرح الصوتي

   لماذا هذا قوي؟ عندما نعرف h of t، نستطيع كتابة أي خرج صفري الحالة على شكل التفاف: y of t يساوي x of t ملتفة مع h of t. في مجال إس، هذا الالتفاف يتحول إلى ضرب: Y في إس يساوي X في إس مضروبة في H في إس. إذن دالة الانتقال ليست مجرد صيغة؛ إنها اختصار قابل لإعادة الاستخدام من الدخل إلى الخرج.

7. 7. الأقطاب والأصفار

   بعد التحقق من الاختزالات، للدالة هنا قطب واحد عند −1/τ ولا يوجد صفر محدود.

   يحدد القطب الاضمحلال الأسي ويعطي المرشح تخفيضا عند الترددات العالية.

   نص الشرح الصوتي

   نفس H في إس تشرح السلوك أيضا. جذور المقام هي الأقطاب، وهي التي تصنع الأنماط الطبيعية. وجذور البسط هي الأصفار، وهي التي تشكل ما يمر أو يلغى أو يبرز من الدخل. في مرشح R C المنخفض لا يوجد صفر محدود، ويوجد قطب واحد عند ناقص واحد على tau. هذا القطب الواحد يعطي الاضمحلال الأسي وتخفيف الترددات العالية.

8. 8. تجنب الخلط

   لا تدخل طاقة البداية في تعريف H. سم الدخل والخرج في المعادلة والرسم.

   لا تخلط الاستجابة الكاملة بالخريطة الصفرية؛ تغيير موضع الخرج يغير الدالة.

   نص الشرح الصوتي

   أربع مصائد مهمة. أولا، لا تدخل حدود الشروط الابتدائية داخل دالة الانتقال. ثانيا، اذكر الدخل والخرج دائما، لأن تغيير الخرج يغير H في إس. ثالثا، لا تخلط بين الاستجابة الكاملة والخريطة الصفرية الحالة. رابعا، تذكر أن الاستجابة النبضية هي التحويل العكسي ل H فقط تحت نفس فرضية الشروط الابتدائية الصفرية.

9. 9. الخلاصة

   دخل المرشح Vin وخرجه Vout، ومعادلته RC dVout/dt+Vout=Vin.

   دالة الانتقال 1/(RCs+1)، والاستجابة النبضية هي تحويلها العكسي تحت الفرضيات نفسها.

   نص الشرح الصوتي

   الخلاصة. دالة الانتقال هي نسبة صفرية الحالة: Y في إس على X في إس. في مرشح R C المنخفض، H في إس تساوي واحدا على tau s زائد واحد. والاستجابة النبضية هي النسخة الزمنية من هذه الخريطة: h of t تساوي التحويل العكسي ل H في إس. ولأي دخل، الخرج الصفري الحالة يساوي الدخل ملتفا مع الاستجابة النبضية. في الدرس التالي نستخدم H في إس لقراءة السلوك الترددي مباشرة.

الفيديو المصدر: نظرية الدوائر 2 #19 - دالة الانتقال والاستجابة النبضية (4:53)