#07 Delta–Yıldız dönüşümü — iki çözümlü örnek

Aşağıda defterde yazılan bütün satırlar ve bunlara eşlik eden sesli anlatımın tam metni bulunur.

1. 1. Delta ve Yıldız neden gerekir?

   

   Delta / Pi: üçgen direnç ağı

   Yıldız / T: ortak merkezli üç kol

   Dışarıdaki a, b, c uçları korunur

   Amaç: ağı seri-paralel hale getirmek

   Sesli anlatım metni

   Bazı direnç ağları yalnız seri ve paralel kurallarıyla sadeleşmez. Üç direncin üçgen oluşturduğu yapı Delta, bağlantı biçimine göre Pi; üç direncin ortak bir merkezde birleştiği yapı ise Yıldız ya da T olarak adlandırılır. Böyle bir ağ devrenin sadeleşmesini engelliyorsa Delta'yı Yıldız'a veya Yıldız'ı Delta'ya dönüştürürüz. Dönüşüm dışarıdaki üç uçtan görülen elektriksel davranışı değiştirmez. Bu derste önce düğüm ve direnç adlandırmasını netleştirecek, sonra iki yönlü dönüşüm formüllerini kuracak ve biri Delta'dan Yıldız'a, diğeri Yıldız'dan Delta'ya iki örneği adım adım çözeceğiz.

2. 2. Dönüşüm formülleri

   

   $S_{\Delta} = R_{\mathrm{a}} + R_{\mathrm{b}} + R_{\mathrm{c}}$

   $R_{1} = R_{\mathrm{b}}R_{\mathrm{c}}/S_{\Delta}, R_{2} = R_{\mathrm{a}}R_{\mathrm{c}}/S_{\Delta}$

   $R_{3} = R_{\mathrm{a}}R_{\mathrm{b}}/S_{\Delta}$

   $N = R_{1}R_{2} + R_{2}R_{3} + R_{1}R_{3}$

   $R_{\mathrm{a}}=N/R_{1}, R_{\mathrm{b}}=N/R_{2}, R_{\mathrm{c}}=N/R_{3}$

   Sesli anlatım metni

   Önce adlandırma. Delta ağında R a, a düğümünün karşısındaki b ile c kenarındadır. R b, b düğümünün karşısındaki a ile c kenarındadır. R c ise c düğümünün karşısındaki a ile b kenarındadır. Yıldız ağında R bir a düğümünden merkeze, R iki b düğümünden merkeze, R üç c düğümünden merkeze bağlanır. Delta'dan Yıldız'a dönüşümde ortak payda S Delta, R a artı R b artı R c'dir. R bir eşittir R b çarpı R c bölü S Delta. R iki eşittir R a çarpı R c bölü S Delta. R üç eşittir R a çarpı R b bölü S Delta. Yıldız'dan Delta'ya dönüşümde ortak pay yerine ortak bir pay vardır: N eşittir R bir R iki artı R iki R üç artı R bir R üç. R a eşittir N bölü R bir, R b eşittir N bölü R iki, R c eşittir N bölü R üç. En güvenli yöntem, ezberden önce her direncin hangi düğümün karşısında veya hangi düğüme bağlı olduğunu kontrol etmektir.

3. 3. Örnek 1 — devreyi oku

   

   $R_{\mathrm{a}}=25 \Omega (b–c), R_{\mathrm{b}}=100 \Omega (a–c)$

   $R_{\mathrm{c}}=125 \Omega (a–b)$

   Dış kollar: 5 Ω, 40 Ω, 37,5 Ω

   $V_{\mathrm{s}} = 40 V$

   Aranan: R_eş, i ve P

   Sesli anlatım metni

   Birinci örnekte solda kırk voltluk kaynak vardır. Kaynağın üst kolundaki beş ohmluk direnç, üç düğümlü bir köprü ağına bağlanır. Delta'nın b ile c arasındaki alt kenarı R a eşittir yirmi beş ohm, a ile c arasındaki sol kenarı R b eşittir yüz ohm, a ile b arasındaki sağ kenarı R c eşittir yüz yirmi beş ohmdur. Alt tarafta c düğümüne bağlı kırk ohm ve b düğümüne bağlı otuz yedi buçuk ohm direnç bulunur. Bu Delta nedeniyle doğrudan seri-paralel sadeleştirme yapılamaz. Önce Delta'yı aynı a, b ve c uçlarını koruyan bir Yıldız ağına dönüştüreceğiz; sonra eşdeğer direnci, kaynak akımını ve kaynak gücünü bulacağız.

4. 4. Örnek 1 — Delta'dan Yıldız'a

   

   $S_{\Delta}=25+100+125=250 \Omega$

   $R_{1}=100\cdot 125/250=50 \Omega$

   $R_{2}=25\cdot 125/250=12,5 \Omega$

   $R_{3}=25\cdot 100/250=10 \Omega$

   $R_{eş}=5+50+(50∥50)=80 \Omega$

   $i=0,5 A, P=20 W$

   Sesli anlatım metni

   Delta dirençlerinin toplamı S Delta eşittir yirmi beş artı yüz artı yüz yirmi beşten iki yüz elli ohmdur. a düğümündeki Yıldız kolu R bir, R b çarpı R c bölü iki yüz ellidir; yüz çarpı yüz yirmi beş bölü iki yüz elliden elli ohm çıkar. b düğümündeki R iki, R a çarpı R c bölü iki yüz ellidir; yirmi beş çarpı yüz yirmi beş bölü iki yüz elliden on iki buçuk ohmdur. c düğümündeki R üç, R a çarpı R b bölü iki yüz ellidir; yirmi beş çarpı yüz bölü iki yüz elliden on ohmdur. Şimdi düğümleri izleyelim. Merkezden alt uca c üzerinden giden kolda on artı kırktan elli ohm vardır. b üzerinden giden kolda on iki buçuk artı otuz yedi buçuktan yine elli ohm vardır. Bu iki elli ohm paralel olduğundan yirmi beş ohma eşdeğerdir. a kolundaki elli ohm ve dışarıdaki beş ohm seri eklenir. Toplam eşdeğer direnç beş artı elli artı yirmi beşten seksen ohmdur. Kaynak akımı kırk bölü seksenden sıfır virgül beş amper; kaynak gücü ise kırk çarpı sıfır virgül beşten yirmi wattır.

5. 5. Örnek 2 — devreyi oku

   

   Yıldız: R₁=20 Ω, R₂=10 Ω, R₃=5 Ω

   Dış dirençler: 28 Ω ve 105 Ω

   $I_{\mathrm{s}}=2 A$

   Aranan: V

   Sesli anlatım metni

   İkinci örnekte solda iki amperlik akım kaynağı ve uçları arasındaki V gerilimi vardır. Ortadaki Yıldız ağında a düğümüne bağlı R bir yirmi ohm, b düğümüne bağlı R iki on ohm, c düğümüne bağlı R üç beş ohmdur. Dış ağda a ile b arasında yirmi sekiz ohm ve b ile c tarafında yüz beş ohm direnç bulunur. Yıldız ağı doğrudan seri-paralel indirgemeyi engellediği için bu kez ters dönüşümü, yani Yıldız'dan Delta'ya dönüşümü kullanacağız. Amaç kaynağın gördüğü eşdeğer direnci ve V gerilimini bulmaktır.

6. 6. Örnek 2 — Yıldız'dan Delta'ya

   

   $N=20\cdot 10+10\cdot 5+20\cdot 5=350$

   $R_{\mathrm{a}}=17,5 \Omega, R_{\mathrm{b}}=35 \Omega, R_{\mathrm{c}}=70 \Omega$

   $70∥28=20 \Omega, 17,5∥105=15 \Omega$

   $R_{eş}=(20+15)∥35=17,5 \Omega$

   $V=2\cdot 17,5=35 V$

   Sesli anlatım metni

   Önce ortak N değerini hesaplayalım. N eşittir R bir R iki artı R iki R üç artı R bir R üç. Yirmi çarpı on artı on çarpı beş artı yirmi çarpı beş, iki yüz artı elli artı yüzden üç yüz elli eder. R a eşittir N bölü R bir, yani üç yüz elli bölü yirmiden on yedi buçuk ohm. R b eşittir N bölü R iki, yani otuz beş ohm. R c eşittir N bölü R üç, yani yetmiş ohm. Delta dönüşümünden sonra R c olan yetmiş ohm, yirmi sekiz ohmla paraleldir ve eşdeğeri yirmi ohmdur. R a olan on yedi buçuk ohm, yüz beş ohmla paraleldir ve eşdeğeri on beş ohmdur. Bu yirmi ve on beş ohm seri olduğundan otuz beş ohm eder. Bu kol da R b olan otuz beş ohmla paraleldir ve toplam eşdeğer on yedi buçuk ohm olur. Son olarak V eşittir I çarpı R eşdeğerden, iki çarpı on yedi buçuk, yani otuz beş volttur.

7. 7. Yöntem özeti

   1) Düğümleri ve karşı kenarları etiketle

   2) Doğru yöndeki dönüşümü uygula

   3) Yeni ağı seri-paralel sadeleştir

   4) Sonucu birim ve sınırla kontrol et

   Sesli anlatım metni

   Özetleyelim. Delta'dan Yıldız'a dönüşümde önce Delta dirençlerinin toplamını buluruz. Her Yıldız kolu, o düğüme komşu iki Delta direncinin çarpımının bu toplama bölünmesiyle elde edilir. Yıldız'dan Delta'ya dönüşümde üç ikili çarpımın toplamı ortak paydır; her Delta kenarı karşısındaki Yıldız koluna bölünerek bulunur. Formülden önce düğüm adlarını takip etmek, R bir ile R üç gibi kolların yer değiştirmesini önler. Dönüşümden sonra ağ yeniden seri-paralel hale gelir; eşdeğer direnç, kaynak akımı, gerilim ve güç sırayla hesaplanır.