Kontrol Teorisi · DC Motor Denklemlerinden Blok Diyagram

#09 Sürtünmesi ihmal edilen armatür kontrollü DC motorun elektriksel ve mekanik durum denklemlerinden bozucu girişli blok diyagramının kurulması

DC motorun bağlantılı elektriksel–mekanik denklemlerini iki durum denklemine dönüştürüp yük torku bozucusunu içeren blok diyagramı kurun.

Soru

DC motorun elektriksel ve mekanik durum denklemlerini, iki integratörü, ters EMK geri beslemesini ve yük torku bozucusunu gösteren ders karesi. — Armatür kontrollü DC motor, i_a ve ω durumlarını bağlayan iki integratör, iki elektriksel negatif geri besleme yolu ve T_L bozucu girişiyle modellenir.

Viskoz sürtünmenin ihmal edildiği DC motorda u armatür gerilimi, i_a armatür akımı, ω açısal hız ve T_L yük torku olsun. u=R_a i_a+L_a di_a/dt+cφω ve J dω/dt=cφi_a−T_L denklemlerini durum biçimine çevirip 1/L_a, R_a/L_a, cφ/L_a, cφ/J ve 1/J kazançlarıyla iki integratörlü blok diyagramı kurun; y=ω çıkışını ve negatif işaretleri doğrulayın.

Yazılı çözüm ve anlatım dökümü(çözümün tamamını gösterir)

Aşağıda defterde yazılan bütün satırlar ve bunlara eşlik eden sesli anlatımın tam metni bulunur.

1. DC motor denklemlerinden blok diyagram hedefini kur
Armatür kontrollü DC motor, i_a ve ω durumlarını bağlayan iki integratör, iki elektriksel negatif geri besleme yolu ve T_L bozucu girişiyle modellenir.
Herkese merhaba!
Kontrol teorisi kursumuzun dokuzuncu dersine hoş geldiniz.
Bu derste RLC örneğimizden DC motor örneğine geçiyoruz.
Amacımız motor denklemlerinden doğrudan doğru bir blok diyagram elde etmektir.
Sesli anlatım metni
Herkese merhaba! Kontrol teorisi kursumuzun dokuzuncu dersine hoş geldiniz. Bu derste RLC örneğimizden DC motor örneğine geçiyoruz. Amacımız motor denklemlerinden doğrudan doğru bir blok diyagram elde etmektir.
2. Giriş, çıkış ve yük torku bozucusunu tanımla
Armatür kontrollü DC motor, i_a ve ω durumlarını bağlayan iki integratör, iki elektriksel negatif geri besleme yolu ve T_L bozucu girişiyle modellenir.
Bu derste viskoz sürtünmesi ihmal edilen DC motorun elektriksel ve mekanik kısımları bağlanır.
Girişimiz armatür gerilimi u olacak, çıkışımız ise açısal hız omega olacak.
Ayrıca yük torku da bozucu giriş olarak yer alacaktır.
Sesli anlatım metni
DC motor, birbiriyle bağlantılı elektriksel ve mekanik kısımlara sahiptir. Girişimiz armatür gerilimi u olacak, çıkışımız ise açısal hız omega olacak. Ayrıca yük torku da bozucu giriş olarak yer alacaktır.
3. Elektriksel armatür denklemini kur
Armatür kontrollü DC motor, i_a ve ω durumlarını bağlayan iki integratör, iki elektriksel negatif geri besleme yolu ve T_L bozucu girişiyle modellenir.
Elektriksel denklemle başlayalım.
Armatür gerilimi, direnç düşüşü artı endüktans düşüşü artı ters elektromotor kuvvetine eşittir.
u=R_a·i_a+L_a·(di_a/dt)+e_b.
Sesli anlatım metni
Elektriksel denklemle başlayalım. Armatür gerilimi, direnç düşüşü artı endüktans düşüşü artı ters elektromotor kuvvetine eşittir. Formül olarak, u eşittir R a çarpı i a artı L a çarpı d i a bölü d t artı e b.
4. Ters EMK ve motor torku bağlantılarını tanımla
Armatür kontrollü DC motor, i_a ve ω durumlarını bağlayan iki integratör, iki elektriksel negatif geri besleme yolu ve T_L bozucu girişiyle modellenir.
Şimdi bağlantı ilişkilerini ekleyelim.
Ters elektromotor kuvveti hızla orantılıdır.
$\displaystyle e_{b}=c\varphi \cdot \omega .$
Elektromanyetik tork ise akımla orantılıdır.
$\displaystyle T_{m}=c\varphi \cdot i_{a}.$
Sesli anlatım metni
Şimdi bağlantı ilişkilerini ekleyelim. Ters elektromotor kuvveti hızla orantılıdır. Yani e b eşittir c fi çarpı omega. Elektromanyetik tork ise akımla orantılıdır. Yani T m eşittir c fi çarpı i a.
5. Mekanik hız denklemini kur
Armatür kontrollü DC motor, i_a ve ω durumlarını bağlayan iki integratör, iki elektriksel negatif geri besleme yolu ve T_L bozucu girişiyle modellenir.
Mekanik taraf için atalet çarpı hız türevi, motor torkundan yük torkunu çıkarmaya eşittir.
$\displaystyle J\cdot \left(\frac{\mathrm{d}\omega }{\mathrm{d}t}\right)=T_{m}-T_{L}.$
Burada T L, bozucu tork olarak yer alır.
Sesli anlatım metni
Mekanik taraf için atalet çarpı hız türevi, motor torkundan yük torkunu çıkarmaya eşittir. Formül olarak J çarpı d omega bölü d t eşittir T m eksi T L. Burada T L, bozucu tork olarak yer alır.
6. Bağlantı terimlerini ana denklemlere yerleştir
Armatür kontrollü DC motor, i_a ve ω durumlarını bağlayan iki integratör, iki elektriksel negatif geri besleme yolu ve T_L bozucu girişiyle modellenir.
Tork ve ters EMK ilişkilerini ana denklemlere yerleştirelim.
Ardından türevleri sol tarafa alalım.
Bu bize biri akım için, diğeri hız için olmak üzere iki diferansiyel denklem verir.
Sesli anlatım metni
Tork ve ters EMK ilişkilerini ana denklemlere yerleştirelim. Ardından türevleri sol tarafa alalım. Bu bize biri akım için, diğeri hız için olmak üzere iki diferansiyel denklem verir.
7. Armatür akımı durum denklemini elde et
Armatür kontrollü DC motor, i_a ve ω durumlarını bağlayan iki integratör, iki elektriksel negatif geri besleme yolu ve T_L bozucu girişiyle modellenir.
Akım denklemi şu hale gelir.
di_a/dt=(1/L_a)u−(R_a/L_a)i_a−(cφ/L_a)ω.
Bu bizim birinci durum denklemimizdir.
Sesli anlatım metni
Akım denklemi şu hale gelir. d i a bölü d t eşittir bir bölü L a çarpı u eksi R a bölü L a çarpı i a eksi c fi bölü L a çarpı omega. Bu bizim birinci durum denklemimizdir.
8. Açısal hız durum denklemini elde et
Armatür kontrollü DC motor, i_a ve ω durumlarını bağlayan iki integratör, iki elektriksel negatif geri besleme yolu ve T_L bozucu girişiyle modellenir.
Hız denklemi şu hale gelir.
$\displaystyle \frac{\mathrm{d}\omega }{\mathrm{d}t}=\left(\frac{c\varphi }{J}\right)i_{a}-\left(\frac{1}{J}\right)T_{L}.$
Bu bizim ikinci durum denklemimizdir.
Sesli anlatım metni
Hız denklemi şu hale gelir. d omega bölü d t eşittir c fi bölü J çarpı i a eksi bir bölü J çarpı T L. Bu bizim ikinci durum denklemimizdir.
9. İki durum denklemini integratör formuna çevir
Armatür kontrollü DC motor, i_a ve ω durumlarını bağlayan iki integratör, iki elektriksel negatif geri besleme yolu ve T_L bozucu girişiyle modellenir.
Blok diyagram çizimi için türevleri integratör formuna çeviriyoruz.
Sıfır başlangıç koşullarında i_a=∫[(1/L_a)u−(R_a/L_a)i_a−(cφ/L_a)ω]dt ve ω=∫[(cφ/J)i_a−(1/J)T_L]dt.
Sesli anlatım metni
Blok diyagram çizimi için türevleri integratör formuna çeviriyoruz. Her iki denklemi de integre edersek, i a birinci parantezin integralini, omega ise ikinci parantezin integralini verir.
10. Dört adımlı yöntemin koşullarını doğrula
Armatür kontrollü DC motor, i_a ve ω durumlarını bağlayan iki integratör, iki elektriksel negatif geri besleme yolu ve T_L bozucu girişiyle modellenir.
Dört adımlı yöntemi hızlıca doğrulayalım.
Giriş ve çıkış bellidir: u ve omega.
Türevler integratörlerle kaldırıldı.
Çıkış zaten durum formunda yalnız bırakıldı.
Artık çizebiliriz.
Sesli anlatım metni
Dört adımlı yöntemi hızlıca doğrulayalım. Giriş ve çıkış bellidir: u ve omega. Türevler integratörlerle kaldırıldı. Çıkış zaten durum formunda yalnız bırakıldı. Artık çizebiliriz.
11. Üç girişli akım toplama noktasını planla
Armatür kontrollü DC motor, i_a ve ω durumlarını bağlayan iki integratör, iki elektriksel negatif geri besleme yolu ve T_L bozucu girişiyle modellenir.
Öncelikle akım dinamiği için bir toplama noktası çizelim.
Bu nokta üç terimi birleştirmelidir.
Σ₁ girişleri: +(1/L_a)u, −(R_a/L_a)i_a ve −(cφ/L_a)ω.
Sesli anlatım metni
Öncelikle akım dinamiği için bir toplama noktası çizelim. Bu nokta üç terimi birleştirmelidir. Artı bir bölü L a çarpı u, eksi R a bölü L a çarpı i a ve eksi c fi bölü L a çarpı omega.
12. Armatür gerilimi giriş yolunu çiz
Armatür kontrollü DC motor, i_a ve ω durumlarını bağlayan iki integratör, iki elektriksel negatif geri besleme yolu ve T_L bozucu girişiyle modellenir.
İleri yönde giriş yolunu oluşturalım.
u sinyalini 1/L_a kazancından geçirip Σ₁'in pozitif girişine bağlayalım.
Sesli anlatım metni
İleri yönde giriş yolunu oluşturalım. u sinyalini bir bölü L a kazanç bloğundan geçirelim ve akım toplama noktasının artı girişine bağlayalım.
13. R_a/L_a akım geri besleme yolunu çiz
Armatür kontrollü DC motor, i_a ve ω durumlarını bağlayan iki integratör, iki elektriksel negatif geri besleme yolu ve T_L bozucu girişiyle modellenir.
Şimdi negatif akım geri beslemesini ekleyelim.
i a sinyalini akım integratörünün çıkışından alalım.
i_a sinyalini R_a/L_a kazancından geçirip Σ₁'in negatif girişine döndürelim.
Sesli anlatım metni
Şimdi negatif akım geri beslemesini ekleyelim. i a sinyalini akım integratörünün çıkışından alalım. R a bölü L a kazancından geçirelim ve aynı toplama noktasına eksi işaretiyle geri besleyelim.
14. cφ/L_a ters EMK geri besleme yolunu çiz
Armatür kontrollü DC motor, i_a ve ω durumlarını bağlayan iki integratör, iki elektriksel negatif geri besleme yolu ve T_L bozucu girişiyle modellenir.
Elektromekanik bağlantı terimini ekleyelim.
Omega sinyalini alalım.
ω sinyalini cφ/L_a kazancından geçirip Σ₁'in negatif girişine döndürelim.
İşaret yerleşimi burada kritik önem taşır.
Sesli anlatım metni
Elektromekanik bağlantı terimini ekleyelim. Omega sinyalini alalım. c fi bölü L a kazancından geçirelim ve akım toplama noktasına negatif olarak besleyelim. İşaret yerleşimi burada kritik önem taşır.
15. Akım integratörünü ekle
Armatür kontrollü DC motor, i_a ve ω durumlarını bağlayan iki integratör, iki elektriksel negatif geri besleme yolu ve T_L bozucu girişiyle modellenir.
Akım toplama noktasının çıkışı bir integratöre, yani bir bölü s bloğuna girer.
İntegratör çıkışı i a olur.
Bu sinyal diyagramın diğer bölümlerine dallanır.
Sesli anlatım metni
Akım toplama noktasının çıkışı bir integratöre, yani bir bölü s bloğuna girer. İntegratör çıkışı i a olur. Bu sinyal diyagramın diğer bölümlerine dallanır.
16. İki girişli hız toplama noktasını planla
Armatür kontrollü DC motor, i_a ve ω durumlarını bağlayan iki integratör, iki elektriksel negatif geri besleme yolu ve T_L bozucu girişiyle modellenir.
Sonra hız dinamiği toplama noktasını çizelim.
Bu noktanın iki girişi vardır.
Σ₂ girişleri: +(cφ/J)i_a ve −(1/J)T_L.
Sesli anlatım metni
Sonra hız dinamiği toplama noktasını çizelim. Bu noktanın iki girişi vardır. Artı c fi bölü J çarpı i a ve eksi bir bölü J çarpı T L.
17. cφ/J motor torku ileri yolunu çiz
Armatür kontrollü DC motor, i_a ve ω durumlarını bağlayan iki integratör, iki elektriksel negatif geri besleme yolu ve T_L bozucu girişiyle modellenir.
i_a sinyalini cφ/J kazancından geçirip Σ₂'nin pozitif girişine bağlayalım.
Bu yol motor torkunun hızlanmaya olan katkısını temsil eder.
Sesli anlatım metni
i a sinyalinden c fi bölü J kazancını ekleyip hız toplama noktasının artı girişine bağlayalım. Bu yol motor torkunun hızlanmaya olan katkısını temsil eder.
18. T_L yük torku bozucu yolunu çiz
Armatür kontrollü DC motor, i_a ve ω durumlarını bağlayan iki integratör, iki elektriksel negatif geri besleme yolu ve T_L bozucu girişiyle modellenir.
Şimdi bozucu giriş yolunu ekleyelim.
Yük torku T_L, 1/J kazancından geçerek Σ₂'nin negatif girişine bağlanır.
Sesli anlatım metni
Şimdi bozucu giriş yolunu ekleyelim. Yük torku T L, bir bölü J kazancından geçerek hız toplama noktasına eksi işaretiyle bağlanır.
19. Hız integratörünü ekle
Armatür kontrollü DC motor, i_a ve ω durumlarını bağlayan iki integratör, iki elektriksel negatif geri besleme yolu ve T_L bozucu girişiyle modellenir.
Hız toplama çıkışı başka bir integratörden, yani bir bölü s bloğundan geçer.
İntegratör çıkışı omega olur ve bu aynı zamanda çıkışımız y'dir.
Sesli anlatım metni
Hız toplama çıkışı başka bir integratörden, yani bir bölü s bloğundan geçer. İntegratör çıkışı omega olur ve bu aynı zamanda çıkışımız y'dir.
20. Çıkışı y=ω olarak tanımla
Armatür kontrollü DC motor, i_a ve ω durumlarını bağlayan iki integratör, iki elektriksel negatif geri besleme yolu ve T_L bozucu girişiyle modellenir.
Çıkışı açıkça y=ω olarak işaretleyelim.
Bu, önceki derslerde y'nin ölçülen çıkış sinyali olduğu gösterimiyle tutarlılığı korur.
Sesli anlatım metni
Çıkışı açıkça y eşittir omega olarak işaretleyelim. Bu, önceki derslerde y'nin ölçülen çıkış sinyali olduğu gösterimiyle tutarlılığı korur.
21. Eksi işaretleri ve ok yönlerini doğrula
Armatür kontrollü DC motor, i_a ve ω durumlarını bağlayan iki integratör, iki elektriksel negatif geri besleme yolu ve T_L bozucu girişiyle modellenir.
Sonlandırmadan önce her işareti ve ok yönünü kontrol edelim.
Direnç ve ters EMK terimleri elektrik döngüsünde çıkarılmalı, yük torku ise mekanik döngüde çıkarılmalıdır.
Sesli anlatım metni
Sonlandırmadan önce her işareti ve ok yönünü kontrol edelim. Direnç ve ters EMK terimleri elektrik döngüsünde çıkarılmalı, yük torku ise mekanik döngüde çıkarılmalıdır.
22. Tam DC motor blok diyagramını doğrula
Armatür kontrollü DC motor, i_a ve ω durumlarını bağlayan iki integratör, iki elektriksel negatif geri besleme yolu ve T_L bozucu girişiyle modellenir.
Artık bozucu girişli tam DC motor blok diyagramına sahibiz.
Yapı kompakt, fiziksel olarak anlamlı ve durum denklemleriyle doğrudan eşleşmektedir.
Sesli anlatım metni
Artık bozucu girişli tam DC motor blok diyagramına sahibiz. Yapı kompakt, fiziksel olarak anlamlı ve durum denklemleriyle doğrudan eşleşmektedir.
23. Eşdeğer diyagram düzenlerini yorumla
Armatür kontrollü DC motor, i_a ve ω durumlarını bağlayan iki integratör, iki elektriksel negatif geri besleme yolu ve T_L bozucu girişiyle modellenir.
Pratikte eşdeğer diyagramlar görünüş olarak farklı olabilir.
Ancak kazançlar, işaretler ve sinyal akışı korunursa matematiksel olarak aynı kalırlar.
Sesli anlatım metni
Pratikte eşdeğer diyagramlar görünüş olarak farklı olabilir. Ancak kazançlar, işaretler ve sinyal akışı korunursa matematiksel olarak aynı kalırlar.
24. DC motor modelleme akışını toparla
Armatür kontrollü DC motor, i_a ve ω durumlarını bağlayan iki integratör, iki elektriksel negatif geri besleme yolu ve T_L bozucu girişiyle modellenir.
Harika iş!
Bu derste bağlantılı bir elektrik-mekanik sistemi modelledik, durum denklemlerini türettik ve bunları doğru bir blok diyagrama dönüştürdük.
Bir sonraki derste görüşmek üzere.
Sesli anlatım metni
Harika iş! Bu derste bağlantılı bir elektrik-mekanik sistemi modelledik, durum denklemlerini türettik ve bunları doğru bir blok diyagrama dönüştürdük. Bir sonraki derste görüşmek üzere.