Kontrol Teorisi · Doğrusal Olmayan Sistem Modelleme

#17 Genel doğrusal olmayan durum uzayı modeli; basitleştirilmiş manyetik süspansiyon kuvvet dengesi, durum seçimi ve çalışma noktası çevresinde yerel lineerleştirme kapsamı

Manyetik süspansiyon örneği üzerinden doğrusal olmayan kuvveti, durum değişkenlerini ve model varsayımlarını görünür kılın.

Soru

Doğrusal olmayan durum modeli, manyetik süspansiyon kuvvet dengesi, durum değişkenleri ve yerel lineerleştirme kapsamını gösteren ders karesi.
Basitleştirilmiş manyetik süspansiyon modelinde hava aralığı x>0 için kuvvet ci²/x², mekanik ve sabit-L elektriksel durum denklemlerine bağlanır.

LTI model ile ẋ=f(x,u), y=h(x,u) doğrusal olmayan durum modelini karşılaştırın. x>0 hava aralığı ve sabit-L yaklaşımında manyetik süspansiyon için durumları seçip mẍ=mg−ci²/x² ile bobin denklemini durum biçiminde yazın; klasik transfer fonksiyonunun yerel lineerleştirme kapsamını açıklayın.

Yazılı çözüm ve anlatım dökümü(çözümün tamamını gösterir)

Aşağıda defterde yazılan bütün satırlar ve bunlara eşlik eden sesli anlatımın tam metni bulunur.

  1. 1. Doğrusal olmayan model gereksinimini kur

    Doğrusal olmayan durum modeli, manyetik süspansiyon kuvvet dengesi, durum değişkenleri ve yerel lineerleştirme kapsamını gösteren ders karesi.
    Basitleştirilmiş manyetik süspansiyon modelinde hava aralığı x>0 için kuvvet ci²/x², mekanik ve sabit-L elektriksel durum denklemlerine bağlanır.
    Şimdiye kadar modellediğimiz her sistem doğrusal ve zamanla değişmeyen idi.
    ẋ=Ax+bu gibi sabit matrisli denklemler yazdık.
    Ancak gerçek dünyadaki sistemlerin çoğu doğrusal değildir.
    Yaylar sertleşebilir, aerodinamik sürükleme yaklaşık v² ile ve basit manyetik kuvvet modeli i²/x² ile değişebilir.
    Bu derste genel doğrusal olmayan durum uzayı modelini tanıtıyoruz ve bunu bir manyetik süspansiyon sistemine uyguluyoruz.

    Sesli anlatım metni

    Şimdiye kadar modellediğimiz her sistem doğrusal ve zamanla değişmeyen idi. x nokta eşittir A x artı b u gibi denklemler yazdık, burada A ve b sabit matrislerdi. Ancak gerçek dünyadaki sistemlerin çoğu doğrusal değildir. Yaylar sertleşir, aerodinamik sürükleme hız karesine orantılıdır ve manyetik kuvvetler hem akıma hem de mesafeye doğrusal olmayan bir şekilde bağlıdır. Bu derste genel doğrusal olmayan durum uzayı modelini tanıtıyoruz ve bunu bir manyetik süspansiyon sistemine uyguluyoruz.

  2. 2. LTI ve doğrusal olmayan durum biçimlerini karşılaştır

    Doğrusal olmayan durum modeli, manyetik süspansiyon kuvvet dengesi, durum değişkenleri ve yerel lineerleştirme kapsamını gösteren ders karesi.
    Basitleştirilmiş manyetik süspansiyon modelinde hava aralığı x>0 için kuvvet ci²/x², mekanik ve sabit-L elektriksel durum denklemlerine bağlanır.
    İki formu yan yana karşılaştıralım.
    LTI model ẋ=Ax+bu, y=cᵀx+du biçimindedir.
    Her şey durum x ve giriş u'da doğrusaldır.
    Genel doğrusal olmayan model ẋ=f(x,u), y=h(x,u) biçimindedir.
    f ve h uygun boyutlu fonksiyonlardır; modelde en az bir ilişki doğrusal değildir.
    Sabit A, b, c ve d temsili bu genel modelin yalnızca doğrusal özel durumudur.
    Bunun yerine sistem davranışı bu genel fonksiyonlarla tanımlanır.
    Bu çok daha esnektir ancak analiz etmek de çok daha zordur.

    Sesli anlatım metni

    İki formu yan yana karşılaştıralım. Doğrusal zamanla değişmeyen model x nokta eşittir A x artı b u ve y eşittir c transpoz x artı d u şeklindedir. Her şey durum x ve giriş u'da doğrusaldır. Doğrusal olmayan model bunları x nokta eşittir f x ve u fonksiyonu, ve y eşittir h x ve u fonksiyonu ile değiştirir. Burada f ve h herhangi bir doğrusal olmayan fonksiyon olabilir. A, b, c ve d matrisleri artık yoktur. Bunun yerine sistem davranışı bu genel fonksiyonlarla tanımlanır. Bu çok daha esnektir ancak analiz etmek de çok daha zordur.

  3. 3. Manyetik süspansiyon kurulumunu tanımla

    Doğrusal olmayan durum modeli, manyetik süspansiyon kuvvet dengesi, durum değişkenleri ve yerel lineerleştirme kapsamını gösteren ders karesi.
    Basitleştirilmiş manyetik süspansiyon modelinde hava aralığı x>0 için kuvvet ci²/x², mekanik ve sabit-L elektriksel durum denklemlerine bağlanır.
    Örneğimiz olarak bir manyetik süspansiyon sistemini düşünelim.
    Üst kısma bir elektromıknatıs monte edilmiştir.
    Altında, manyetik kuvvetle havada tutulan bir demir küre bulunur.
    Alt kısımda kürenin konumunu ölçen bir mesafe sensörü vardır.
    Giriş, elektromıknatıs bobinine uygulanan voltajdır.
    Çıkış, elektromıknatıstan ölçülen hava aralığıdır.
    Amacımız bu sistem için doğrusal olmayan durum denklemlerini yazmaktır.

    Sesli anlatım metni

    Örneğimiz olarak bir manyetik süspansiyon sistemini düşünelim. Üst kısma bir elektromıknatıs monte edilmiştir. Altında, manyetik kuvvetle havada tutulan bir demir küre bulunur. Alt kısımda kürenin konumunu ölçen bir mesafe sensörü vardır. Giriş, elektromıknatıs bobinine uygulanan voltajdır. Çıkış, kürenin konumudur. Amacımız bu sistem için doğrusal olmayan durum denklemlerini yazmaktır.

  4. 4. Küre üzerindeki kuvvet dengesini kur

    Doğrusal olmayan durum modeli, manyetik süspansiyon kuvvet dengesi, durum değişkenleri ve yerel lineerleştirme kapsamını gösteren ders karesi.
    Basitleştirilmiş manyetik süspansiyon modelinde hava aralığı x>0 için kuvvet ci²/x², mekanik ve sabit-L elektriksel durum denklemlerine bağlanır.
    Kuvvetleri çizelim.
    Kürenin kütlesi m'dir.
    Yerçekimi onu aşağı doğru m g kuvvetiyle çeker.
    Elektromıknatıs onu yukarı doğru, hem bobin akımına i hem de mesafeye x bağlı bir manyetik kuvvetle çeker.
    Basitleştirilmiş modelde Fₘ=ci²/x² alınır; c geometri ve malzeme varsayımlarını toplar, x>0'dır.
    Aşağı yön pozitifken Newton denklemi mẍ=mg−ci²/x² olur.
    Bu denklemin i kare ve x kare terimleri nedeniyle doğrusal olmadığına dikkat edin.

    Sesli anlatım metni

    Kuvvetleri çizelim. Kürenin kütlesi m'dir. Yerçekimi onu aşağı doğru m g kuvvetiyle çeker. Elektromıknatıs onu yukarı doğru, hem bobin akımına i hem de mesafeye x bağlı bir manyetik kuvvetle çeker. Bu manyetik kuvvet c çarpı i kare bölü x kare olarak verilir, burada c bobin geometrisi tarafından belirlenen bir sabittir. Newton'un ikinci yasası bize şunu verir: m çarpı x iki nokta eşittir m g eksi c i kare bölü x kare. Bu denklemin i kare ve x kare terimleri nedeniyle doğrusal olmadığına dikkat edin.

  5. 5. Konum, hız ve akım durumlarını seç

    Doğrusal olmayan durum modeli, manyetik süspansiyon kuvvet dengesi, durum değişkenleri ve yerel lineerleştirme kapsamını gösteren ders karesi.
    Basitleştirilmiş manyetik süspansiyon modelinde hava aralığı x>0 için kuvvet ci²/x², mekanik ve sabit-L elektriksel durum denklemlerine bağlanır.
    Üç durum değişkeni tanımlıyoruz.
    x₁, elektromıknatıstan aşağı doğru ölçülen hava aralığıdır.
    x₂=ẋ₁ hız durumudur.
    x₃=i bobin akımıdır.
    Elektriksel alt sistem için bobinin direnci R ve endüktansı L'dir.
    Sabit-L yaklaşımında Kirchhoff gerilim yasası L di/dt+Ri=u olur.
    Dolayısıyla ẋ₃=(u−Rx₃)/L olur; L(x) kullanılırsa hareket kaynaklı gerilim terimi de eklenmelidir.

    Sesli anlatım metni

    Üç durum değişkeni tanımlıyoruz. x bir, kürenin konumudur ve elektromıknatıstan aşağı doğru ölçülür. x iki, hızdır ve x birin türevine eşittir. x üç, bobindeki akımdır. Elektriksel alt sistem için bobinin direnci R ve endüktansı L'dir. Kirşof'un gerilim yasasını uygularsak: L çarpı i'nin türevi artı R çarpı i eşittir u, yani uygulanan gerilim. Dolayısıyla x üç nokta eşittir u eksi R çarpı x üç, tümü bölü L.

  6. 6. Doğrusal olmayan durum denklemlerini yaz

    Doğrusal olmayan durum modeli, manyetik süspansiyon kuvvet dengesi, durum değişkenleri ve yerel lineerleştirme kapsamını gösteren ders karesi.
    Basitleştirilmiş manyetik süspansiyon modelinde hava aralığı x>0 için kuvvet ci²/x², mekanik ve sabit-L elektriksel durum denklemlerine bağlanır.
    Basitleştirilmiş x>0 ve sabit-L varsayımları altında doğrusal olmayan durum denklemlerini elde ederiz.
    x˙1=x2.\displaystyle ẋ₁=x₂.
    x˙2=g−(cm)(x32/x12).\displaystyle ẋ₂=g-\left(\frac{c}{m}\right)\left(x₃²/x₁²\right).
    x˙3=(u−Rx3)/L.\displaystyle ẋ₃=\left(u-Rx₃\right)/L.
    Çıkış y=x₁, yani hava aralığıdır.
    Vektör biçimi ẋ=f(x,u), y=h(x,u)'dur.
    f, x₃²/x₁² doğrusal olmayan terimini içerir.
    Sistemi temelden doğrusal olmayan yapan budur.

    Sesli anlatım metni

    Hepsini bir araya koyarsak, tam doğrusal olmayan durum denklemlerini elde ederiz. x bir nokta eşittir x iki. x iki nokta eşittir g eksi c bölü m çarpı x üç kare bölü x bir kare. x üç nokta eşittir bir bölü L çarpı u eksi R x üç. Çıkış denklemi y eşittir x bir, yani küre konumudur. Vektör formunda: x nokta eşittir f x virgül u fonksiyonu ve y eşittir h x virgül u fonksiyonu. f fonksiyonu x üç kare bölü x bir kare doğrusal olmayan terimini içerir. Sistemi temelden doğrusal olmayan yapan budur.

  7. 7. Şematik akım–kuvvet–hava aralığı davranışını yorumla

    Doğrusal olmayan durum modeli, manyetik süspansiyon kuvvet dengesi, durum değişkenleri ve yerel lineerleştirme kapsamını gösteren ders karesi.
    Basitleştirilmiş manyetik süspansiyon modelinde hava aralığı x>0 için kuvvet ci²/x², mekanik ve sabit-L elektriksel durum denklemlerine bağlanır.
    Fiziksel zaman entegrasyonu olmayan şematik canlandırmayı izleyin.
    Bobin akımını artırdığımızda manyetik kuvvet büyür ve küreyi yukarı çeker.
    Akım azaldığında yerçekimi kazanır ve küre düşer.
    Basit modelde kuvvet akımın karesiyle ve hava aralığının karesinin tersiyle değişir.
    Küçük mesafelerde küçük bir akım bile güçlü bir çekim oluşturur.
    Büyük mesafelerde çok daha fazla akım gerekir.
    Konum ve akım arasındaki bu doğrusal olmayan bağlantı, manyetik süspansiyon kontrolünü zorlaştıran şeydir.

    Sesli anlatım metni

    Simülasyonu izleyin. Bobin akımını artırdığımızda manyetik kuvvet büyür ve küreyi yukarı çeker. Akım azaldığında yerçekimi kazanır ve küre düşer. Kilit nokta, kuvvetin hem akım karesine hem de konum karesine bağlı olmasıdır. Küçük mesafelerde küçük bir akım bile güçlü bir çekim oluşturur. Büyük mesafelerde çok daha fazla akım gerekir. Konum ve akım arasındaki bu doğrusal olmayan bağlantı, manyetik süspansiyon kontrolünü zorlaştıran şeydir.

  8. 8. Doğrusal olmayan blok akışını kur

    Doğrusal olmayan durum modeli, manyetik süspansiyon kuvvet dengesi, durum değişkenleri ve yerel lineerleştirme kapsamını gösteren ders karesi.
    Basitleştirilmiş manyetik süspansiyon modelinde hava aralığı x>0 için kuvvet ci²/x², mekanik ve sabit-L elektriksel durum denklemlerine bağlanır.
    Doğrusal olmayan blok diyagram, doğrusal zamanla değişmeyen versiyondan farklı görünür.
    Transfer fonksiyonu blokları ve toplama düğümleri yerine doğrusal olmayan fonksiyon blokları vardır.
    Giriş u, f fonksiyonuna girer ve durum türevlerini çıkış olarak verir.
    Bunlar integratörlerden geçerek durumları x verir.
    Durumlar daha sonra çıkış fonksiyonu h'ye girerek y'yi üretir.
    Global doğrusal olmayan model doğrudan klasik bir transfer fonksiyonuyla temsil edilmez.
    Klasik transfer fonksiyonu LTI sistemler için tanımlıdır; doğrusal olmayan sistemde çalışma noktası çevresindeki lineerleştirilmiş yerel modelden elde edilebilir.
    Global davranış için doğrusal olmayan durum denklemleriyle çalışılır; yerel analizde lineerleştirme kullanılabilir.

    Sesli anlatım metni

    Doğrusal olmayan blok diyagram, doğrusal zamanla değişmeyen versiyondan farklı görünür. Transfer fonksiyonu blokları ve toplama düğümleri yerine doğrusal olmayan fonksiyon blokları vardır. Giriş u, f fonksiyonuna girer ve durum türevlerini çıkış olarak verir. Bunlar integratörlerden geçerek durumları x verir. Durumlar daha sonra çıkış fonksiyonu h'ye girerek y'yi üretir. Burada transfer fonksiyonları olmadığına dikkat edin. Transfer fonksiyonları yalnızca doğrusal sistemler için vardır. Doğrusal olmayan sistemler için doğrudan durum denklemleriyle çalışmalıyız.

  9. 9. Modeli ve geçerlilik kapsamını toparla

    Doğrusal olmayan durum modeli, manyetik süspansiyon kuvvet dengesi, durum değişkenleri ve yerel lineerleştirme kapsamını gösteren ders karesi.
    Basitleştirilmiş manyetik süspansiyon modelinde hava aralığı x>0 için kuvvet ci²/x², mekanik ve sabit-L elektriksel durum denklemlerine bağlanır.
    Özetlemek gerekirse: gerçek sistemlerin çoğu doğrusal değildir.
    Genel doğrusal olmayan durum uzayı modeli ẋ=f(x,u), y=h(x,u)'dur.
    Üç durumlu bir manyetik süspansiyon sistemi modelledik: konum, hız ve akım.
    Bu basit örnekte doğrusal olmayan terim Fₘ=ci²/x² kuvvet bağıntısından gelir.
    Doğrusal olmayan global model klasik transfer fonksiyonuyla tanımlanmaz; çalışma noktası çevresindeki lineerleştirme yerel bir transfer fonksiyonu verebilir.
    Bir sonraki derste, doğrusal olmayan sistemleri bir çalışma noktası civarında doğrusal zamanla değişmeyen modeller olarak yaklaşıklayan set nokta doğrusallaştırma tekniğini öğreneceğiz.

    Sesli anlatım metni

    Özetlemek gerekirse: gerçek sistemlerin çoğu doğrusal değildir. Genel doğrusal olmayan durum uzayı modeli x nokta eşittir f x virgül u ve y eşittir h x virgül u'dur. Üç durumlu bir manyetik süspansiyon sistemi modelledik: konum, hız ve akım. Doğrusal olmayan terimler, kuvvetin i kare bölü x kare'ye bağlı olduğu manyetik kuvvet denkleminden kaynaklanır. Doğrusal zamanla değişmeyen sistemlerden farklı olarak, doğrusal olmayan sistemler transfer fonksiyonlarıyla tanımlanamaz. Bir sonraki derste, doğrusal olmayan sistemleri bir çalışma noktası civarında doğrusal zamanla değişmeyen modeller olarak yaklaşıklayan set nokta doğrusallaştırma tekniğini öğreneceğiz.

Kaynak video: Kontrol Teorisi #17 — Doğrusal Olmayan Sistem Modelleme (Non-Linear System Modelling) (5:47)