#07 Yerel diverjans ve rotasyoneli hacim, yüzey ve çizgi integrallerine bağlayan teoremler

Aşağıda defterde yazılan bütün satırlar ve bunlara eşlik eden sesli anlatımın tam metni bulunur.

1. 1. Yerel operatörlerden integral teoremlerine geç

   

   Beşinci derste gradyan, diverjans ve rotasyonel operatörlerini öğrendik.

   Diverjans, bir vektör alanının bir noktadan ne kadar yayıldığını ölçer.

   Rotasyonel ise bir vektör alanının bir noktadaki dönüşünü ölçer.

   Altıncı derste koordinat dönüşümlerini ve metrik katsayıları öğrendik.

   Şimdi bu operatörleri iki güçlü integral teoremiyle bağlıyoruz: Diverjans Teoremi ve Stokes Teoremi.

   Bu teoremler yerel davranış, yani tek bir noktada olan, ile küresel davranış, yani tüm bölgede olan arasında köprü kurar.

   Sesli anlatım metni

   Beşinci derste gradyan, diverjans ve rotasyonel operatörlerini öğrendik. Diverjans, bir vektör alanının bir noktadan ne kadar yayıldığını ölçer. Rotasyonel ise bir vektör alanının bir noktadaki dönüşünü ölçer. Altıncı derste koordinat dönüşümlerini ve metrik katsayıları öğrendik. Şimdi bu operatörleri iki güçlü integral teoremiyle bağlıyoruz: Diverjans Teoremi ve Stokes Teoremi. Bu teoremler yerel davranış, yani tek bir noktada olan, ile küresel davranış, yani tüm bölgede olan arasında köprü kurar.

2. 2. Diverjans teoremini akı örneğiyle doğrula

   

   Diverjans Teoremi (Gauss Teoremi): ∯_S A·dS = ∭_V (∇·A)dV.

   Şöyle düşünün.

   Bir kapalı yüzey hayal edin, bir küre veya kutu.

   Bu yüzeyden dışarı akan toplam akı, içerideki toplam kaynak şiddetine eşittir.

   Diverjans içeride pozitifse, orası bir kaynaktır, akıyı dışarı iter.

   Diverjans negatifse, orası bir yutaktır, akıyı içeri çeker.

   İçerideki her noktayı kontrol etmenize gerek yok.

   Yüzeyden ne çıktığını ölçün, toplamı bilirsiniz.

   Bir örnekle doğrulayalım.

   A = x²e_x + y²e_y + z²e_z olsun.

   Birim küp üzerinde integralini alalım, her yönde sıfırdan bire.

   Önce sağ taraf.

   A'nın diverjansı:

   $\displaystyle ∇\cdot A = 2x + 2y + 2z.$

   Birim küp üzerindeki hacim integrali: iki x'in sıfırdan bire integrali bir verir, iki y ve iki z de aynı.

   Toplam: 3.

   Şimdi sol taraf.

   Yüzey integralini altı yüz üzerinde hesaplayalım.

   x eşittir bir yüzeyinde katkı, o yüzey üzerinde x kare'nin integralidir, bu da birdir.

   x eşittir sıfır'da katkı sıfırdır.

   y ve z yüzeyleri için de aynı şekilde.

   Altı yüzün toplam katkısı:

   $\displaystyle 1 + 0 + 1 + 0 + 1 + 0 = 3.$

   İki taraf da üç'e eşit.

   Diverjans Teoremi doğrulandı.

   Sesli anlatım metni

   Diverjans Teoremi, Gauss Teoremi olarak da bilinir ve şunu söyler: A vektör alanının kapalı bir S yüzeyi üzerindeki yüzey integrali, bu yüzeyin çevrelediği V hacmi üzerinde nabla nokta A'nın hacim integraline eşittir. Şöyle düşünün. Bir kapalı yüzey hayal edin, bir küre veya kutu. Bu yüzeyden dışarı akan toplam akı, içerideki toplam kaynak şiddetine eşittir. Diverjans içeride pozitifse, orası bir kaynaktır, akıyı dışarı iter. Diverjans negatifse, orası bir yutaktır, akıyı içeri çeker. İçerideki her noktayı kontrol etmenize gerek yok. Yüzeyden ne çıktığını ölçün, toplamı bilirsiniz. Bir örnekle doğrulayalım. A eşittir iks kare e iks, artı ye kare e ye, artı zet kare e zet olsun. Birim küp üzerinde integralini alalım, her yönde sıfırdan bire. Önce sağ taraf. A'nın diverjansı iki iks artı iki ye artı iki zet'tir. Birim küp üzerindeki hacim integrali: iki iks'in sıfırdan bire integrali bir verir, iki ye ve iki zet de aynı. Toplam: 3. Şimdi sol taraf. Yüzey integralini altı yüz üzerinde hesaplayalım. iks eşittir bir yüzeyinde katkı, o yüzey üzerinde iks kare'nin integralidir, bu da birdir. iks eşittir sıfır'da katkı sıfırdır. ye ve zet yüzeyleri için de aynı şekilde. Altısını toplarsak: bir artı sıfır artı bir artı sıfır artı bir artı sıfır eşittir üç. İki taraf da üç'e eşit. Diverjans Teoremi doğrulandı.

3. 3. Stokes teoremini sirkülasyon örneğiyle doğrula

   

   Stokes Teoremi: ∮_C A·dl = ∬_S (∇×A)·dS.

   Şöyle düşünün.

   Kapalı bir döngü etrafında yürüyün.

   Toplam sirkülasyon, yani alanın sizi yol boyunca ne kadar ittiği, bu döngü üzerine gerilen herhangi bir yüzeyden geçen toplam rotasyonele eşittir.

   Dikkat çekici olan: hangi yüzeyi seçtiğiniz önemli değil.

   Düz bir disk veya eğri bir kase, sınırı C olan herhangi bir yüzey aynı sonucu verir.

   Bir örnekle doğrulayalım.

   A = −y e_x + x e_y olsun.

   C, x y düzleminde yarıçapı R olan bir daire olsun.

   Önce sağ taraf.

   A'nın rotasyoneli: z bileşeni x'in x'e göre türevi eksi eksi y'nin y'ye göre türevi, yani bir eksi eksi bir, bu da iki e_z verir.

   Disk üzerinde ∬2e_z·dS = 2πR².

   Şimdi sol taraf.

   Daireyi parametrize edelim:

   $\displaystyle x = R \cos t, y = R \sin t.$

   A·dl = −y dx + x dy = R²dt.

   0'dan 2π'ye integral 2πR² verir.

   İki taraf da eşit.

   Stokes Teoremi doğrulandı.

   Sesli anlatım metni

   Stokes Teoremi şunu söyler: A vektör alanının kapalı bir C eğrisi etrafındaki çizgi integrali, C ile sınırlanan herhangi bir S yüzeyi üzerinde rotasyonel A nokta de S'nin yüzey integraline eşittir. Şöyle düşünün. Kapalı bir döngü etrafında yürüyün. Toplam sirkülasyon, yani alanın sizi yol boyunca ne kadar ittiği, bu döngü üzerine gerilen herhangi bir yüzeyden geçen toplam rotasyonele eşittir. Dikkat çekici olan: hangi yüzeyi seçtiğiniz önemli değil. Düz bir disk veya eğri bir kase, sınırı C olan herhangi bir yüzey aynı sonucu verir. Bir örnekle doğrulayalım. A eşittir eksi ye çarpı e iks, artı iks çarpı e ye olsun. C, iks ye düzleminde yarıçapı R olan bir daire olsun. Önce sağ taraf. A'nın rotasyoneli: zet bileşeni iks'in iks'e göre türevi eksi eksi ye'nin ye'ye göre türevi, yani bir eksi eksi bir, bu da iki e zet verir. İki e zet nokta de S'nin disk üzerindeki yüzey integrali: de S zet yönünde olduğundan, bu iki çarpı alan, yani iki pi R kare'dir. Şimdi sol taraf. Daireyi parametrize edelim: iks eşittir R kosinüs te, ye eşittir R sinüs te. A nokta de el, eksi ye de iks artı iks de ye'ye eşittir, bu da R kare de te'ye sadeleşir. Sıfırdan iki pi'ye integralini alırsak iki pi R kare buluruz. İki taraf da eşit. Stokes Teoremi doğrulandı.

4. 4. İki teoremi ve Maxwell bağlarını karşılaştır

   

   Bu iki teoremi yan yana karşılaştıralım.

   Diverjans Teoremi, kapalı bir yüzey integralini hacim integraline dönüştürür.

   Operatör diverjansdır: ∇·A.

   Cevap verdiği soru: kapalı bir yüzeyden ne kadar akı çıkar?

   Stokes Teoremi, kapalı bir çizgi integralini yüzey integraline dönüştürür.

   Operatör rotasyoneldir: ∇×A.

   Cevap verdiği soru: kapalı bir eğri etrafında ne kadar sirkülasyon var?

   Şu örüntüye dikkat edin.

   Her iki teorem de bir bölge üzerindeki integrali o bölgenin sınırı üzerindeki integrale bağlar.

   Diverjans Teoremi üç boyutlu hacimden iki boyutlu yüzeye gider.

   Stokes Teoremi iki boyutlu yüzeyden bir boyutlu eğriye gider.

   Bunlar sadece matematiksel araçlar değil.

   Elektromanyetik teoride, elektrik alanı için Gauss yasası Diverjans Teoreminin E'ye uygulanmasıdır.

   Kapalı bir yüzeyden geçen E akısı, çevrelenen yükün epsilon sıfıra bölümüne eşittir.

   Ve Faraday yasası, Stokes Teoreminin E'ye uygulanmasıdır: E'nin kapalı bir döngü etrafındaki sirkülasyonu, manyetik akının değişim hızının eksisine eşittir.

   Yani bu iki teorem, Maxwell denklemlerinin matematiksel omurgasıdır.

   Sesli anlatım metni

   Bu iki teoremi yan yana karşılaştıralım. Diverjans Teoremi, kapalı bir yüzey integralini hacim integraline dönüştürür. Operatör diverjans, nabla nokta A'dır. Cevap verdiği soru: kapalı bir yüzeyden ne kadar akı çıkar? Stokes Teoremi, kapalı bir çizgi integralini yüzey integraline dönüştürür. Operatör rotasyonel, nabla çarpı A'dır. Cevap verdiği soru: kapalı bir eğri etrafında ne kadar sirkülasyon var? Şu örüntüye dikkat edin. Her iki teorem de bir bölge üzerindeki integrali o bölgenin sınırı üzerindeki integrale bağlar. Diverjans Teoremi üç boyutlu hacimden iki boyutlu yüzeye gider. Stokes Teoremi iki boyutlu yüzeyden bir boyutlu eğriye gider. Bunlar sadece matematiksel araçlar değil. Elektromanyetik teoride, elektrik alanı için Gauss yasası Diverjans Teoreminin E'ye uygulanmasıdır. Kapalı bir yüzeyden geçen E akısı, çevrelenen yükün epsilon sıfıra bölümüne eşittir. Ve Faraday yasası, Stokes Teoreminin E'ye uygulanmasıdır: E'nin kapalı bir döngü etrafındaki sirkülasyonu, manyetik akının değişim hızının eksisine eşittir. Yani bu iki teorem, Maxwell denklemlerinin matematiksel omurgasıdır.

5. 5. Bölge-sınır ilişkisini özetle

   

   Özetleyelim.

   Diverjans Teoremi, kapalı bir yüzey integralini diverjans operatörü aracılığıyla hacim integraline bağlar.

   Stokes Teoremi, kapalı bir çizgi integralini rotasyonel operatörü aracılığıyla yüzey integraline bağlar.

   Her ikisi de bir bölge ile sınırı arasında dönüşüm yapar.

   Sonraki derslerde elektrostatiğe başlıyoruz, bu teoremlerin Gauss yasası ve Faraday yasasının temeli olduğunu göreceğiz.

   Sesli anlatım metni

   Özetleyelim. Diverjans Teoremi, kapalı bir yüzey integralini diverjans operatörü aracılığıyla hacim integraline bağlar. Stokes Teoremi, kapalı bir çizgi integralini rotasyonel operatörü aracılığıyla yüzey integraline bağlar. Her ikisi de bir bölge ile sınırı arasında dönüşüm yapar. Sonraki derslerde elektrostatiğe başlıyoruz, bu teoremlerin Gauss yasası ve Faraday yasasının temeli olduğunu göreceğiz.

Kaynak video: Elektromanyetik Teori (v2) #07 Diverjans Teoremi & Stokes Teoremi (5:49)