Elektromanyetik Teori · Direnç ve Kapasitans

#16 Alan çözümünden genel direnç ve kapasitans ifadeleri, paralel plaka, koaksiyel ve küresel geometriler, RC bağıntısı ve sayısal kapasitör örneği

Elektrik alanından R ve C'yi türet, temel geometrileri karşılaştır ve bir kapasitörün yükü ile enerjisini hesapla.

Soru

Direnç ve kapasitansın alan integrallerini, temel kapasitör geometrilerini ve sayısal örneği gösteren ders karesi.
Aynı geometride alan çözümü hem direnci hem kapasitansı verir ve RC = ε/σ olur.

Alan çözümünden direnç ve kapasitansın genel ifadelerini türetin; üç temel kapasitör geometrisini karşılaştırın ve verilen paralel plaka kapasitörün C, Q ve W değerlerini hesaplayın.

Yazılı çözüm ve anlatım dökümü(çözümün tamamını gösterir)

Aşağıda defterde yazılan bütün satırlar ve bunlara eşlik eden sesli anlatımın tam metni bulunur.

  1. 1. Poisson–Laplace çözümünü R ve C'ye bağla

    Direnç ve kapasitansın alan integrallerini, temel kapasitör geometrilerini ve sayısal örneği gösteren ders karesi.
    Aynı geometride alan çözümü hem direnci hem kapasitansı verir ve RC = ε/σ olur.
    Bir önceki dersimizde Gauss yasasından Poisson ve Laplace denklemlerini türetmiştik.
    Poisson denklemi V'nin Laplasiyenini yük yoğunluğuna bağlarken, Laplace denklemi yüksüz bölgelerde geçerlidir.
    Ayrıca 4 adımlı çözüm prosedürünü tanıtmıştık: denklemi integre et, sınır koşullarını uygula, E'yi bul, sonra diğer büyüklükleri hesapla.
    Bugün bu araçları kullanarak direnç ve kapasitans için genel ifadeler türetiyoruz.

    Sesli anlatım metni

    Bir önceki dersimizde Gauss yasasından Poisson ve Laplace denklemlerini türetmiştik. Poisson denklemi V'nin Laplasiyenini yük yoğunluğuna bağlarken, Laplace denklemi yüksüz bölgelerde geçerlidir. Ayrıca 4 adımlı çözüm prosedürünü tanıtmıştık: denklemi integre et, sınır koşullarını uygula, E'yi bul, sonra diğer büyüklükleri hesapla. Bugün bu araçları kullanarak direnç ve kapasitans için genel ifadeler türetiyoruz.

  2. 2. Alan çözümünden direnci türet

    Direnç ve kapasitansın alan integrallerini, temel kapasitör geometrilerini ve sayısal örneği gösteren ders karesi.
    Aynı geometride alan çözümü hem direnci hem kapasitansı verir ve RC = ε/σ olur.
    Dirençle başlayalım.
    İki iletken arasında V sıfır potansiyel farkı olduğunu düşünelim.
    Aralarındaki direnci bulmak için şu adımları izliyoruz.
    Birinci adım: uygun bir koordinat sistemi seçip Laplace denklemini çözerek V'yi buluyoruz.
    İkinci adım: E = −∇V ile alanı bulun.
    Üçüncü adım: J = σE ve I = ∫ₛσE·dS.
    Son olarak R = V/I.
    Genel direnç: R = ∫E·dl / (σ∫ₛE·dS).
    Dikkat edin: önce alanı çözüyoruz, sonra direnci alandan türetiyoruz.
    Yük dağılımını bilmemize gerek yok.

    Sesli anlatım metni

    Dirençle başlayalım. İki iletken arasında V sıfır potansiyel farkı olduğunu düşünelim. Aralarındaki direnci bulmak için şu adımları izliyoruz. Birinci adım: uygun bir koordinat sistemi seçip Laplace denklemini çözerek V'yi buluyoruz. İkinci adım: E eşittir negatif gradyan V'den E'yi buluyoruz. Üçüncü adım: akım yoğunluğu J eşittir sigma çarpı E'yi bulup, iletken yüzeyinde integre ederek toplam akımı elde ediyoruz: I eşittir sigma E nokta dS'nin yüzey integrali. Son olarak direnç R eşittir V bölü I'dır. Genel formül: R eşittir E nokta d l'nin çizgi integrali, bölü sigma çarpı E nokta dS'nin yüzey integrali. Dikkat edin: önce alanı çözüyoruz, sonra direnci alandan türetiyoruz. Yük dağılımını bilmemize gerek yok.

  3. 3. Üç geometri için kapasitansı kur

    Direnç ve kapasitansın alan integrallerini, temel kapasitör geometrilerini ve sayısal örneği gösteren ders karesi.
    Aynı geometride alan çözümü hem direnci hem kapasitansı verir ve RC = ε/σ olur.
    Şimdi kapasitansı bulalım.
    Bir kapasitör, dielektrikle ayrılmış iki iletkenden oluşur.
    V uygulandığında Q yükü birikir ve C = Q/V.
    Genel kapasitans: C = ε∮E·dS / ∫E·dl.
    Bunu üç yaygın geometriye uygulayalım.
    Paralel plakalar için, alan S ve ayrım d ise, elektrik alanı düzgündür: E eşittir V bölü d.
    İntegrasyon C = εS/d verir.
    Bu en temel kapasitör formülüdür.
    Koaksiyel kablo için, iç yarıçap a ve dış yarıçap b ise, alan 1 bölü ρ ile değişir.
    Birim uzunluk başına kapasitans C eşittir 2 π ε L, bölü b bölü a'nın doğal logaritması olur.
    Eş merkezli küreler için, yarıçaplar a ve b ise, alan 1 bölü r kare ile değişir.
    Eş merkezli küreler için C = 4πε/(1/a − 1/b).
    R ve C arasında zarif bir ilişki vardır: R çarpı C eşittir ε bölü σ.
    Kapasitansı biliyorsanız, aynı geometrinin direncini hemen bulabilirsiniz.

    Sesli anlatım metni

    Şimdi kapasitansı bulalım. Bir kapasitör, dielektrikle ayrılmış iki iletkenden oluşur. V voltajı uygulandığında plakalarda Q yükü birikir ve C eşittir Q bölü V'dir. Genel formül: C eşittir epsilon çarpı E nokta dS'nin kapalı yüzey integrali, bölü E nokta d l'nin çizgi integrali. Bunu üç yaygın geometriye uygulayalım. Paralel plakalar için, alan S ve ayrım d ise, elektrik alanı düzgündür: E eşittir V bölü d. İntegrasyon C eşittir epsilon S bölü d verir. Bu en temel kapasitör formülüdür. Koaksiyel kablo için, iç yarıçap a ve dış yarıçap b ise, alan 1 bölü rho ile değişir. Birim uzunluk başına kapasitans C eşittir 2 pi epsilon L, bölü b bölü a'nın doğal logaritması olur. Eş merkezli küreler için, yarıçaplar a ve b ise, alan 1 bölü r kare ile değişir. Sonuç: C eşittir 4 pi epsilon, bölü 1 bölü a eksi 1 bölü b ifadesi. R ve C arasında zarif bir ilişki vardır: R çarpı C eşittir epsilon bölü sigma. Kapasitansı biliyorsanız, aynı geometrinin direncini hemen bulabilirsiniz.

  4. 4. Paralel plaka kapasitör örneğini çöz

    Direnç ve kapasitansın alan integrallerini, temel kapasitör geometrilerini ve sayısal örneği gösteren ders karesi.
    Aynı geometride alan çözümü hem direnci hem kapasitansı verir ve RC = ε/σ olur.
    Sayısal bir örnek çözelim.
    Bir paralel plaka kapasitörün kare plakaları 10 santimetre kenarlıdır, aralarındaki mesafe 2 milimetredir.
    Dielektriğin bağıl permitivitesi εr = 3.
    200 volt gerilim uygulanmıştır.
    Kapasitansı, yükü ve depolanan enerjiyi bulun.
    Birinci adım: Birimleri dönüştürelim.
    Plaka alanı S eşittir 10 santimetre çarpı 10 santimetre eşittir 100 santimetrekare.
    SI birimlerinde S = 100×10⁻⁴ = 0,01 m².
    Plaka aralığı d = 2 mm = 2×10⁻³ m.
    İkinci adım: permitiviteyi bulun.
    ε=εrε0=3×8,854×10−12F/m.\displaystyle \varepsilon = \varepsilon _{r}\varepsilon ₀ = 3\times 8,854\times 10⁻¹² F/m.
    ε=26,562×10−12F/m.\displaystyle \varepsilon = 26,562\times 10⁻¹² F/m.
    Üçüncü adım:
    C=εS/d.\displaystyle C = \varepsilon S/d.
    C=(26,562×10−12×0,01)/(2×10−3)F.\displaystyle C = \left(26,562\times 10⁻¹²\times 0,01\right)/\left(2\times 10⁻³\right) F.
    C = 132,81 pF.
    Dördüncü adım: Q = CV.
    Q=132,81×10−12×200C.\displaystyle Q = 132,81\times 10⁻¹²\times 200 C.
    Q = 26,56 nC.
    Beşinci adım: W = ½CV².
    W=½×132,81×10−12×2002J.\displaystyle W = ½\times 132,81\times 10⁻¹²\times 200² J.
    200 kare 40000'dir.
    W=½×132,81×10−12×40.000J.\displaystyle W = ½\times 132,81\times 10⁻¹²\times 40.000 J.
    W=2,656µJ.\displaystyle W = 2,656 µJ.

    Sesli anlatım metni

    Sayısal bir örnek çözelim. Bir paralel plaka kapasitörün kare plakaları 10 santimetre kenarlıdır, aralarındaki mesafe 2 milimetredir. Dielektriğin bağıl geçirgenliği epsilon r eşittir 3'tür. 200 volt gerilim uygulanmıştır. Kapasitansı, yükü ve depolanan enerjiyi bulun. Birinci adım: Birimleri dönüştürelim. Plaka alanı S eşittir 10 santimetre çarpı 10 santimetre eşittir 100 santimetrekare. SI'ye çevirince S eşittir 100 çarpı 10 üzeri negatif 4, yani 0.01 metrekare. Ayrım d eşittir 2 milimetre eşittir 2 çarpı 10 üzeri negatif 3 metre. İkinci adım: Geçirgenliği bulalım. Epsilon eşittir epsilon r çarpı epsilon sıfır eşittir 3 çarpı 8.854 çarpı 10 üzeri negatif 12. Bu bize epsilon eşittir 26.562 çarpı 10 üzeri negatif 12 farad bölü metre verir. Üçüncü adım: C eşittir epsilon S bölü d formülünü uygulayalım. Değerleri koyalım: C eşittir 26.562 çarpı 10 üzeri negatif 12, çarpı 0.01, bölü 2 çarpı 10 üzeri negatif 3. Bu bize C eşittir 132.81 pikofarad verir. Dördüncü adım: Yük Q eşittir C çarpı V'dir. Q eşittir 132.81 çarpı 10 üzeri negatif 12, çarpı 200. Bu Q eşittir 26.56 nanokulon verir. Beşinci adım: Depolanan enerji W eşittir yarım çarpı C çarpı V karedir. W eşittir yarım çarpı 132.81 çarpı 10 üzeri negatif 12, çarpı 200 kare. 200 kare 40000'dir. W eşittir yarım çarpı 132.81 çarpı 10 üzeri negatif 12 çarpı 40000. Bu bize W eşittir 2.656 mikrojul verir.

  5. 5. Direnç–kapasitans bağıntılarını özetle

    Direnç ve kapasitansın alan integrallerini, temel kapasitör geometrilerini ve sayısal örneği gösteren ders karesi.
    Aynı geometride alan çözümü hem direnci hem kapasitansı verir ve RC = ε/σ olur.
    Özetleyelim.
    Genel direnç formülü alan çözümünü kullanır: R eşittir E nokta d l integrali bölü σ çarpı E nokta dS integrali.
    Kapasitans için üç anahtar formül: paralel plaka, C eşittir ε S bölü d; koaksiyel, C eşittir 2 π ε L bölü ln b bölü a; ve küresel, C eşittir 4 π ε bölü 1 bölü a eksi 1 bölü b.
    Aynı geometri için RC = ε/σ, direnç ile kapasitansı bağlar.
    Bir sonraki dersimizde görüntüler yöntemini inceleyeceğiz.

    Sesli anlatım metni

    Özetleyelim. Genel direnç formülü alan çözümünü kullanır: R eşittir E nokta d l integrali bölü sigma çarpı E nokta dS integrali. Kapasitans için üç anahtar formül: paralel plaka, C eşittir epsilon S bölü d; koaksiyel, C eşittir 2 pi epsilon L bölü ln b bölü a; ve küresel, C eşittir 4 pi epsilon bölü 1 bölü a eksi 1 bölü b. Zarif sonuç R C eşittir epsilon bölü sigma, herhangi bir geometri için direnç ve kapasitansı birbirine bağlar. Bir sonraki dersimizde görüntüler yöntemini inceleyeceğiz.

Kaynak video: Elektromanyetik Teori (v2) #16 Direnç ve Kapasitans (5:56)