#30 Kapalı yüzey akısını hacim diverjansına bağlama, birim küp doğrulaması ve tekil ters-kare alanın Dirac deltasıyla yorumu

Aşağıda defterde yazılan bütün satırlar ve bunlara eşlik eden sesli anlatımın tam metni bulunur.

1. 1. Diverjans teoremini yerelden globale kur

   

   Arkadaşlar merhaba, devam ediyoruz.

   Son iki video bize bir vektör alanının her noktasındaki yerel diverjans ve curl kavramlarını öğretti.

   Bugün yerelden globale geçiyoruz: diverjans teoremi.

   İfade basit ama güçlü.

   A vektör alanının S kapalı yüzeyinden geçen akısı, S yüzeyinin çevrelediği V hacminde alanın diverjansının hacim integraline eşittir.

   Sembol olarak: A skaler çarpım dS'in kapalı yüzey integrali, ∇·A'nın hacim integraline eşit.

   Sezgisel olarak neden çalışır?

   V'yi milyonlarca küçük kutuya bölün.

   Her kutunun kendi diverjansı çarpı hacmi kadar küçük bir akı çıkışı vardır.

   Hepsini topladığınızda, her iç yüz iki kutu arasında paylaşılır — birinden çıkan akı diğerine girer — yani iptal olurlar.

   Toplamda hayatta kalan tek yüzeyler, en dıştaki yüzeylerdir; ki bu da tam olarak S sınır yüzeyidir.

   Yani her küçük diverjansın toplamı, dış kabuktan geçen toplam akıya eşittir.

   Diverjans teoremi budur.

   Bu, elektromanyetikteki en kullanışlı sonuçlardan biridir.

   Maxwell'in diferansiyel kanunu ∇·E eşit ρ bölü ε₀'ı integral biçimdeki Gauss yasasına çevirir: herhangi bir kapalı yüzeyden geçen E akısı, çevrelenen yükün epsilon sıfıra bölümüne eşittir.

   Bunun nasıl olduğunu video sonunda göreceğiz.

   Sesli anlatım metni

   Arkadaşlar merhaba, devam ediyoruz. Son iki video bize bir vektör alanının her noktasındaki yerel diverjans ve curl kavramlarını öğretti. Bugün yerelden globale geçiyoruz: diverjans teoremi. İfade basit ama güçlü. A vektör alanının S kapalı yüzeyinden geçen akısı, S yüzeyinin çevrelediği V hacminde alanın diverjansının hacim integraline eşittir. Sembol olarak: A skaler çarpım dS'in kapalı yüzey integrali, nabla skaler çarpım A'nın hacim integraline eşit. Sezgisel olarak neden çalışır? V'yi milyonlarca küçük kutuya bölün. Her kutunun kendi diverjansı çarpı hacmi kadar küçük bir akı çıkışı vardır. Hepsini topladığınızda, her iç yüz iki kutu arasında paylaşılır — birinden çıkan akı diğerine girer — yani iptal olurlar. Toplamda hayatta kalan tek yüzeyler, en dıştaki yüzeylerdir; ki bu da tam olarak S sınır yüzeyidir. Yani her küçük diverjansın toplamı, dış kabuktan geçen toplam akıya eşittir. Diverjans teoremi budur. Bu, elektromanyetikteki en kullanışlı sonuçlardan biridir. Maxwell'in diferansiyel kanunu nabla skaler çarpım E eşit rho bölü epsilon sıfır'ı integral biçimdeki Gauss yasasına çevirir: herhangi bir kapalı yüzeyden geçen E akısı, çevrelenen yükün epsilon sıfıra bölümüne eşittir. Bunun nasıl olduğunu video sonunda göreceğiz.

2. 2. Birim küpte hacim ve yüzey integrallerini eşleştir

   

   Birinci örnek — birim küp.

   A, PS05'ten beri taşıdığımız alan olsun: x kare y x̂, artı y kare z ŷ, artı z kare x ẑ.

   V'yi birim küp alalım, x, y, z her biri sıfır ile bir arasında.

   Diverjans teoreminin iki tarafını da hesaplayıp eşit olduklarını göreceğiz.

   Önce hacim tarafı.

   Diverjansı zaten biliyoruz — PS05 hesapladı: ∇·A eşit iki x y, artı iki y z, artı iki z x.

   Birim küp üzerinde üçlü integral.

   Simetri gereği, üç terimin her biri aynı sonucu verir: iki x y'yi küp üzerinde integre edelim.

   İntegraller ayrılır.

   İki çarpı x'in sıfırdan bire integrali, çarpı y'nin sıfırdan bire integrali, çarpı dz'nin sıfırdan bire integrali.

   Bu iki çarpı yarım, çarpı yarım, çarpı bir, eşit yarım.

   Üç özdeş terim, üç tane yarım, eşit üç bölü iki.

   Yani hacim tarafı üç bölü ikidir.

   Şimdi yüzey tarafı.

   Küpün altı yüzü var; her birine bakalım.

   x eşit sıfır yüzünde dış normal eksi x̂, A skaler çarpım eksi x̂ eşit eksi A x eşit eksi x kare y, ki x eşit sıfırda bu sıfırdır.

   Yani bu yüz sıfır verir.

   Aynı mantıkla y eşit sıfır ve z eşit sıfır yüzleri de sıfır verir.

   Sadece üç yüz canlı.

   x eşit bir yüzünde dış normal x̂.

   A skaler çarpım x̂ eşit x kare y, ki bir kare çarpı y eşit y.

   y'yi sıfırdan bire ve z'yi sıfırdan bire integre et.

   Bu yarım çarpı bir, eşit yarım.

   y eşit bir yüzünde A skaler çarpım ŷ eşit y kare z eşit z.

   z dx dz integralı, eşit yarım.

   z eşit bir yüzü için de aynı.

   Üç yüz, her biri yarım, toplam üç bölü iki.

   ∭_V(∇·A)dV = ∯_S A·dS.

   $\displaystyle \frac{3}{2 }= 3/2.$

   Bu küp ve bu alan için diverjans teoremi doğrulandı.

   Sesli anlatım metni

   Birinci örnek — birim küp. A, PS05'ten beri taşıdığımız alan olsun: x kare y x-şapka, artı y kare z y-şapka, artı z kare x z-şapka. V'yi birim küp alalım, x, y, z her biri sıfır ile bir arasında. Diverjans teoreminin iki tarafını da hesaplayıp eşit olduklarını göreceğiz. Önce hacim tarafı. Diverjansı zaten biliyoruz — PS05 hesapladı: nabla skaler çarpım A eşit iki x y, artı iki y z, artı iki z x. Birim küp üzerinde üçlü integral. Simetri gereği, üç terimin her biri aynı sonucu verir: iki x y'yi küp üzerinde integre edelim. İntegraller ayrılır. İki çarpı x'in sıfırdan bire integrali, çarpı y'nin sıfırdan bire integrali, çarpı dz'nin sıfırdan bire integrali. Bu iki çarpı yarım, çarpı yarım, çarpı bir, eşit yarım. Üç özdeş terim, üç tane yarım, eşit üç bölü iki. Yani hacim tarafı üç bölü ikidir. Şimdi yüzey tarafı. Küpün altı yüzü var; her birine bakalım. x eşit sıfır yüzünde dış normal eksi x-şapka, A skaler çarpım eksi x-şapka eşit eksi A x eşit eksi x kare y, ki x eşit sıfırda bu sıfırdır. Yani bu yüz sıfır verir. Aynı mantıkla y eşit sıfır ve z eşit sıfır yüzleri de sıfır verir. Sadece üç yüz canlı. x eşit bir yüzünde dış normal x-şapka. A skaler çarpım x-şapka eşit x kare y, ki bir kare çarpı y eşit y. y'yi sıfırdan bire ve z'yi sıfırdan bire integre et. Bu yarım çarpı bir, eşit yarım. y eşit bir yüzünde A skaler çarpım y-şapka eşit y kare z eşit z. z dx dz integralı, eşit yarım. z eşit bir yüzü için de aynı. Üç yüz, her biri yarım, toplam üç bölü iki. İki taraf eşleşti. Üç bölü iki eşit üç bölü iki. Bu küp ve bu alan için diverjans teoremi doğrulandı.

3. 3. Ters-kare alanın tekilliğini Dirac deltasıyla çöz

   

   İkinci örnek — R yarıçaplı bir küre, ve PS05 ile PS06'dan ters kare ışınsal alan: A eşit bir bölü r kare, r̂ yönünde.

   Bu örnek incelikli olacak, çünkü alan orijinde tekildir, ve dersin asıl yeri tam orada.

   Önce hacim tarafı.

   Küre içinde, orijin hariç, diverjansı PS05'te hesapladık: ∇·A eşit sıfır.

   Sıfırı hacim üzerinde naif şekilde integre edersen sıfır alırsın.

   Bunu aklında tut.

   Yüzey tarafı.

   R yarıçaplı kürede A skaler çarpım r̂ eşit bir bölü R kare.

   Kürenin yüzey elemanı R kare sinüs θ d θ d φ'dir.

   Yani A skaler çarpım dS, bir bölü R kare çarpı R kare çarpı sinüs θ d θ d φ olur.

   R kareler iptal olur.

   Geriye sinüs θ d θ sıfırdan π'ye, ve d φ sıfırdan iki π'ye kalır.

   Sinüs θ integralı sıfırdan π'ye iki verir; d φ iki π verir.

   ∯_S A·dS = 4π.

   Yüzey integrali dört π'dir.

   Bir saniye dur ve çelişkiyi hisset.

   Hacim tarafı sıfır verdi.

   Yüzey tarafı dört π verdi.

   Diverjans teoremi eşit olmalı diyor.

   Ne hata yaptık?

   Hata yapmadık.

   Mesele şu: orijinde ∇·A sıfır değil — sonsuzdur.

   Dağılımsal olarak ∇·[(1/r²)r̂] = 4πδ³(r).

   Bu deltayı hacim üzerinde integre ettiğinde dört π çıkar; tam olarak yüzey tarafıyla eşleşir.

   Diverjans teoremi geri yerine oturur, ama yalnızca tekilliği dürüstçe ele aldığımız için.

   Ve işte bu yüzden önemli.

   Her iki tarafı q bölü dört π ε₀ ile çarp.

   Bir bölü r kare r̂ alanı, q nokta yükünün elektrik alanına dönüşür.

   Yüzey integrali, E akısına dönüşür.

   Hacim tarafı q bölü epsilon sıfıra dönüşür — çevrelenen yükün epsilon sıfıra bölümü.

   İşte Gauss yasası integral biçimde.

   Gauss yasası, ters kare alana uygulanmış diverjans teoreminin tam kendisidir, tekillik düzgün ele alındığında.

   Elektrostatikteki her Gauss yüzeyi hesabı bunun üzerine kuruludur.

   Sesli anlatım metni

   İkinci örnek — R yarıçaplı bir küre, ve PS05 ile PS06'dan ters kare ışınsal alan: A eşit bir bölü r kare, r-şapka yönünde. Bu örnek incelikli olacak, çünkü alan orijinde tekildir, ve dersin asıl yeri tam orada. Önce hacim tarafı. Küre içinde, orijin hariç, diverjansı PS05'te hesapladık: nabla skaler çarpım A eşit sıfır. Sıfırı hacim üzerinde naif şekilde integre edersen sıfır alırsın. Bunu aklında tut. Yüzey tarafı. R yarıçaplı kürede A skaler çarpım r-şapka eşit bir bölü R kare. Kürenin yüzey elemanı R kare sinüs theta d theta d phi'dir. Yani A skaler çarpım dS, bir bölü R kare çarpı R kare çarpı sinüs theta d theta d phi olur. R kareler iptal olur. Geriye sinüs theta d theta sıfırdan pi'ye, ve d phi sıfırdan iki pi'ye kalır. Sinüs theta integralı sıfırdan pi'ye iki verir; d phi iki pi verir. Çarpım: dört pi. Yüzey integrali dört pi'dir. Bir saniye dur ve çelişkiyi hisset. Hacim tarafı sıfır verdi. Yüzey tarafı dört pi verdi. Diverjans teoremi eşit olmalı diyor. Ne hata yaptık? Hata yapmadık. Mesele şu: orijinde nabla skaler çarpım A sıfır değil — sonsuzdur. Spesifik olarak, nabla skaler çarpım A eşit dört pi çarpı orijindeki üç boyutlu Dirac delta fonksiyonu. Bu deltayı hacim üzerinde integre ettiğinde dört pi çıkar; tam olarak yüzey tarafıyla eşleşir. Diverjans teoremi geri yerine oturur, ama yalnızca tekilliği dürüstçe ele aldığımız için. Ve işte bu yüzden önemli. Her iki tarafı q bölü dört pi epsilon sıfır ile çarp. Bir bölü r kare r-şapka alanı, q nokta yükünün elektrik alanına dönüşür. Yüzey integrali, E akısına dönüşür. Hacim tarafı q bölü epsilon sıfıra dönüşür — çevrelenen yükün epsilon sıfıra bölümü. İşte Gauss yasası integral biçimde. Gauss yasası, ters kare alana uygulanmış diverjans teoreminin tam kendisidir, tekillik düzgün ele alındığında. Elektrostatikteki her Gauss yüzeyi hesabı bunun üzerine kuruludur.

4. 4. Gauss yasası bağlantısını özetle

   

   Özet.

   Diverjans teoremi, bir vektör alanının herhangi bir kapalı yüzeyden geçen akısının, içerideki diverjansının hacim integraline eşit olduğunu söyler.

   Yerel kaynaklar toplandığında global akıya eşittir.

   İki çözümlü örnek.

   Birincisi, PS05'in polinomik alanı ile birim küp.

   İki taraf da üç bölü iki çıktı.

   Bu temiz, hilesiz bir doğrulama — bir bölge seç, bir alan seç, iki taraf eşleşir.

   İkincisi, PS06'nın ters kare ışınsal alanı ile bir küre.

   Naif hacim integralı sıfır verdi, yüzey integrali dört π.

   Eşitsizlik, diverjansın orijinde sıfır değil bir delta fonksiyonu olmasıyla çözüldü.

   q bölü dört π ε₀ ile çarpıldığında sonuç Gauss yasası: herhangi bir kapalı yüzeyden geçen E akısı, çevrelenen yükün epsilon sıfıra bölümüne eşit.

   Sonraki derslerde Gauss yasasını uygulayacağımız tüm problemler — silindirik kabuk, yüklü düzlem, koaksiyel kablo — bu teoremin üzerine kurulu.

   Akı hesabını yapmak yerine, yüzeyi simetriye uygun seçip integralin önemsiz olduğu noktaya getirip yükü zarif bir formülle bağlamak; tüm bu numara, diverjans teoreminin ödülüdür.

   Bir sonraki örnek soru eş sonuçtur: Stokes teoremi, ki curl'u kapalı bir döngü etrafındaki dolanıma bağlar; Maxwell'in diğer iki integral denklemi de oradan çıkacak.

   İki teorem birleştiğinde, Maxwell'in diferansiyel ve integral biçimleri arasındaki köprü kurulmuş olur.

   Hoşça kalın.

   Sesli anlatım metni

   Özet. Diverjans teoremi, bir vektör alanının herhangi bir kapalı yüzeyden geçen akısının, içerideki diverjansının hacim integraline eşit olduğunu söyler. Yerel kaynaklar toplandığında global akıya eşittir. İki çözümlü örnek. Birincisi, PS05'in polinomik alanı ile birim küp. İki taraf da üç bölü iki çıktı. Bu temiz, hilesiz bir doğrulama — bir bölge seç, bir alan seç, iki taraf eşleşir. İkincisi, PS06'nın ters kare ışınsal alanı ile bir küre. Naif hacim integralı sıfır verdi, yüzey integrali dört pi. Eşitsizlik, diverjansın orijinde sıfır değil bir delta fonksiyonu olmasıyla çözüldü. q bölü dört pi epsilon sıfır ile çarpıldığında sonuç Gauss yasası: herhangi bir kapalı yüzeyden geçen E akısı, çevrelenen yükün epsilon sıfıra bölümüne eşit. Sonraki derslerde Gauss yasasını uygulayacağımız tüm problemler — silindirik kabuk, yüklü düzlem, koaksiyel kablo — bu teoremin üzerine kurulu. Akı hesabını yapmak yerine, yüzeyi simetriye uygun seçip integralin önemsiz olduğu noktaya getirip yükü zarif bir formülle bağlamak; tüm bu numara, diverjans teoreminin ödülüdür. Bir sonraki örnek soru eş sonuçtur: Stokes teoremi, ki curl'u kapalı bir döngü etrafındaki dolanıma bağlar; Maxwell'in diğer iki integral denklemi de oradan çıkacak. İki teorem birleştiğinde, Maxwell'in diferansiyel ve integral biçimleri arasındaki köprü kurulmuş olur. Hoşça kalın.

Kaynak video: Elektromanyetik Teori (v2) #30 | Soru Çözümü #07: Diverjans Teoremi ve Gauss Yasası (8:01)