#12 طرح تيارات الطور، عامل جذر ثلاثة وتأخر 30°، قدرة الحمل المتوازن وفكرة المجال الدوار

تجد أدناه جميع الأسطر المكتوبة في الدفتر مع النص الكامل للشرح الصوتي.

1. 1. من واي إلى دلتا

   

   تذكير Y المتوازنة:

   $\displaystyle V_{L}=\sqrt{3} V_{p},\; I_{L}=I_{p}$

   ننتقل الآن إلى توصيلة دلتا Δ.

   ثلاث ممانعات تشكّل حلقة مثلثة؛ لا توجد نقطة مشتركة محايدة داخل دلتا.

   في دلتا المتوازنة، عامل جذر ثلاثة يربط مقادير التيار.

   نص الشرح الصوتي

   في الدرس السابق درسنا توصيل واي واي، ورأينا أن جهد الخط يساوي جذر ثلاثة مضروبا في جهد الطور، وأن تيار الخط يساوي تيار الطور. الآن نقلب شكل التوصيل إلى دلتا. في دلتا لا توجد نقطة محايدة، بل توجد ثلاث ممانعات على شكل مثلث مغلق. العامل جذر ثلاثة سيظهر مرة أخرى، لكن هذه المرة في جانب التيار، لا في جانب الجهد.

2. 2. ثبّت أطراف دلتا واتجاهاتها

   

   ثبّت اتجاهات المراجع قبل تطبيق قانون كيرشوف.

   أطراف الحمل الثلاثة هي a وb وc.

   كل فرع يصل طرفين؛ الممانعات الثلاث متساوية وتكوّن مثلثا مغلقا.

   لا يوجد طرف محايد مشترك في حمل دلتا المدروس.

   تيارات الطور داخل الفروع هي I_ab وI_bc وI_ca.

   تيارات الخط I_a وI_b وI_c مرجعها من الأسلاك الخارجية إلى داخل الحمل.

   نص الشرح الصوتي

   انظر إلى توصيل دلتا بهدوء. لدينا ثلاث نقاط طرفية: a و b و c. بين كل نقطتين توجد ممانعة Z delta، فتتشكل حلقة مثلثة مغلقة. لا توجد نقطة وسطى مشتركة، لذلك لا يوجد خط محايد. التيارات التي تمر داخل أضلاع المثلث نسميها تيارات الطور: I a b و I b c و I c a. أما التيارات التي تمر في الأسلاك الخارجية الداخلة إلى الأطراف، فنسميها تيارات الخط: I a و I b و I c.

3. 3. ميّز تيارات الفروع

   

   تيار الطور في دلتا يمر في ممانعة بين خطين، وليس إلى محايد.

   اتجاهات الفروع: I_ab من a إلى b؛ I_bc من b إلى c؛ I_ca من c إلى a.

   حمل متوازن وتتابع موجب؛ المقادير متساوية والفصل 120°.

   نأخذ فازور تيار الفرع I_ab مرجعا للمجموعة المتوازنة.

   نص الشرح الصوتي

   في دلتا، تيار الطور لا يسير من خط إلى محايد، بل يسير داخل أحد أضلاع المثلث. I a b يسير من a إلى b، و I b c يسير من b إلى c، و I c a يسير من c إلى a. إذا كان الحمل متوازنا والتتابع موجبا، فهذه التيارات الثلاثة لها المقدار نفسه، وبينها مئة وعشرون درجة. إذن لدينا مجموعة فازورية متوازنة جديدة، لكن هذه المرة للتيارات داخل دلتا.

4. 4. طبّق قانون كيرشوف للتيار

   

   طبّق قانون التيار عند العقدة a.

   مرجع I_a داخل إلى العقدة a من سلك الخط.

   عند a يدخل I_ca من الفرع ca، ويخرج I_ab إلى الفرع ab.

   من تساوي الداخل والخارج:

   $\displaystyle I_{a}+I_{\mathrm{ca}}=I_{\mathrm{ab}},\; I_{a}=I_{\mathrm{ab}}-I_{\mathrm{ca}}$

   الطرح بين فازورين؛ ليس طرح المقدارين الموجبين.

   نحسب مقدار المحصلة وزاويتها بالنسبة إلى I_ab.

   نص الشرح الصوتي

   الآن نركز على الطرف a. تيار الخط I a هو التيار الحقيقي في السلك المتصل بالطرف a. عند هذه العقدة، يدخل أو يخرج تياران من أضلاع دلتا. لذلك من قانون كيرشوف للتيار نكتب: I a يساوي I a b ناقص I c a. هذه ليست قاعدة نحفظها فقط؛ هي طرح فازوري بين تياري طور. والسؤال هو: ما مقدار وزاوية هذا الطرح؟

5. 5. اشتق مقدار تيار الخط وزاويته

   

   تيار الفرع المرجعي:

   $\displaystyle I_{\mathrm{ab}}=I_{p}∠0^{\circ}$

   في التتابع الموجب:

   $\displaystyle I_{\mathrm{ca}}=I_{p}∠120^{\circ}$

   الطرح بجمع المعاكس:

   $\displaystyle I_{a}=I_{\mathrm{ab}}+\left(-I_{\mathrm{ca}}\right)$

   قلب الفازور يضيف 180°:

   $\displaystyle -I_{\mathrm{ca}}=I_{p}∠\left(-60^{\circ}\right)$

   بالمركبتين المتعامدتين:

   $\displaystyle I_{a}=I_{p}\left(\frac{3}{2}-\frac{j \sqrt{3}}{2}\right)$

   مقدار المحصلة:

   $\displaystyle |I_{a}|=I_{p} \sqrt{\left(\frac{3}{2}\right)^{2}+\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}}=\sqrt{3} I_{p}$

   المحصلة بالنسبة إلى I_ab:

   $\displaystyle I_{a}=\left(\sqrt{3} I_{p}\right)∠\left(-30^{\circ}\right)$

   تأخر تيار الخط عن تيار الفرع الموافق:

   $\displaystyle ∠I_{a}-∠I_{\mathrm{ab}}=-30^{\circ}$

   نص الشرح الصوتي

   نرسم I a b على محور المرجع. ثم نرسم I c a عند زاوية زائد مئة وعشرين درجة. لكي نحسب I a يساوي I a b ناقص I c a، نقلب I c a للحصول على سالب I c a. عندها يصبح السالب عند زاوية ناقص ستين درجة. بعد ذلك نضيفه إلى I a b بطريقة رأس إلى ذيل. القطر الناتج هو I a. الهندسة تعطينا النتيجة: طول I a يساوي جذر ثلاثة مضروبا في تيار الطور، وزاويته ناقص ثلاثون درجة بالنسبة إلى I a b. أي أن تيار الخط في دلتا أكبر بجذر ثلاثة، ومتأخر ثلاثين درجة.

6. 6. جذر ثلاثة وتأخر 30°

   

   مقادير RMS في دلتا المتوازنة:

   $\displaystyle I_{L}=\sqrt{3} I_{p}$

   زوايا تيارات الخط بالنسبة إلى I_ab:

   $\displaystyle ∠I_{a}=-30^{\circ},\; ∠I_{b}=-150^{\circ},\; ∠I_{c}=90^{\circ}$

   عامل جذر ثلاثة في الجهد عند Y، وفي التيار عند Δ؛ لا تخلط العلاقتين.

   نص الشرح الصوتي

   إذن النتيجة الأساسية في دلتا هي: مقدار تيار الخط يساوي جذر ثلاثة في مقدار تيار الطور. كما أن فازورات تيارات الخط تشكل نجمة ثانية، أكبر من نجمة تيارات الطور، ومدارة ناقص ثلاثين درجة. هذا هو النظير الكامل لما حدث في واي واي: هناك ظهر جذر ثلاثة في الجهد، وهنا يظهر جذر ثلاثة في التيار.

7. 7. جهد الفرع هو جهد الخط

   

   ننظر الآن إلى طرفي ممانعة الطور.

   كل فرع دلتا موصول مباشرة بين طرفي خطين.

   جهد الفرع ab هو نفسه جهد الخط V_ab، وبالترتيب نفسه للطرفين.

   مقدارا جهد الفرع والخط:

   $\displaystyle V_{p}=V_{L}$

   في دلتا لا تضرب جهد الخط في جذر ثلاثة للحصول على جهد الفرع.

   Y المتوازنة تربط مقادير الجهد بجذر ثلاثة؛ Δ المتوازنة تربط مقادير التيار.

   نص الشرح الصوتي

   ماذا عن الجهد في دلتا؟ كل ممانعة من ممانعات دلتا موصولة مباشرة بين خطين. لذلك الجهد على ممانعة الطور هو نفسه الجهد بين هذين الخطين. بعبارة مختصرة: في دلتا، جهد الطور يساوي جهد الخط. لا يوجد عامل جذر ثلاثة في جانب الجهد. تذكر القاعدة كصورة متناظرة: واي يضع جذر ثلاثة في الجهود، ودلتا تضع جذر ثلاثة في التيارات.

8. 8. القدرة الكلية بمقادير RMS

   

   ابدأ بثلاثة أطوار متوازنة وبمقادير RMS:

   $\displaystyle P_{\mathrm{total}}=3 V_{p} I_{p} \cos \theta$

   بالخط:

   $\displaystyle P_{\mathrm{total}}=\sqrt{3} V_{L} I_{L} \cos \theta$

   الصيغة نفسها تصح لـY وΔ في النظام الجيبي المتوازن.

   تعويض دلتا:

   $\displaystyle V_{p}=V_{L},\; I_{p}=\left(\frac{I_{L}}{\sqrt{3}}\right)$

   θ زاوية ممانعة الفرع، أي بين جهده وتياره؛ ليست زاوية V_ab مع I_a.

   نص الشرح الصوتي

   أهم نتيجة عملية هي صيغة القدرة الكلية. القدرة المتوسطة الكلية في نظام ثلاثي الطور متوازن تساوي جذر ثلاثة في V line في I line في cos theta. هذه الصيغة صحيحة في واي وصحيحة في دلتا أيضا. السبب أن كميات الطور تختلف بين التوصيلين، لكن عندما نكتب كل شيء بكميات الخط، يظهر العامل جذر ثلاثة مرة واحدة فقط. لذلك المهندس غالبا يقيس جهد الخط وتيار الخط، ثم يستخدم الصيغة نفسها للقدرة الكلية.

9. 9. احسب المثال خطوة خطوة

   

   مثال جيبي متوازن؛ كل الجهود والتيارات المعطاة أو المحسوبة مقادير RMS.

   جهد الخط والفرع:

   $\displaystyle V_{L}=V_{p}=208 V$

   ممانعة كل فرع حثّي:

   $\displaystyle Z_{\Delta }=\left(30+j 15\right) \Omega$

   مقدار الممانعة:

   $\displaystyle |Z_{\Delta }|=\sqrt{30^{2}+15^{2}}=\sqrt{1125}\approx 33.54 \Omega$

   زاوية الحمل:

   $\displaystyle \theta =\arctan \left(\frac{15}{30}\right)\approx 26.57^{\circ}$

   مقدار تيار الفرع:

   $\displaystyle I_{p}=\frac{208}{\sqrt{1125}}\approx 6.20 A$

   مقدار تيار الخط:

   $\displaystyle I_{L}=\sqrt{3} I_{p}\approx 1.732\cdot 6.20\approx 10.74 A$

   معامل قدرة متأخر:

   $\displaystyle \cos \theta \approx \cos \left(26.57^{\circ}\right)\approx 0.894$

   القدرة مع التقريب:

   $\displaystyle P_{\mathrm{total}}\approx \sqrt{3}\cdot 208\cdot 10.74\cdot 0.894\approx 3.46 \left[\mathrm{kW}\right]$

   نص الشرح الصوتي

   لنأخذ مثالا رقميا. لدينا حمل دلتا متوازن، وجهد الخط يساوي مئتين وثمانية فولت آر إم إس. كل ضلع في دلتا له ممانعة Z delta تساوي ثلاثين زائد j خمسة عشر أوم. أولا نحسب مقدار الممانعة: الجذر التربيعي لتسعمئة زائد مئتين وخمسة وعشرين، أي الجذر التربيعي لألف ومئة وخمسة وعشرين، فيكون ثلاثة وثلاثين فاصلة أربعة وخمسين أوم. وزاوية الممانعة هي arctan خمسة عشر على ثلاثين، أي ستة وعشرون فاصلة سبعة وخمسون درجة. في دلتا، جهد الطور يساوي جهد الخط، إذن تيار الطور يساوي مئتين وثمانية مقسوما على ثلاثة وثلاثين فاصلة أربعة وخمسين، فيكون ستة فاصلة عشرين أمبير. تيار الخط يساوي جذر ثلاثة في تيار الطور، أي واحد فاصلة سبعة ثلاثة اثنان في ستة فاصلة عشرين، فيكون عشرة فاصلة أربعة وسبعين أمبير. ومعامل القدرة هو cos ستة وعشرين فاصلة سبعة وخمسين، أي صفر فاصلة ثمانية تسعة أربعة. إذن القدرة الكلية تساوي جذر ثلاثة في مئتين وثمانية في عشرة فاصلة أربعة وسبعين في صفر فاصلة ثمانية تسعة أربعة، أي تقريبا ثلاثة فاصلة ستة وأربعين كيلو واط.

10. 10. فكرة المجال المغناطيسي الدوار

    

    التوازن الزمني يمكن أن ينشئ مجالا دوّارا في المكان.

    ثلاثة تيارات جيبية متوازنة بفصل 120° زمنيا، مع محاور ملفات متساوية بفصل 120° مكانيا.

    في النموذج الخطي المثالي، مجال كل ملف يتناسب مع تياره اللحظي ويعكس اتجاهه عند تغيّر الإشارة.

    المجموع المثالي مجال ثابت المقدار يدور بسرعة زاوية ثابتة عند تردد ثابت.

    هذه فكرة المجال الدوار؛ لا تساوِ تلقائيا سرعة المجال بسرعة الدوار الميكانيكية.

    نص الشرح الصوتي

    لماذا نهتم بثلاثة أطوار أصلا؟ لأن ثلاث تيارات بينها مئة وعشرون درجة في الزمن، عندما تمر في ثلاث ملفات بينها مئة وعشرون درجة في المكان، تعطي مجالا مغناطيسيا محصلا يدور بسلاسة. كل ملف وحده يعطي متجها يتغير مع التيار اللحظي. لكن مجموع المتجهات الثلاثة لا يهتز فقط؛ بل يتحول إلى متجه واحد يدور بسرعة ثابتة تقريبا. هذه هي الفكرة العميقة خلف المحركات الحثية والمولدات ثلاثية الطور: الطور الزمني يتحول إلى دوران مكاني.

11. 11. احتفظ بالمراجع وشروط التوازن

    

    جهد دلتا:

    $\displaystyle V_{L}=V_{p}$

    دلتا المتوازنة الموجبة والمراجع المحددة:

    $\displaystyle I_{L}=\sqrt{3} I_{p},\; ∠I_{a}-∠I_{\mathrm{ab}}=-30^{\circ}$

    صيغتا القدرة الجيبية المتوازنة:

    $\displaystyle P_{\mathrm{total}}=3 V_{p} I_{p} \cos \theta =\sqrt{3} V_{L} I_{L} \cos \theta$

    التناظر في الأطوار والمكان أساس نموذج المجال الدوار المثالي.

    التالي: تعريف تحويل لابلاس وأزواج التحويل الأساسية.

    نص الشرح الصوتي

    الخلاصة: في دلتا، جهد الخط يساوي جهد الطور. أما تيار الخط فيساوي جذر ثلاثة في تيار الطور، ويتأخر بثلاثين درجة. صيغة القدرة الكلية تبقى عالمية: جذر ثلاثة في V line في I line في cos theta، سواء كان الحمل واي أو دلتا. والتناظر نفسه الذي أعطانا هذه العلاقات يعطي أيضا المجال المغناطيسي الدوار في الآلات الكهربائية. بعد هذا نغادر حالة الاستقرار في التيار المتناوب، ونبدأ تحويل لابلاس.

الفيديو المصدر: نظرية الدوائر 2 #12 - توصيل دلتا والقدرة ثلاثية الطور (7:15)